主题：【原创】数理逻辑发展的简单脉络（1） -- 泰让
家园 【原创】数理逻辑发展的简单脉络（1） 说明：
准备简单整理一下数理逻辑发展的简明历程，主要是为自己的阅读清理思路和总结一下，我非专业人士，仅仅是兴趣所致，估计会有不少误解和错误，欢迎有同样兴趣的朋友批评指正。
欧氏几何和亚里士多德的三段论
希腊的黄金时代，产生了亚里士多德的逻辑学和欧几里德的几何。显然，这两门学科之间一定会有某种方式的交叉。或许就是在学者们研究几何的时候，发现直觉并非一定可靠，只有推理演绎才可以得出正确的结论，从而导致了逻辑学的发展。反过来说，也可能是有了经过总结的逻辑演绎规则，才进一步推进了几何学证明的进步。
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关于几何，特别是欧几里德几何，已经有earthcolor兄写了专文介绍。这里想补充的一点是，从现代观点看，欧氏几何是一个所谓公理化系统。也就是说整个体系首先建立了几条不可证明的公理或公设，此后的结论都由推理演绎导出，成为诸多定理。这个公理体系建立的非常漂亮，首先它很好的反应了人对空间的直觉感受，其次公理非常简洁，每一条都是缺之不可的。可能正因为如此，欧氏几何成了后来近2000年数学的主要部分，甚至牛顿在写作著名的《自然哲学的数学原理》时候，书中的证明很多仍然用的是几何的形式，而非现在常见的代数表达。当然，我相信，如此成功的体系不太可能是欧氏一人建立的，更可能是综合了诸多学者的综合成果。但《几何原本》本身的成功，却导致了其他文献的失传，我们已经比较难探明在此之前几何学发展的清晰脉络了，这是也算是一个遗憾。
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亚里士多德生活的时期略早于欧几里德。虽然我们中的很多人知道这个人，是因为他是同伽利略对立的错误典型，但实际上亚里士多德堪称他那个时代最伟大的学者。他的研究涉及几乎所有当时的学科领域。具体到逻辑学，亚氏的主要贡献是归纳总结了命题和推理本身的规律，这种归纳的成果就是三段论。
亚里士多德将命题总结为以下4种形式：
A)所有的P都是Q
E)没有P是Q
I)某些P是Q
O)某些P不是Q
（4种命题的代号，就是AEIO四个元音字母，是中世纪学者为了便于记忆而命名的，见下）
在此基础上，一个推演由三个命题构成（所谓三段论），其中前两个是前提，后一个是结论，比方说由三个A构成的
前提1：所有的P都是Q
前提2：所有的Q都是R
结论 ：所有的P都是R
因为这个推理是由三个A构成，后世的学者就用Barbara这个词来代表这种推理—Barbara的三个元音恰好是AAA。
当然，并非任意三个命题都能够成有效推理。亚里士多德归纳了所有成立的情况。
同欧氏几何一样，三段论一经建立，在接下来的近2000年内一直被认为是经典，天主教经院派哲学吸收了三段论的方法，并以此作为研究工具，甚至到20世纪初，仍有某些宗教学校教授此课程。
一个有趣的现象是，《几何原本》并未采用三段论的推理形式。这可能是因为在三段论中，缺乏命题链接词：如“与”“或”“因为...所以”等，而几何推理则大量充斥着类似命题。另一个原因，或许是几何术语中类似“点a在直线l上”的命题，实际上涉及了两个对象：点a和直线l。要比较好的描述这种关系，需要二元的谓词P(a,l)，单纯的原子谓词很难对此作方便自然的描述。这需要等到19世纪布尔等人的工作才得以实现。
家园 摘录一些名词作为补充 一直对命题逻辑比较理解，一阶逻辑不是很清楚。所以找本书来再看一看，复习数理逻辑，摘录一些名词作为补充
1。命题，真值，联结词
2。重言式，矛盾式，或然式
3。推理形式
4。同一律，矛盾律，排中律
5。全称命题，特称命题
6。归谬法
7。演绎法和归纳法
8。充分条件和必要条件
9。三段论
10。与逻辑相关的话题：思维，语言
比喻
归纳法：简单枚举法，类比法，因果关系法
辩证法：对立统一规律，量变质变规律，否定之否定规律
谬误
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家园 【原创】数理逻辑发展的简单脉络（2） 在希腊黄金时代之后的2000年里，数学和逻辑学都在发展着，但却并没有机会再次碰撞。直到17世纪的莱布尼茨，二者才又有了互相影响的机会。
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纵观数理逻辑领域内的大师们，很多是在多方面有开拓性贡献的全才，希腊时候的亚里士多德如此，后来的罗素如此，莱布尼茨也是这类的学者。他在数学上最知名的可以说是同牛顿各自独立地发明了微积分，比如我们现在微分时候使用的符号dx，就是他最先使用。但莱布尼茨的学术目标，其实比微积分更为宏大，他希望找到一套方法，可以让学者们学术交流时精确表达命题，不带歧义。甚至更甚一步，可以将逻辑演绎这件事情，完完全全地用类似算数运算的方法进行下去。莱氏的这个目标，是建立在他对人类理性思维本身可以形式化这一观点上的。因为在他眼中的宇宙各物体，都是由多种性质构成的，如果我们穷举了一物体的各个属性，我们也就描述了这个物体。如果我们可以把这些“性质”映射到数上，我们就有可能将数学作为描述世界的语言，从而演绎推理也就成了计算。
从这种意义上说，莱布尼茨是计算机理论的先驱。他甚至制作了一些可以进行自动运算的机械设备。但是，这种思维毕竟领先时代太多了，他的这方面工作并未立即引起重视，在他之后又150多年，布尔和德·摩根沿着此方向，提出了布尔代数。
外链图片需谨慎，可能会被源头改德·摩根（De Morgan)
德摩根继承并发展了三段论逻辑。他的一个重要贡献是提出了连接词，也就是与、或、非。有了连接词，就可以用几个更基本的命题来表达复杂命题。这样很大程度地提高了逻辑命题的描述能力。比如，如果我们用p来代表“今天刮风”，用q来代表“今天下雨”，再用r代表“今天上课”，那么，“如果今天刮风或者下雨那么就不上课”这个命题就可以表示为
(p or q)-->(not r)
其中箭头也是一个链接词，表示如果。。。则。。。或者称为蕴含词
德·摩根更知名的是所谓德摩根律，表达成式子是这样的：
not ( p or q )=(not p) and (not q)
仍用刚刚的例子，等号左边表示的是“今天没有刮风或者下雨”，右边表示“今天没有刮风并且今天没有下雨”，两者是等价的。
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布尔和德摩根是同时代的数学家，二人对数学逻辑问题应该有过讨论。布尔对逻辑的形式化更加推进了一步：如果把命题看作变量，把连接词看作运算的话，逻辑就可以转化成代数。这是一种特殊的代数：变量的值只能取{0,1}，如果我们把与，或，非用数学符号*,+,-来表示的话，这个代数有特殊规则：
0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1
0*0=0,0*1=0,1*0=0,1*1=1
a+a=a, a*a=a
a+(-a)=1, a*(-a)=0
其他代数规则，比如交换律，结合律也成立。
(注意这里-是一元运算，并且也不是+的逆运算）
从近世抽象代数来说，这是个定义在集合{0,1}上的一个环（Ring)。
布尔发现，如果我们把0看作空集，1看作全集，a表示全集的某子集，而+，×，-分别表示集合的并，交和取补集运算的话，同样的规律也适合集合运算。不过当时集合论尚未成熟，但这预示着集合将成为数理逻辑的研究对象。
曾经有一个说法:当一门学科发展到可以运用数学作为工具的时候，就标志着这门学科变成了科学。布尔和德摩根成功地将数学引入逻辑研究中，他们也被认为是数理逻辑学科的开创者。特别是布尔代数的建立，为后世的开关电路提供了理论基础：无论多么复杂的计算机操作，最终都是分解成了由“门电路”完成的0与1的逻辑运算。为了纪念布尔，计算机编程语言中，取“真”或者“假”两种值的逻辑变量，以及逻辑表达式被命名为布尔变量和布尔表达式。
家园 【原创】数理逻辑发展的简单脉络（3） 弗雷格和一阶谓词演算
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继布尔之后，美国学者皮尔斯和德国学者施罗德又分别对命题演算做了补充。1879年，德国数学家弗雷格发表了《概念文字》（Begriffsschrift）。在这本论文中，弗雷格总结了命题演算的最新成就，完善了“谓词”和“量词”的概念，并进一步地建立了一阶谓词演算体系。
所谓谓词，可以简单看作逻辑领域内的函数，不同的是函数把数（或者几个数）转化成数，而谓词的值域则是真或者假。举个简单的例子，如果谓词P(x)表示“x是白色的”这个命题，那么我们可以用：P(雪）=真，P(棉花）=真，P(煤球）=假
来表达 雪是白色的，棉花是白色的，煤球不是白色的 这三个命题。
而所谓量词，则是指在命题前修饰范围的词。这个概念本身其实并不新鲜，我们看到亚里士多德的4种基本命题中，已经有了“所有”“某些”这些概念。弗雷格将其同命题本身分离开来，用专门的记号表示“所有”和“存在”这两个概念。在现代记号中，我们一般用倒过来的A和E表示。如果我们仍用P(x)表示x是白色的，而用集合X表示“所有绵羊构成的集合”，那么
翻译成日常语言，就是“所有的绵羊都是白色”，而
则表示，“存在某不是白色的绵羊”。可以看出，这两个命题是相对的。
有了量词和谓词这两个工具后，逻辑的表达能力前进了一大步。但弗雷格的贡献不仅限于此，更有意义的是，他在《概念文字》一文中，建立了一整套的一阶谓词演算系统，其中包含有若干条推理规则，作为不证自明的公理。这些公理构造出了第一个关于推理本身的公理化系统。一阶谓词演算和布尔等人建立的命题演算，仍然是现在大学里初等数理逻辑课程的主要核心内容。
皮亚诺和公理化算数系统
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与逻辑学的稳步发展相比，数学，特别是数学分析在18、19世纪的发展可以说是突飞猛进。然而与这种飞速的进步不相适应的是，分析学的基础远非稳固。事实上，许多很基本的概念，比如函数的连续，可微，以及级数的收敛都没有严格的定义。我们现在初学微积分接触到的“德尔塔-艾普西隆”表达法其实是很后来才出现的。在这之前，即使如柯西这样的大牛，也会时不时的犯错误，证出个乌龙定理什么的。这样不严格的基础显然会限制分析的发展。德国数学家维尔斯特拉斯首先做了这方面的工作。随着对分析基础严格化工作的进展，人们逐渐发现，即使是对实数这种概念，仍然缺乏严格的定义。
1874年，德国数学家康托发表论文，建立了朴素集合论，这是个非常好用的数学工具。许多数学概念由此得以比较好的描述。用集合论的办法，戴德金分割可以用端点为有理数的相互嵌套的集合区间来描述实数。而有理数则是可以由自然数来定义的。这样一来，所有的基础都建立在了自然数上了。那么刨根问底的话，自然数又是什么呢？
意大利数学家皮亚诺对这个问题给了一个答案，他的想法是，可以用形式化逻辑这个工具来描述自然数。他用几条公理定义了自然数的概念。这是逻辑学在数学上的一次成功运用，也给“数理逻辑”这个词提供了新的涵义，在布尔等人的时代，人们试图用数学描述逻辑，而皮亚诺则开始用逻辑构建数学基础。自此以后，数学基础，以及集合论都被视为数理逻辑的分支学科。
同弗雷格一样，皮亚诺也独立地建立了一套带量词逻辑演算系统，但表述不如弗雷格严谨。不过他用的符号更为实用（弗雷格使用一套类似于现在数据结构的树一样的二维记号，不利于书写），现在我们用的属于，包含等集合符号，都来自于他。皮亚诺的另一个贡献是教学方面的成就，他和他的学生Burali-Forti, Padoa, 和Pieri都有相当成就，组成了逻辑学中的意大利学派。
家园 花 家园 上花 与，或，非用数学符号+,*,-来表示与对应*，或对应＋，是不是顺序改一下比较好？
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