主题：【原创】投资中的几何均值最大化原则 -- beiba

圣彼得堡悖论我用几何均值方法计算出的答案是出价到第二次掷硬币的结果，就是4块钱。这很符合个人的直觉，

有一半的几率亏两块，1/4的几率持平，只有1/4几率赚钱。

最近在思考未婚妻问题，它是由数学家Merrill M. Flood 在 1949年首次提出。问题如下：

“拒人问题”的数学模型（为了省力，直接抄百度到的《死理性派的恋爱法》）

为了便于我们分析，让我们把生活中各种复杂纠纷的恋爱故事抽象成一个简单的数学过程。假设根据过去的经验，MM 可以确定出今后将会遇到的男生个数，比如说 15 个、30 个或者 50 个。不妨把男生的总人数设为 n。这 n 个男生将会以一个随机的顺序排着队依次前来表白。每次被表白后，MM 都只有两种选择：接受这个男生，结束这场“征婚游戏”，和他永远幸福地生活在一起；或者拒绝这个男生，继续考虑下一个表白者。我们不考虑 MM 脚踏两只船的情况，也不考虑和被拒男生破镜重圆的可能。最后，男人有好有坏，我们不妨假设 MM 心里会给男生们的优劣排出个名次来。

聪明的 MM 会想到一个好办法：先和前面几个男生玩玩，试试水深；大致摸清了男生们的底细后，再开始认真考虑，和第一个比之前所有人都要好的男生发展关系。从数学模型上说，就是先拒掉前面 k 个人，不管这些人有多好；然后从第 k+1 个人开始，一旦看到比之前所有人都要好的人，就毫不犹豫地选择他。不难看出，k 的取值很讲究，太小了达不到试的效果，太大了又会导致真正可选的余地不多了。这就变成了一个纯数学问题：在男生总数 n 已知的情况下，当 k 等于何值时，按上述策略选中最佳男生的概率最大？

直接看完同一篇文章，就知道答案是1/e，即前37%的男士都不考虑，后面只要遇到超过前面最好的一个，就作出选择。

但是，凡是理解了几何均值的人，都会不由自主的注意到这样一个事实：如果最好的人在前面37%，那么MM将无奈的等待到最后，只能选择最后一个或者当剩女了。而且这样事件发生的概率太大了，37%！

如果对男士排名，1到n，越高的越好，如果有人去算过几何均值，就会知道，37%概率事件发生后，该MM最终能得到的男士排名（假设越好的男士排名越高）的几何均值只有大概n*37%（又是1/e),连平均水平都不到。

所以，从几何均值出发，我们应该把未婚妻（或者未婚夫）问题修改一下，不追求最好，但追求几何均值最大。

我把问题简化一下，假设MM能碰到N个男士，那么她的策略应该是：先观察前面遇到的K个男士，然后用L（L<=K)作为门槛，即从K+1个男士起，若遇到一个男士比前面的（从差到好排序后）的L个男士更好，那么就做出选择。

现在的问题是，找出最好的K和L，使得MM选到的男士排名的几何均值最高。

目前我还没想到如何从数学上找出最佳K,L（主要是不能化简，非常麻烦的一大串，哪天写个程序让它自己迭代去算好了）,于是只好写了个程序用蒙特卡罗的方法暴力求解。

蒙特卡罗方法给出的一些典型结果（希望我的程序没写错）供有心人参考：

N=10（10次选择机会），最优方案是K=4,L=3，即观察前面4个，从第五个起，遇到比前4个里3个都好的（最好的不算），就定下来。

N=30,最优方案K=11,L=9（这个有点不确定，因为看起来K=13,L=11似乎也差不太多）

N=100，最优方案K=43,L=39(同上，K=39,L=36似乎也很接近）

再往下意义其实不大，生活中大概很少会遇到比百里挑一还苛刻的情况。往往会遇到类似百里挑十的情况，参考百里挑一的方法就是了，稍微调整下，例如K/L=40/35可能就是个不错的选择。不用刻意追求数学上的极致。

最后，想起巴菲特的经典语录：假如人一生只有十次投资机会...我不知道他是否暗示什么，但是从未婚妻问题出发，可以判定前面是需要等待的。投资，最需要的不是内幕消息、聪明的选择，需要的是耐心。