主题：【原创】投资中的几何均值最大化原则 -- beiba

投资的最重要的原则之一（个人认为是应该去掉“之一”）是资产配置。所谓资产配置，用炒股票来打比方，当选好几只股票后，资金用什么样的比例分配到这些股票上。如果你和我一样对于巴菲特、彼得林奇、杰西利弗莫尔和约翰梅利韦瑟等著名的投资、投机家有过研究，大概得出的结论也差不多。巴菲特致股东的年报里多次低调的强调资产配置的重要性。而杰西利弗莫尔虽然是天才炒家，但是一辈子也没学会资产配置，最后穷困潦倒而死。

关于资产配置，其实原则只有一个，几何均值最大化。查理芒格推荐书目里的《财富公式》对此略有提及。事实上国内外也早有人对此有过深入的研究。本文避免使用学术性的“对数投资理论”，”信息熵投资理论”等名词，而是对背后的根本原则进行浅白的描述。

先从一个电视游戏节目Deal / No deal谈起。游戏里一共有26个箱子，里面分别有100万美元，75万， 50万， 40万， 30万， 20万，10万，7万5，5万，2万5，1万，5千，1千… 最小的是1块。 选手选定一个。 然后一个个打开剩下的箱子，打开一个之后该箱子的金额就被淘汰出局。 Banker根据剩下的金额开价买你的箱子， 看你卖还是不卖， Deal or No Deal。往往最刺激的是在最后，除掉最初选中的箱子，还剩一个箱子的时候，两个箱子里金额一大一小，最极端的是100万和1块。问题来了，选手应该接受的出价是多少？简单的想法是，直接算术平均值，50万，低于50万就坚持赌运气，50万就接受。但是事实上，banker从来没有开到过这么高的价钱，而选手们几乎在三四十万就都缴械投降。

而这个问题的答案，就是用几何均值去寻找。如果选手是个穷光蛋，那么1和100万的几何均值是1000块。出价到1000块就接受走人。如果选手身家有10万，那么10万零1块和100万零1块的几何均值是316230，那么出价到21万多就应该接受了。如果是身家100万的中产，100万和200万的几何均值是141万，出到41万就接受。

一个有趣的关于deal / no deal的现象，就是黑人选手普遍拿得低，而白人选手普遍拿得高。用几何均值原则去理解就是白人的身家较高，而非某些人所谓的智商之间有差异，这也符合现实。事实上，几何均值最大化原则，其实就是熵极值原则（笔者上一篇文章有过阐述），不仅仅是投资的重要原则，也是进化的根本规律。篇幅有限，这里就不展开了。

再来看看投资一个股票（或者项目）时，如何运用几何均值最大化原则。如果该股票有70%的几率赚钱，而30%的几率赔钱，赚钱时能赚1倍，赔钱时赔光。那么，假设投资到项目的资金比例为x，那么(1+x)^0.7*(1-x)^0.3就是几何均值。用数学方法求极值也好，excel规划求解也好，可以得到结果是x=40%时几何均值最大。即40%的资金投入到该项目中。

事实上，有更简单的凯利公式，能直接算出结果是40%。凯利公式是几何均值最大化原则的一个简化形式。

当有两个或以上的股票（投资标的）时，凯利公式就无能为力了，但是几何均值最大原则仍然可用。假设有两只股票A和B，赚钱的概率分别10%和90%，赚钱的倍率分别为100倍和0.05倍，赔钱倍率分别为0.9倍和0.1倍。用excel写出几何均值公式(1+100x)^0.1*(1-0.9x)^0.9*(1+0.05y)^0.9*(1-0.1y)^0.1，用规划求解(solver)，限制x,y为非负且和小于等于1，解出结果为9.86%和90.14%。这和算术均值最大得出的结论很不一样。

在有多个投资标的时，几何均值最大原则仍然适用。几何均值最大原则是保持复合增长率最高的原则。不过，和应用凯利公式的潜在风险一样，盲目的使用该原则，破产几乎是必然的。主要原因有两点，第一，对于赚钱的概率、赔率估计是主观的，如果事实和主观预测有出入，当资金分配比例过高时，会导致大赔；其次，投资标的之间可能有潜在的相关性，没有考虑相关性而作出的分析结果本身就是错误的，例如买了同一行业的多只股票，它们之间有相关性。

所以，投资或者炒股的另外一个基本原则就是巴菲特说的能力圈原则。了解自己的能力圈，且只在里面做事。这样，对于概率、赔率的估计将大为准确，同时也容易避开或利用标的间的相关性。

几何均值最大原则的另外一个应用是博弈。一个简单的例子是员工和雇主的博弈。假设员工资产10万，雇主身家10亿，如果合作（员工同意被雇用）可以创造10万的价值，那么该如何在员工和雇主之间分配？同样，用excel来进行规划求解。设员工分配x,雇主分配y，那么，员工配合分配的概率是p1=x/10万，雇主配合分配的概率是p2=y/10万。员工不配合分配的概率是1-p1，雇主不配合的概率是1-p2。几何均值公式(10+x)^(1-p1)*10^p1*(100000+y)^(1-p2)*100000^p2。设定规划的限制条件x,y为非负且x+y=10。注意到，只有不配合时（为自己争取），才能得到分配。

当x+y=10的限制条件时，求解结果x=4.55万,y=5.45万。这符合人类心理，员工身家少，更患得患失，所以和雇主博弈时处于不利地位。

我们来看当x+y=0.1的限制条件（就是分配1000块），求解结果为x=0.04996,y=0.05004。这也符合客观事实，毕竟这么点钱，员工和雇主都相对不那么在乎（所以，越不在乎的，反而博弈更有利），最终结果逼近算术均值。

当x+y=1000时，求解结果x=234,y=766。当合作创造价值越高，雇主的优势越大。

在三方或者多方博弈，一样可以在excel里把几何均值公式写出来，然后用solver暴力求解。不过通常为了简化操作，可以对几何均值求对数，求对数和的极大值。这和所谓的“对数投资理论”道理相通。多方博弈时，需要注意限制条件，另外还得考虑博弈方的相关性（联盟）。这里就不过多展开了，只提出一个现象：多方博弈时，并非总是财富最大方分配额最大，而往往是财富最接近分配总额的方分配额大。读者若有兴趣，自己假设计几个条件，像上例一样变化分配额，很容易就能观察到。这和自然界中的物种生存现象是非常一致的，三个或者更多跨规模的种群间的合作较少见，因为这往往对于最有力的族群没什么吸引力，种群总是倾向于和自己族群规模相当的生存利益争取。

再来看一看前面deal / no deal的例子，不过这此从博弈的角度看。假设选手身家10万，banker身家10亿，100万就是总分配额。用几何均值最大原则可以得出，x=34.2。没有博弈时是31.6万，由于博弈的引入，选手几何均值提高了。原因是对方也想要分钱啊，比其毫不让步的大自然，有所退让是必然的。所以，如果参与deal / no deal，考虑对手与否也会影响结果。

几何均值最大化是个非常简单又实用的基本准则，可以应用的范围非常广泛，从炒股、投资，到公司的市场开拓，科学的试验设计，资源的规划调配等等。

理解了几何均值最大化原则，对于很多经济学的名词如“效用”难免有所抵触。难怪巴菲特总是对经济学家嗤之以鼻。

最后，感谢阅读文章并加以思考的读者。如前一篇文章所述，反洗脑基因是人类文明最重要的基因之一，万不能看了文章就轻易被说服。尤其感谢回帖，且大加批判、斥责或者非难的读者。写文章本来的目的就是动摇读者的世界观，收获这样的回复，无疑是对自己最大的肯定。特地写下这篇文章，就是为了回馈那些一直不赞同我的观点的读者。