主题：【原创】上帝之书 -- 我爱莫扎特

勾股定理大概无人不知，我国的《九章算术》有一章就叫“勾股”，有个著名的八卦：

西方称之为“毕达哥拉斯定理”。 毕达哥拉斯(Pythagoras,572 BC?—497 BC?)是古希腊数学家、哲学家。骨灰级的人物，咱就不废话了。说起来他和他的学生们对“数”的钟爱更多是种宗教的狂热，有很伟大的部分，也有迷信的部分，在讲到无理数的时候会再提。

勾股定理，作为一个定理来说，优先权是没有争议的，它属于古希腊人。事实上同时代的中国人并没有加以证明和解释，而只是叙述了“勾三股四弦五”这个事实，你爱信不信，也别问我为啥。在我们老祖宗手里，它更多的是作为建筑测量的工具发挥着实际的作用。（属于有用的数学）

但欧洲人不一样，非说出个所以然来，据说勾股定理的证明以千计，某本书上就搜罗了400多种证法。既然我给自个儿出的题目是“简单而不平凡”，就挑个简单的说说吧：

设ABC是直角三角形，C是直角顶点。作C到AB的高，垂足为D。两句话就够了。

1，ABC的面积等于ACD加BCD。 （废话）

2，ABC，ACD，BCD的面积分别与AB，AC，BC的平方成正比。 （相似图形面积与边长平方成比例）

行了。

近年有一次高考，考个题要求证明勾股定理。熟归熟，真到了考场还有不少孩子中招的。据说有学生用三角函数解答，一律批错，理由是三角函数就是从勾股定理来的，属循环论证。

喝口水，回来八一八勾股定理的伟大意义和不凡之处。

附：若干勾股定理的证明，wiki上找的，大家随便看看。

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好像就是一位河友（萨苏？记不清了）的师兄干的好事，激起一片公愤。

鲜花已经成功送出。

此次送花为【有效送花赞扬，涨乐善、声望】

修改下送花的功能，加上一个送花数量吧

损就损吧，反正熊仔经验有的是

一户人家有分了1丈x1丈正方形土地，另一家比这家多了一倍劳力，故而分的地就是这家正方形土地对角线做边长的新“四方形地”其面积刚好是前者的两倍。

我觉得勾股定理最好记的证明方法是用斜边画一个正四边形，然后用面积叠加的方法。

有两个美国中学教师写的数学史《天才引导的历程》，是我看到过的最好的数学史书，只要有中学数学的知识就能看懂，从古希腊时期的数学定理证明直到现在，大约20来个数学定理的证明过程，附带说明了背景，基本贯穿了整个数学史，深入浅出，非常的好。

里面的勾股定理是用的风车证明法。

希望lz写出更好的东西来。

用正方形剪切拼接是很美妙的方法，不过要配个图，我等会儿给补上。

面积与边长平方成比例那个，当然是需要证明的，不过我写这个帖子让河友能理解的前提下，希望尽可能的减少技术性的细节。而我相信大部分河友对成比例那个还是挺熟悉的，就省略了。

风车证明是什么？我很想学习学习。

昨儿个看了仙人旧作，又被仙人教训了几句做人的道理，热血沸腾了一把，就开了这个系列。

才开了个头，就先有晨大当头棒喝，后有鲜花若干，虽知是红脸白脸的把戏，也不禁深感责任重大，将士敢不用命！

萨大俺是不敢学的，也学不了。不过说来，来西西河确实是被萨大的文章骗来的，而他的文章最爱的就是科学院系列。嗯，努力向他学习吧。

昨晚琢磨了一把，觉得给自己个儿定的题目太大了。咱就一点点写吧，走到哪儿算哪儿。要命的是，书到用时方恨少，平时聊聊天一套一套的，真的要写下来，真真是抓耳挠腮。人在国外，很多看熟的书都放在国内，苦啊！

系列的每个主题主要写3点：

1，介绍，包括历史背景等，当然会穿插典故八卦，帅哥（很少有美女）美图。

2，证明或说明，这里不可避免会出现技术性的内容，但没有这些就不是数学了，对吧？我的原则是，尽可能收录最短，最清楚的证明，一些不太困难的细节会被忽略，以加深主题。如果证明实在困难，则不收录了，但尽可能提供文献或链接。

3，意义和引申。争取做到由浅入深，介绍“高等”数学和“新”数学。事实上，大部分科普书或者根本不涉及20世纪的数学，或者让人看得稀里糊涂。所以这可能是最长的部分，也是我最没有把握的部分，但又是我最想写的部分（因为可以帮自己提高），尽力而为吧。

拿“勾股定理”来说吧，我打算写3段，2和3打算讲一些稍微难些的内容。其中2我会写“非欧几何”。我从中学就知道“非欧几何”，可现在真的要动笔却发现自己并不那么懂，所以等会我会去图书馆查些资料，尽可能讲一些“不平凡”的内容，而不是单纯描述高斯，黎曼，罗巴切夫斯基他们的故事。（我相信很多人知道这个故事）恩，争取周末能交货吧。

资料方面，我最爱的是Bell的《数学大师》(Men of Mathematics)，还有M.Klein的《古今数学思想》，都有中文版。

孔夫子谈艺术，“乐而不淫，哀而不伤”八字箴言，而古来能做到的有几人？探春让宝玉买小物件儿，也要那“朴而不俗、直而不拙”的，可让宝玉挠破了头。本文希望贯彻“简单而不平凡”这个标准，争取用不多的例子，把数学的魅力勾画出来，“有益有趣”。

最后，我特别河友们能贡献你们知道的宝藏，一段证明也好，一段评论也罢，数学也好，不是数学更好。总之，能让小弟有所裨益，也就不枉爬的千把个字了。

对了，新来乍到，河里规矩咱不太了解，要是有说错做错，还请指点一二，原谅则个。

也都很喜欢

伪数学爱好者兼数学盲来报个到，等填坑。

让我们暂时离开一会儿勾股定理，来看看几何学的变迁。

现代西方文明，来自于辉煌的古希腊时代。几何学无疑是希腊文明中最璀璨的几颗明珠之一。我们中学里学习的几何源自于古希腊欧几里德（Euclid）（约300 BC）的《原本》（The Elements）。欧几里德的著作是古希腊数学（不仅仅是几何）的集大成者，他收录了他的先辈与同时代数学家的思想，并以最严格有序的方式整合成文，记载下来，流传至今。

《原本》，2000年来不断被人重印

据说是保留最完整的古代《原本》

西方文明，乃至人类文明的演进是与对大自然规律的不断认识相伴相随的。认识规则，运用规则，改变规则乃至认识更高层次的规则，这是人类生产力不断提高的内在动力。人类很早就知道要将“规则”写下来，共同遵守。不论是社会方面的《汉谟拉比法典》，宗教上的摩西《十戒》，都是很好的例子。科学上，最经典的例子无疑是《原本》。

《原本》在一开始就提出5条公设及若干运算规则，并由它们出发，推导出所有的结论。这些公设都是一些浅显易懂，“不证自明”，让人觉得不承认它们都不好意思和人打招呼的“废话”。比如第一条是说，过两点可以连一条直线。运算规则也很浅显，比如：两个数分别与第三个数相等，它们也相等。这些基本假设数量少，内容“浅”，却无比强大，2000年的发展中，由它们出发推导的几何定理数量庞大又美仑美奂，真正是无与伦比。欧式几何学体系完美的体现了本文的主题：简单而不平凡！

欧式几何是2000年来科学的标准语言之一，对人类发展影响巨大的牛顿（Newton）巨作《自然哲学之数学原理》（上图）通篇都采用欧式几何进行推导，其中他论述了微积分这一直接导致第一次工业革命的数学工具。而同时代的莱布尼茨（Leibniz）则采用较代数化的推导。两人的学术之争及优先权之争最终导致英国与欧洲大陆科学界长达百年的割裂。

不过，科学家们都是怀疑主义者，事情太顺了，总有人不满意。随着时间的推移，人们开始把眼睛盯上了第五条公设。这条著名的平行公设是说：过一条直线外一点，有且仅有一条直线与原直线不相交（称为平行）。人们发现，这条公设似乎有点多余。它在全书中几乎是个摆设，唯一被使用的地方是用来证明一些平行线的性质，而此时全书已经过了一半了。给人的感觉是，这条公设本来没有，是老欧写书写到那里发现混不下去（四条公设不够用），拿来凑数的。于是一代又一代数学家前仆后继，试图证明老欧犯了错 ------ 第五公设不是公设，只是前四条公设的推论。

估计不少朋友会觉得这些后人们很无聊，多一条公设少一条公设真的那么重要么？我想说的是，简单，对于科学研究来说，不仅仅是美学要求，而可以说是最高标准之一。欧式几何的五条公设，牛顿三大定律，麦克斯韦八大方程，狭义相对论两条公设，这些完美的理论，一次又一次的告诉我们，“简单”所蕴含的无穷力量。科学界对这一标准的坚持是一贯的。法国大数学家Poincare比Einstein早大半年发表了狭义相对论的主要成果，唯一的区别是他用了三条公设，其中一条后来被爱因斯坦证明是冗余的。结果是，狭义相对论这一牛顿之后物理学最重大的革新之一被归于爱因斯坦一人。

接着说几何学。人们对第五公设的追逐可以用前仆后继来形容，但一千多年过去了，却没人可以成功证明第五公设。然而不懈的努力并非没有回报，人们找出了许许多多与第五公设等价的命题，其中就包括我们的主角 ------ 勾股定理。还有很多人从反面出发，假设第五公设不成立，试图推导出一系列“荒谬”的结论，最终导致与其他公设的矛盾，从而证明第五公设（即反证法）。这些看似徒劳的工作终有一天被人重新提起，大放光彩。

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• 【原创】勾股定理（十一）--- 王者归来

但它提到的不是勾股定理的特例，而是普遍原理。原文大致作：

以为句(勾）．广三．股修四．径隅五．

……

若求邪（斜）至日者．以日下为句．日高 为股．句股各自乘．并而开方除之．得邪（斜）至日