五千年(敝帚自珍)

主题:我今天特别的高兴,在孩子快十岁时 -- 给我打钱87405

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家园 初等数学的一个主要难点

已知9元买2l水,问,27元可以买几升水

9元:2l

27/9=3 ,2*3=6l

这个思路它当然是对的。

本质是在用商不变原理。

但是对于另一种思路,27*(2/9),许多学生就不理解了。

这个不理解的关键在于“对关系的形式和内容,认知不到位”。

9元买2l,即可以表述为9/2,也可以表述为2/9,不论是哪种表述,所表述的关系并没有变。

表述成9/2,本质是表述成(9/2)/1,指多少元匹配1l水;

表述成2/9,本质是表述成(2/9)/1,指多少l匹配1元。

用27*2/9,本质是在说,既然1元可以买2/9l,那么27元就是1元的27倍(无需繁复计算),所以如此如此。

在这里2/9和9/2根本不是几分之几的意思。

对于这个关系的认知,如果不到位,后面的数学、物理、化学中的各种关系式(公式)都是理解不了的。

这就好比弧度=弧长/半径,它是在描述关系;

而圆周长/半径(即圆周率),它是在描述“几分之几”、“倍数”;

此pai非彼pai。

以上所述跟“=”有相关的。

在关系式中,“=”并无太多的意义,

“=”更多的意义是表述出一个完整的关系式来。

也就是说,如果要用中文来讲,就得说成:

角跟弧长和半径的关系是:

1.当弧长不变时,半径越大,角就越小;

2.当半径 不变时,弧长越大,角就越大;

3.当弧长和半径 同时放大或缩小时,角可能不变,也有可能变。只有当弧长跟半径 同时放大或缩小n倍时, 角才不变。

正因为这一系列关系,跟除法的性质是一样的,所以借用了除式来表述这一关系。

同理,矩形面积公式也是在表述面积与边长的关系,

而并非是面积是边长的几倍。

那么,为什么面积可以比大小呢?既然是关系,又如何比大小呢?

比如,一个矩形是3*5,另一个矩形是4*4,

为什么算出来一个15,一个是16,就说16这个矩形的面积更大呢?

这是因为15的本质是15*1,相当于用计算把3*5的矩形变成了15*1的矩形,用计算把4*4的矩形变成了16*1的矩形,当然就是后面这个矩形面积大喽。

本质是通过 比边长(另一边相等)来比面积的。

所以,我们并不能比“关系”的大小,

而是把关系当成桥梁,将对比的两个事物进行转换,转换成了有办法直接比的两个事物。

这就是数学里的一个重要思维:

将不熟悉的、没办法直接处理的问题,转换成熟悉的、有办法处理的。

对于连续量的表述,用的是这个思维——将连续量转换成离散量,

小数运算,用的是这个思维——将小数转换成整数,

案例太多了……无所不在。

所以总是先找关系,后计算。

找关系又涉及到两类具体问题:

一类是知道起点,知道关系,找终点;

一类是知道起点和终点,把关系找出来。

比如3/5=x/5*4

x=3*4

这是前一种。

后一种呢?

3/5=y/30

那么30/5=6(先找关系),然后从起点摸到终点,所以有y=3*6=18

这是两大基本套路。

后一种当然就难了。这个后一种,本质就是找出“所以然”。

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