五千年(敝帚自珍)

主题:【原创】他/她不适合你---- 案例之三 你的选择还会不 -- 柚子

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家园 水风兄请进。

一下为文摘,比我说的清楚。

十多年前的玛丽莲问题由概率的角度来解决:

美国的“玛利亚幸运抢答”电台一日公布了这样一道题:在三扇门的背后(比如说1号、2号及3号)藏了两只羊与一辆小汽车,如果你猜对了藏汽车的门,则汽车就是你的。现在先让你选择,比方说你选择了1号门。然后主持人打开了一扇门,让你看清楚这扇门背后是只羊,接着问你是否应该重新选择,以增大猜对汽车的概率?

谁能给出回答呢?一号门背后是汽车的概率变了吗?

“玛丽莲问题”中最著名的是“Behind Monty Hall’s Doors“,简称“The Monty Hall Problem”。玛丽莲的答案是应该换,在当时很多人都不同意。玛丽莲在下一期专栏给出一个事件列 表说明她的道理,但反对声更多更大了。在几千封读者来信中,反对者达九成。其中有全 国健康机构的统计学家,国防情报中心的副主任,甚至著名的美籍匈牙利数学家保罗?埃 尔笛希(Paul Erdos,他的姓氏和“鄂尔多斯”的英文一样)也是反对者之一。

后来,在1991年2月17日,玛丽莲为此题目作了第三期专栏。她最后是这样说服大家的:假如当主持人打开那个有山羊的门后,有外星人忽然来到台上选。他在能选的两个门中任选 一个,有车的概率确实都是50%。但你不是刚到,你有优势,因为主持人帮助过你了,他为你在其余两个门中作了预选。你换了后,概率就由三分之一提高到三分之二了。   

在当时,虽然玛丽莲给出答案,但事情并没有结束。

经过前人艰苦的研究,现在我们可以得出结论:

条件概率、全概率、贝叶斯公式解

游戏开始,设P(X)为A、B、C三道门后面有车的概率,则P(A)=P(B)=P(C)=1/3

假定:游戏者任选了一道门A,而主持人(HOST)打开一道后面是羊的门,事实上有两种情况

1、主持人了解所有门后面的东西,他一定要打开一扇“羊”门

如果车在A门后面,主持人有B、C两种选择,打开C门(“羊”门)的概率为

P(Host opens C|A) = 1/2

如果车在B门后面,主持人没有选择,只能打开C门

P(Host opens C|B) = 1

如果车在C门后面,主持人一样没得选择,绝对不能开C门

P(Host opens C|C) = 0

所以,主持人打开C门的概率为

P(Host opens C) = P(A)*P(H.o. C|A) + P(B)*P(H.o. C|B) + P(C)*P(H.o. C|C)

= 1/6 + 1/3+ 0 = 1/2

根据贝叶斯公式,在主持人打开C门的条件下,A、B两门后面是车的概率分别为

P(A|Host opens C) = P(A)*P(Host opens C|A) / P(Host opens C)

= (1/6) / (1/2)

= 1/3

P(B|Host opens C) = P(B)*P(Host opens C|B) / P(Host opens C)

= (1/3) / (1/2)

= 2/3

这就是为什么要换二号门的原因。

2.主持人和游戏者一样蒙在鼓里,他是碰巧打开一扇“羊”门,那么

如果车在A门后面,主持人有B、C两种选择,打开C门的概率为

P(Host opens C|A) = 1/2

如果车在B门后面,主持人一样有B、C两种选择,打开C门的概率还是

P(Host opens C|B) = 1/2

如果车在C门后面,主持人还是有B、C两种选择,只是打开C门不可能看到羊

P(Host opens C|C) = 0

所以,主持人打开C门见到羊的概率为

P(Host opens C) = P(A)*P(H.o. C|A) + P(B)*P(H.o. C|B) + P(C)*P(H.o. C|C)

= 1/6 + 1/6+ 0 = 1/3

根据贝叶斯公式,在主持人打开C门见到羊的条件下,A、B两门后面是车的概率分别为

P(A|Host opens C) = P(A)*P(Host opens C|A) / P(Host opens C)

= (1/6) / (1/3)

= 1/2

P(B|Host opens C) = P(B)*P(Host opens C|B) / P(Host opens C)

= (1/6) / (1/3)

= 1/2

在这种情况下,用一个简单的条件概率式P(A|C.sheep)一样可以得出1/2的结果。这就是“不换”的原因。遗憾的是,从游戏的设置来看,主持人不知情的可能性很小。

当时的争议很多,大多都是由概率来解答的,下面的解法我认为更简洁:

开始拿一个,1/N 的机会,剩下总共有 (1-1/N)的机会,主持人拿掉必然为空的X个盒子后,剩下的总几率不变,每个盒子上升到{(1-1/N)}/(N-X)大于 1/N


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