主题:【原创】今天的数学(系列) -- qiaozi
关于1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ……的计算有很多方法,是微积分里的一个基本结果。不过,还有一个初等的办法可以看出这个和必定等于无穷大。
用反证法。如果1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ……是有限的,我们把这个有限数记为L,那么
L = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …… = (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ……) + (1/2 + 1/4 + 1/6 + ……)
有不同意的吗?很好,我们接着来!
先看第一个括号。因为1>1/2,1/3>1/4,1/5>1/6, ……,我们知道
1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …… > 1/2 + 1/4 + 1/6 + ……
因此我们有
L = (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ……) + (1/2 + 1/4 + 1/6 + ……) > (1/2 + 1/4 + 1/6 + ……) + (1/2 + 1/4 + 1/6 + ……) = 2 ×(1/2 + 1/4 + 1/6 + ……)
显然
1/2 + 1/4 + 1/6 + …… = 1/2 × (1 + 1/2 + 1/3 + ……) = L/2
所以我们得到了
L > 2 × L/2 = L
这时不可能的。所以L不能是有限的。
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🙂呵呵,把这个忽略过去了 安德的游戏 字27 2007-01-18 14:25:24
🙂有趣,有意思。 马哥 字28 2007-01-18 12:56:32
😄文中有宝! 1 当生 字107 2007-01-18 12:00:49
🙂【原创】关于1 + 1/2 + 1/3 + ……的计算
🙂第一步就不太严格,绝对收敛级数可以任意交换顺序也是需要证明的 1 大洋芋 字169 2007-01-21 04:05:40
😨说的也对,可是 qiaozi 字90 2007-01-25 11:13:31
🙂问题就是怎么知道绝对收敛的就一定可以任意重排? 大洋芋 字0 2007-01-25 11:49:40
🙂是不是很怀念latex 泰让 字10 2007-01-18 11:38:16