主题：【原创】闲扯雷达（一）——从中国余数定理开始 -- 代码ABC
家园 【原创】闲扯雷达（一）——从中国余数定理开始 有一堆桃子，两个人分多一个，三个人分少一个，五个人分多两个，请问一共有多少个。很久以前碰到过这个题目，不过当时不知道这是大名鼎鼎的中国余数定理的一个例题，只是当作大人作弄我们这些个小聪明的一种手段。知道这个定理的时候是很久之后的事情了……
再次相遇是在雷达技术的课本中。
跳跃性有点大，事情是这样的。我们知道雷达是靠接收反射的回波来发现目标的，不过光发现目标还不够，雷达通过回波要分析出目标的其它信息，最常用目标信息的就是距离和方位。方位先做个坑留下，我们看雷达是怎么测距的。
测距大家可能觉得很简单，不过就是发一个信号出去，然后等待回波，然后记录发出信号和收到回波的时间差，然后计算无线电波在这段时间里传输的距离再除以二（折返）不就可以了吗。理论上是这样，但实际操作起来就有些不同。实际雷达的测距是持续进行的，对于脉冲多普勒雷达来说，发出去的信号是一系列连续的脉冲，接收的回波也是一系列的脉冲。如果每秒发送的脉冲数量——脉冲重复频率——多到一定程度之后。回波脉冲有可能会在若干个周期后才收到，在无法确定回波脉冲是由哪个发送脉冲得到的情况下，也就无法测定目标距离了，这种情况术语称为距离模糊。图1
外链图片需谨慎，可能会被源头改显示了这种情况，目标回波是隔了两个脉冲周期才传回来的，无法知道到底是第一个还是第二个脉冲的回波，因此目标距离可能的数值就不止一个了。有人会说，如果记下在接收回波前共发送了多少个脉冲不就解决问题了吗？这个方法在示意图中看上去好像是可行的，但是在实际中无法做到。因为你无法知道发现目标时到底是哪个脉冲起作用。示意图中暗示了是第一个脉冲发现了目标，然而也可能是第二个。比如隐身飞机接近到一定距离后打开弹舱向你发射导弹。另外由于干扰或其它的一些原因我们很可能会丢失若干回波。所以在发送的脉冲没有标记的时候，高脉冲重复频率肯定会带来距离模糊。典型的脉冲多普勒体制的雷达，工作在高脉冲重复频率是，其重复频率都在100k Hz以上，也就是每个脉冲的间隔小于3公里。只要目标距离超过1.5公里，就会出现距离模糊。
还有人会说，那我把脉冲重复频率降下来不就解决了？的确是这样，如果脉冲重复频率小于1.5K Hz，那么距离小于100公里的目标就不存在（测）距离模糊的问题。不过脉冲重复频率的选择对于现在常用的脉冲多普勒体制雷达（PD雷达）是一个很重要的参数。高的脉冲重复频率有其不可多得的好处。
图二
外链图片需谨慎，可能会被源头改显示的是高脉冲重复频率的PD雷达的回波频谱，其中f0是雷达的工作频率，fR是脉冲重复频率。以这些频率为中心由于雷达本身的运动——机载雷达——总有一段频谱是有杂波存在的，这些杂波的存在会降低雷达发现目标的能力。从图中可以看出如果脉冲重复频率越高则这些杂波频谱拉开的距离就越大，这样无杂波的范围也就越大。目标频谱如果落在这些无杂波频谱范围内则雷达发现目标的能力就比较高。因此如果我们不怕距离模糊的话，发现目标的能力就还大大提高，这也是PD雷达的一个优点。事实上采取一些措施在高脉冲重复频率下是能够解决距离模糊的问题的，这些方法称为距离解模糊。其中一个方法就是利用中国余数定理（终于绕回来了）。其方法如下，采用多个（通常是两个或三个）不同的脉冲重复频率分别对目标进行测距，虽然在这些脉冲重复频率下都存在距离模糊，但问题变成了文章开头的余数问题。实际目标距离是脉冲空间间隔的整倍数与回波在脉间延迟的空间间隔之和的一半。这个倍数我们不清楚，但是在多个不同脉冲空间间隔的帮助下我们可以解出这个不定方程。19世纪高斯给出了这个方程的解法，然而在南北朝的时候中国的《数书九章》就给出了一般算法，所以这个算法也称为中国余数定理。
PD雷达距离解模糊的方法还有好几种，其中一种是连续改变脉冲重复频率使得目标回波落在脉冲间隔中间，通过对频率求导可以得到正确的距离，但是精度比较低。另一种方式就是用某种方式为发出去的脉冲加上标记，这样就可以知道回波到底是哪个脉冲的结果。常用的方式有线性载波调频和正弦波载波调频。不过前者测量精度依赖于调频线性度和变化率，后者则反应较慢。
线性载波调频由于响应较快适合于边搜索边测距模式，正弦波载波调频则适合于连续测距模式。两者精度都只有千米级，而不像上述方法可以得到10米量级的精度。同时如果有多目标的话线性调频方式还是会出现模糊或距离幻影。
土鳖扛一会。
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本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)家园 看了几遍突然想到一个问题： 雷达波能不能象无线通信系统一样进行扩频调制呢？
对于无法确认回波是那一道脉冲返回的，如果给每一道初始脉冲加上一段“身份编码”－－就像CDMA制式，来一个码分多址，不久没有问题了吗？还能通过不同回波判断出很多冗余信息？
家园 有这种雷达 目前这个概念在低截获率雷达和抗干扰方面运用很多。不过运用在脉冲多普勒体制上有难度。
家园 很专业啊！虽然我能得出所求的自然数是17但是还是很难 理解楼主的深奥理论
家园 呵呵，不定方程不止一个答案。 应该是17＋30×K,K为非负整数。
家园 解决了很久以来的疑问 以前一直不知道雷达怎么把各个脉冲信号区分开的。
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家园 扣几个字眼 首先花好文。勾起了我痛苦的回忆。。。不过觉得lz介绍还是不太科普，有几个地方不太清楚：
的确是这样，比如雷达的探测距离小于100公里，那么脉冲重复频率在1.5K以下时的确不存在距离模糊的问题。为什么呢？从理论上看不出为什么距离模糊这个问题会消失了啊。不管你电路的gating做的怎么好，你总是有可能接收到更远处的回波吗。
是不是因为实际中超过100公理雷达波已经发散或者衰减到noise floor以下，所以就不用考虑了？但是这样的话，是不是100公里就是雷达的最大探测距离？我记忆中雷达距离比这个大很多啊。
常用的方式有线性载波调频和正弦波载波调频。不过前者测量精度依赖于调频线性度和变化率，后者则反应较慢。lz这里提到的精度应该指的是成像解析度（resolution）的意思吧？那对于pulse－echo模式来说，解析度应该由pulse长度决定。pulse理论上的最短值，也就是最大解析度应该由雷达发射频率决定。其他方法不过是对这个pulse进行编码，编码过程中使pulse变长从而减低了解析度和增加计算的复杂度（但是我想现在dsp技术那么发达，很多计算的时间已经可以忽略不计了吧）。
我对编码的理解是，通过增加脉冲的能量，可以在不改变工作频率的前提下增加成像距离。但是因为增加了脉冲长度，所以牺牲了成像的解析度。
所以这里
如果有多目标的话线性调频方式还是会出现模糊或距离幻影提到的模糊和上文提到的模糊是两个概念，前面出现的模糊是因为PRF太高导致的，这里的模糊是解析度先天不足导致的。外行一点浅见，还望斧正。
- 复 扣几个字眼
家园 多谢提醒 文字表达的问题。
比如雷达的探测距离小于100公里，那么脉冲重复频率在1.5K以下时的确不存在距离模糊的问题。上面这句话我现在改为
如果脉冲重复频率小于1.5K Hz，那么距离小于100公里的目标就不存在距离模糊的问题你说的有道理，即使是探测距离没超过100公里，但是不代表100公里外的信号不会偶尔被接收到。我的原意njyd的理解是正确的。
至于后面有关线性载波调频的说法，很抱歉带来了很多混乱。这里讲的现行载波调频指的还是解距离模糊的方法。其具体方式简述如下：在一个测量周期中有一个阶段每个脉冲的载波频率线性递增，若递增频率间隔为f，第一个脉冲的载波频率为f0，则第N各脉冲载波频率则为f0+N*F。如果这时收到一个回波其频率为f0+M*F，那么我们就知道这是第M个脉冲的回波。理论上我们就可以根据这个回波的脉间延迟加上M个脉冲周期的时间计算出目标距离。不过更多的是直接采用M计算距离，因为脉冲重复频率足够高，脉间延迟部分的距离差别可以忽略。这就是这种方式下测距精度不高的一个原因。在实际实施中，测距精度则更多地受调频线性度的影响。另外以上描述没有考虑目标和雷达相对运动的多普勒频移，实际运用中这个频移无法忽略，并且在多目标条件下会造成无法判断出回波频移部分到底有多少是由于多普勒效应引起的。我文中的模糊指的是这个模糊，而不是精度问题。实际上为了解决这个问题线性调频方式的实现要比上述过程复杂许多，不但有频率线性递增过程还有线性递减过程和无频率调制的过程。由于理论性太强我真没有找到比较简单的描述方式。所以使用了脉冲标记（编码）的说法，这个就造成了误解。
而你说的解析度问题则是另一回事了，在我这篇文章中没有讨论。关于脉冲宽度和距离分辨率（你说的解析度）的关系，我会在有空写脉冲压缩技术的时候再讨论，巧合的是脉冲压缩技术也用线性调频方式，再次造成误解。
你关于脉冲宽度对距离分辨率和探测距离间的描述是正确的。但编码方面的理论有偏差。
另外，在无线电术语中我们不使用Pulse长度这个词，而是使用脉冲宽度，或者使用脉冲占空比这个概念。
- 复 扣几个字眼
家园 几点提示 的确是这样，比如雷达的探测距离小于100公里，那么脉冲重复频率在1.5K以下时的确不存在距离模糊的问题。为什么呢？从理论上看不出为什么距离模糊这个问题会消失了啊。不管你电路的gating做的怎么好，你总是有可能接收到更远处的回波吗。
是不是因为实际中超过100公理雷达波已经发散或者衰减到noise floor以下，所以就不用考虑了？但是这样的话，是不是100公里就是雷达的最大探测距离？我记忆中雷达距离比这个大很多啊
100公里 X 1500 X2 是电磁波一秒钟传播的距离。这个问题和信号强度无关。不是测不到而是“模糊”。
我对编码的理解是，通过增加脉冲的能量，可以在不改变工作频率的前提下增加成像距离。但是因为增加了脉冲长度，所以牺牲了成像的解析度。说的还是测距，不是成像。要实现大的雷达威力，也就是探测距离，要求大的能量。脉冲能量等于功率乘以时间。如果脉冲时间长会带来测距模糊。
- 复 扣几个字眼
家园 他这应该是指被探测目标小于一百公里。 不是说此雷达收不到一百公里以外的回波。
家园 只能这样理解 t0时刻以f KHz 发有限多个脉冲，那么t0+1/f ms内收到的回波可以确定回波来源的位置。
前提是t0时刻前要有足够长的时间雷达没有发射脉冲，以保证t0~(t0+1/f)内收到的回波都是t0脉冲的回波。
家园 好贴 怎么是我得宝,应该是楼主的吗
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家园 科技版的高科技帖 多谢！