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主题:回科学板,锐角三角形概率“年华似水流”的解法 -- CatOH

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家园 灌水,我的解法

为了赶紧攒积分,再灌一片

这题基本的假设是每一点在圆周上的概率分布均匀,如果没有这个基础就成了不爱吱声提到的贝特兰的概率悖论。

画一个单位圆,因为均匀分布,取第一点为(1,0)总是可以的,y轴与x轴垂直,取在第二点与第一点构成的劣弧a那一边(如果第一点第二点正好构成直径,那么y的上下方向就任意取,而且这种情况的概率为0,其实可以忽略),那么第二点对应的圆心角设为theta,可知theta<=pi。而且第二点的theta均匀分布。

过第一点与第二点作两条直径将单位圆分为四分,只有当第三点落在前面提到的劣弧a对面等长的劣弧b上时,三点才可能构成锐角三角形,这个概率是theta/(2pi)。

因为第二点theta均匀分布,所以构成锐角三角形的概率是:

{0-pi的积分[theta/(2pi) * d(theta)]}/pi

=1/4


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