主题：回科学板，锐角三角形概率“年华似水流”的解法 -- CatOH

原来还可以回帖的，现在只好先在新兵营里混了 求那位大哥大姐帮我转到科学板去吧，谢啦谢啦 //bow

这个解法显然不对啊。

首先，为什么重心就这么特殊？为啥不选其它的比如内心什么的？

其次，重心不是1/2而是1/3半径，按你的算法应该是1/9。

第三，如果三点在圆周上随机分布的话，重心在圆内不是均匀分布。

正解是积分的办法，结果恰好是1/4，计算机模拟也可以证实

• 这个帖子下面还有一些讨论，连接在这里

就可以了

呵呵，努力灌水中...

为了赶紧攒积分，再灌一片

这题基本的假设是每一点在圆周上的概率分布均匀，如果没有这个基础就成了不爱吱声提到的贝特兰的概率悖论。

画一个单位圆，因为均匀分布，取第一点为（1，0）总是可以的，y轴与x轴垂直，取在第二点与第一点构成的劣弧a那一边（如果第一点第二点正好构成直径，那么y的上下方向就任意取，而且这种情况的概率为0，其实可以忽略），那么第二点对应的圆心角设为theta，可知theta<=pi。而且第二点的theta均匀分布。

过第一点与第二点作两条直径将单位圆分为四分，只有当第三点落在前面提到的劣弧a对面等长的劣弧b上时，三点才可能构成锐角三角形，这个概率是theta/(2pi)。

因为第二点theta均匀分布，所以构成锐角三角形的概率是:

{0-pi的积分[theta/(2pi) * d(theta)]}/pi

=1/4

• 为了大家看贴方便，将在新兵营谈论的其他解法贴到这里
• 我也不知道你到底哪里不明白，

实际上，任何一个三角形都有一个外接圆；圆上任三点都可以组成三角形。那就意味着，原题目可以修改为在平面内任何画一个三角形，其中画出锐角三角形的概率是多少？

于是，这个问题原来是可以脱离圆来考虑的。因此，还有一个求解方法是：仅仅利用三角内角之间的关系来求解，而不需要圆的存在。

设任意三角形三个内角角度为x,y,180-x-y,对于任意三角形，我们有：

0<x<180; 0<y<180; 0<x+y<180 （1）

对于锐角三角形，我们有：

0<x<90; 0<y<90; 90<x+y<180 （2）

用解析几何的方式，我们可以将x,y看成是两个坐标，第一个不等式组在x,y坐标空间上围出一个等腰直角三角形区域，两个直角边长为180；同理第二个不等式组在x,y坐标空间上也围出一个小一点的等腰直角三角形区域，两个直角边长为90。如果我们假设x,y的值在坐标空间是均匀分布的话，你会发现，第二个不等式组围出一个小三角形的面积正好是第一个不等式组围出一个大三角形的面积的1/4。

• 为了大家看贴方便，将在新兵营谈论的其他解法贴到这里

就是必须要有个“均匀分布”假定，点在面上的均匀分布是最常用的假定之一。否则“概率”的概念就不存在了。

当然，当年贝特兰反驳的也正是“概率”到底应不应该存在于几何之中。具体可见大明湖的转贴。

不够严谨的。

*。我的解答中关于重心的定义是明显错了，

*。但选择"重心"本身是没错的，这和不选择其他的特征没有关系。只要在圆内能抓住区分锐角和吨角的独特区别（区别是BLACK　AND　WHITE，　没有OVERLAP），选择什么都可以。

*。　重新来过：三教形ABC　（A，　B，　C，　在圆周上，）从圆心O到任意圆内三角形的三边作垂线。取距离圆心最近的那条边，　SAY，　AB。连接这条边AB的中点D到对应顶角C画一条线　　（如果是直角，　则是半径）。再画这条线的中点P，　赫赫。这是我的P点定义，（原来把它写成了重心，　错了！）

　则有以下结论：

1：　P到圆心的距离为1/2半径，FOR　ALL　符合原题定义的园内直角三角形。

2：P到圆心的距离大于1/2半径，　FOR　ALL　符合题提定义的园内所有钝角三角形

这个没异议吧？　如果有，就画一条和AB边平行的直径。

从1，2　是不是能推出P到圆心的距离小为1/2半径的，　所有符合原题定义的三角形，为锐角呢？　是的。

所以，所有符合原题定义的三角形，其P点　（以上定义）落在1/2半径圆内的三教形为锐角。

至此推导应该是LOGICAL的

所以(1/2)^2=1/4,(这一步不保证是对的，因为不知道P点的密度分布)目前答案还是1/4

• 想出来了!请指教. 根据我在楼下的出发点,

that is not always appliable.Yet, people use it without thinking.

你原来说的重心也符合你的要求:用重心到圆心的距离可以分清钝角和锐角三角形的区别，只不过重心的条件是距圆心大于1/3半径，你为什么不选重心而要改用现在的p点呢？

当时错误称为　”重心“ (I HAVE EXPLAINED)。那么真正重心是否一定锐角在1/3内，　钝角在1/3外，　你可以去证明　（那就很有意思了）也可一以推翻，　不关偶的事情。　

解释一下，再次说明这不是选择不选择的问题。也是最后一次：一；是画图后，直接选了P点，　就误为重心了。二：你如果要坚持，就必须证明真正重心一定锐角三角型在1/3内，　钝角在1/3外,而非1/2。这样大家更有看头，我觉得也是一个很好的讨论机会。

　比如，我总不能选择有共性的东西，对不？　两种三角形都有三条边，　两个锐角，　这是共性阿。　　

所以才说有选择的任意性

如果你的证明重心在1/3内全是锐角，OTHERWISE　是钝角，　那么再较个真，还不是选择不选择的问题，而是这第二步的问题：　用面积的问题！最早提出的是Dracula和神仙驴，　他们才真正说出了问题本质。　

请读原贴：

How do you know 重心 is uniformly distributed? (Dracula;字0 阅96

。。。 So far I can't see why not.Maybe you can tell us? (年华似水流;字68 阅104

I feel this 面积做法不太严谨 (神仙驴;字213 阅128

。。。 我当时先是考虑了一下,问自己好象这个题有问题,无限的样本, (年华似水流;字125 阅123

很期待你的重心的分界在1/3证明，关于P点在1/2为分界　我就不画图了，实在是显而易见的。

这样说可能更清楚一点

如果这么定义P点：

三角形ABC　（A，　B，　C，　在圆周上，）从圆心O到任意圆内三角形的三边作垂线。取距离圆心最近的那条边，　SAY，　AB。连接这条边AB的中点D到对应顶角C画一条线（如果是直角，　则是半径）。在这条线上离该边的1/f长度处画P点，f是大于1，小于等于3的任意实数，则似乎P点距圆心的距离小于1/f倍半径的都是锐角三角形，反之是钝角三角形。（我并没有证明，只是看起来像是对的，所以猜想一下）

f的条件大于1是显然的，小于等于3是蒙的，至少重心就是f=3的情况是对的。

• mm不要着急

和你的1/2一样显然，如果非要证明就这样

单位圆上3点

a1：(sin(theta1),cos(theta1))

a2：(sin(theta2),cos(theta2))

a3：(sin(theta3),cos(theta3))

重心在(a1+a2+a3)/3处，据圆心的距离l：

l=sqrt(((sin(theta1)+sin(theta2)+sin(theta3))/3)^2+((cos(theta1)+cos(theta2)+cos(theta3))/3)^2)

总可以取theta1=0，

l=1/3*sqrt(3+2*(cos(theta2)+cos(theta3)+sin(theta2)*sin(theta3)+cos(theta2)*cos(theta3)))

0<theta2<180,180<theta3<180+theta2是锐角三角形的条件，用mathematica画个图一目了然。