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家园 【原创】勾股定理（一） 勾股定理大概无人不知，我国的《九章算术》有一章就叫“勾股”，有个著名的八卦：
50年代初，著名科学家钱三强率团出国考察，团员有华罗庚，赵九章，贝时璋等人。旅途闲暇，有人拟了“三强韩赵魏”上联求对，这上联因为“三强”既是钱三强的大号，也是战国时期韩赵魏三国的简称。华罗庚以“九章勾股弦”作对，“九章”是我国古代数学著作，其中首次记载了我国数学家发现的“勾股定理”，又刚好是代表团成员著名物理学家赵九章的大号，对的真是天衣无缝，珠联璧合，堪称绝对。西方称之为“毕达哥拉斯定理”。 毕达哥拉斯(Pythagoras,572 BC?—497 BC?)是古希腊数学家、哲学家。骨灰级的人物，咱就不废话了。说起来他和他的学生们对“数”的钟爱更多是种宗教的狂热，有很伟大的部分，也有迷信的部分，在讲到无理数的时候会再提。
勾股定理，作为一个定理来说，优先权是没有争议的，它属于古希腊人。事实上同时代的中国人并没有加以证明和解释，而只是叙述了“勾三股四弦五”这个事实，你爱信不信，也别问我为啥。在我们老祖宗手里，它更多的是作为建筑测量的工具发挥着实际的作用。（属于有用的数学）
但欧洲人不一样，非说出个所以然来，据说勾股定理的证明以千计，某本书上就搜罗了400多种证法。既然我给自个儿出的题目是“简单而不平凡”，就挑个简单的说说吧：
设ABC是直角三角形，C是直角顶点。作C到AB的高，垂足为D。两句话就够了。
1，ABC的面积等于ACD加BCD。 （废话）
2，ABC，ACD，BCD的面积分别与AB，AC，BC的平方成正比。 （相似图形面积与边长平方成比例）
行了。
近年有一次高考，考个题要求证明勾股定理。熟归熟，真到了考场还有不少孩子中招的。据说有学生用三角函数解答，一律批错，理由是三角函数就是从勾股定理来的，属循环论证。
喝口水，回来八一八勾股定理的伟大意义和不凡之处。
附：若干勾股定理的证明，wiki上找的，大家随便看看。
外链图片需谨慎，可能会被源头改
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本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)家园 下面这个实际就是相似三角形的比例吧。 2，ABC，ACD，BCD的面积分别与AB，AC，BC的平方成正比。 （相似图形面积与边长平方成比例）家园 不错 鲜花已经成功送出。
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家园 中国人的贡献 去图书馆查了李约瑟的巨著，澄清了我的一些误解。
首先中国人是正儿八经的证明过勾股定理的，下图是三国时赵爽给《周髀算经》作的注。
外链图片需谨慎，可能会被源头改相当于证明了
外链图片需谨慎，可能会被源头改，以及
外链图片需谨慎，可能会被源头改。不过时间上可能还是希腊人早一些。优先权之争需要确切的资料，年代太久很难讲清。
另外，古巴比伦人可能比希腊人还要早发现了勾股定理。
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家园 什么是证明 假如认为列出一堆3，4，5；6，8，10；5，12，13等等就可以了，那么大家都一边玩去，人家巴比伦哥们比商高的著名谈话还早就刻了几十组在泥板子上了。
假如认为需要一个对一般情况的逻辑推理，那么貌似还是得叫希腊人一声“大葛阁”。人家没有画格子数数，而是对一般情况作出了论证。
特别的，赵爽这个只能算勾股定理的一个举例说明罢了，算不得正经证明。照这样画格子数，5，12，13就要数个半死，更不要说一般的非整数情况根本没办法这样画着证。
有些朋友可能会觉得这个“说明”和希腊“证明”本质上是一回事，因为可以很容易顺着这个说明里的图写出希腊证明来。但是要注意，这件事“容易”是因为现代人对实数已经有了充分的认识，有没有格子都一样；但是对于千年前的古人，从自然数到整数到有理数实数，每一步都是认识上的飞跃。你给赵爽个直角三角形两直角边1，根号e试试，八辈子他也未必证得出来。严格地说，毕达哥拉斯也证不出来，因为他不懂无理数。但是希腊几何证明的好处就在于，有理也好无理也罢，我总可以（严格地讲这是需要证明的，没有人对此苛求是因为这远远超出了整个人类的古代数学水平）做出几个正方形来切切分分，拼拼凑凑。更有甚者，拼凑中的面积比较依赖的不是数格子，而是欧式空间面积的平移不变性。这样就完全避开了有理无理的难题。
当然了，希腊人原版证明我也没看过，没准和赵爽这个一个档次。也可能赵爽知道如何证，但是象费马一样懒得写。不过鉴于希腊人是几何思维，中国人是代数思维，两个可能性都不大。
总之，以现代数学的观点看，希腊人比其他文明在层次上要高了一截。不过这和民族智力之类的东西无关，不过是希腊人吃饱饭没事干的人比较多，选择了门槛低的几何，其他民族与天地人斗忙得很，选择了门槛高的代数而已（注意并不是说这两个学科有高下之分）。纵观人类数学史，没有一个主攻代数的古代民族能够发展出超越中国古人高斯消去法的成果，更不用说原本类型的系统理论了。
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家园 楼主自己发现了啊。这就是以讹传讹啊 我不知道中国人没有证明勾股定理的讲法是哪里来的。 但这肯定是有问题的
也有说《周髀算经》是后世伪作的。但这不能作为实证。要讲历史，中国古代史官的负责态度至少是不会比西方人差的
即便是在欧洲。毕达哥拉斯定理的讲法也不是唯一的。我记得法国好像叫驴桥定理。还有印度也有自己的讲法。
勾股，毕达哥拉斯，驴桥，还有印度的定理出现时间几乎是相同的（考虑到当时的交流限制），讨论谁先谁后完全没有意义。
唯一的解释是古代各地劳动人民在生产实践中共同发现了这个定理
家园 《周髀算经》不是专门讲原理证明的书 但它提到的不是勾股定理的特例，而是普遍原理。原文大致作：
以为句(勾）．广三．股修四．径隅五．
……
若求邪（斜）至日者．以日下为句．日高 为股．句股各自乘．并而开方除之．得邪（斜）至日
家园 “相似图形面积与边长平方成比例”也要证明吧。 我觉得勾股定理最好记的证明方法是用斜边画一个正四边形，然后用面积叠加的方法。
有两个美国中学教师写的数学史《天才引导的历程》，是我看到过的最好的数学史书，只要有中学数学的知识就能看懂，从古希腊时期的数学定理证明直到现在，大约20来个数学定理的证明过程，附带说明了背景，基本贯穿了整个数学史，深入浅出，非常的好。
里面的勾股定理是用的风车证明法。
希望lz写出更好的东西来。
家园 你说的对 用正方形剪切拼接是很美妙的方法，不过要配个图，我等会儿给补上。
面积与边长平方成比例那个，当然是需要证明的，不过我写这个帖子让河友能理解的前提下，希望尽可能的减少技术性的细节。而我相信大部分河友对成比例那个还是挺熟悉的，就省略了。
风车证明是什么？我很想学习学习。
家园 还有个分地的“土办法” 一户人家有分了1丈x1丈正方形土地，另一家比这家多了一倍劳力，故而分的地就是这家正方形土地对角线做边长的新“四方形地”其面积刚好是前者的两倍。