主题:【原创】他/她不适合你---- 案例之三 你的选择还会不 -- 柚子
一下为文摘,比我说的清楚。
美国的“玛利亚幸运抢答”电台一日公布了这样一道题:在三扇门的背后(比如说1号、2号及3号)藏了两只羊与一辆小汽车,如果你猜对了藏汽车的门,则汽车就是你的。现在先让你选择,比方说你选择了1号门。然后主持人打开了一扇门,让你看清楚这扇门背后是只羊,接着问你是否应该重新选择,以增大猜对汽车的概率?
谁能给出回答呢?一号门背后是汽车的概率变了吗?
“玛丽莲问题”中最著名的是“Behind Monty Hall’s Doors“,简称“The Monty Hall Problem”。玛丽莲的答案是应该换,在当时很多人都不同意。玛丽莲在下一期专栏给出一个事件列 表说明她的道理,但反对声更多更大了。在几千封读者来信中,反对者达九成。其中有全 国健康机构的统计学家,国防情报中心的副主任,甚至著名的美籍匈牙利数学家保罗?埃 尔笛希(Paul Erdos,他的姓氏和“鄂尔多斯”的英文一样)也是反对者之一。
后来,在1991年2月17日,玛丽莲为此题目作了第三期专栏。她最后是这样说服大家的:假如当主持人打开那个有山羊的门后,有外星人忽然来到台上选。他在能选的两个门中任选 一个,有车的概率确实都是50%。但你不是刚到,你有优势,因为主持人帮助过你了,他为你在其余两个门中作了预选。你换了后,概率就由三分之一提高到三分之二了。
在当时,虽然玛丽莲给出答案,但事情并没有结束。
经过前人艰苦的研究,现在我们可以得出结论:
条件概率、全概率、贝叶斯公式解
游戏开始,设P(X)为A、B、C三道门后面有车的概率,则P(A)=P(B)=P(C)=1/3
假定:游戏者任选了一道门A,而主持人(HOST)打开一道后面是羊的门,事实上有两种情况
1、主持人了解所有门后面的东西,他一定要打开一扇“羊”门
如果车在A门后面,主持人有B、C两种选择,打开C门(“羊”门)的概率为
P(Host opens C|A) = 1/2
如果车在B门后面,主持人没有选择,只能打开C门
P(Host opens C|B) = 1
如果车在C门后面,主持人一样没得选择,绝对不能开C门
P(Host opens C|C) = 0
所以,主持人打开C门的概率为
P(Host opens C) = P(A)*P(H.o. C|A) + P(B)*P(H.o. C|B) + P(C)*P(H.o. C|C)
= 1/6 + 1/3+ 0 = 1/2
根据贝叶斯公式,在主持人打开C门的条件下,A、B两门后面是车的概率分别为
P(A|Host opens C) = P(A)*P(Host opens C|A) / P(Host opens C)
= (1/6) / (1/2)
= 1/3
P(B|Host opens C) = P(B)*P(Host opens C|B) / P(Host opens C)
= (1/3) / (1/2)
= 2/3
这就是为什么要换二号门的原因。
2.主持人和游戏者一样蒙在鼓里,他是碰巧打开一扇“羊”门,那么
如果车在A门后面,主持人有B、C两种选择,打开C门的概率为
P(Host opens C|A) = 1/2
如果车在B门后面,主持人一样有B、C两种选择,打开C门的概率还是
P(Host opens C|B) = 1/2
如果车在C门后面,主持人还是有B、C两种选择,只是打开C门不可能看到羊
P(Host opens C|C) = 0
所以,主持人打开C门见到羊的概率为
P(Host opens C) = P(A)*P(H.o. C|A) + P(B)*P(H.o. C|B) + P(C)*P(H.o. C|C)
= 1/6 + 1/6+ 0 = 1/3
根据贝叶斯公式,在主持人打开C门见到羊的条件下,A、B两门后面是车的概率分别为
P(A|Host opens C) = P(A)*P(Host opens C|A) / P(Host opens C)
= (1/6) / (1/3)
= 1/2
P(B|Host opens C) = P(B)*P(Host opens C|B) / P(Host opens C)
= (1/6) / (1/3)
= 1/2
在这种情况下,用一个简单的条件概率式P(A|C.sheep)一样可以得出1/2的结果。这就是“不换”的原因。遗憾的是,从游戏的设置来看,主持人不知情的可能性很小。
当时的争议很多,大多都是由概率来解答的,下面的解法我认为更简洁:
开始拿一个,1/N 的机会,剩下总共有 (1-1/N)的机会,主持人拿掉必然为空的X个盒子后,剩下的总几率不变,每个盒子上升到{(1-1/N)}/(N-X)大于 1/N
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🙂不以为然哦 山寺桃花 字752 2006-09-11 13:36:25
🙂这是一个概率问题 山寺桃花 字576 2006-09-08 18:00:32
🙂都被绕迷糊了阿 水风 字78 2006-09-11 00:26:59
🙂水风兄请进。
🙂这个这个... 概率还真不是50% 煮酒正熟 字762 2006-09-11 01:13:09
🙂这是真的被绕迷糊了 水风 字2047 2006-09-11 22:31:24
🙂这有个前提。 njyd 字164 2006-10-17 09:04:07
🙂倒.. 妖道要没文化西河一大半都得是文盲了 1 煮酒正熟 字1324 2006-09-11 23:00:34