主题：【原创】纳什均衡即为势--对博弈论的分析 -- baiqi
家园 【原创】纳什均衡即为势--对博弈论的分析 纳什说一个谈判要么破裂，要么结果一定是有限个均衡点的一个，所谓的均衡点，就是全方面无限深度考虑，我就只有这样选才行，再好的不可能发生，再坏的就吃亏：大家都这么想，就会有一个大家都感觉合适的点，达到这个点后(纳什的主要贡献是证明这个点是存在的)，大家都不会想改变了。要做到无限深度思考，前提是
1人是绝顶聪明
2大家都认为每个人绝顶自私
3绝顶贪婪，如果有得到1000元与1001元的方案，也必定选择后者。
然而，人不是绝对理性的，如果抛弃第1项,可以得出：在无数个重复的谈判中，人会根据上一回谈论的结果以及取得的实际效果，再次决定下一回谈判的取向，最终会趋于均衡点，这,就是势。生物进化学与均衡点相结合取得了不错的结果，比如说，在《自私的基因》当中提到的，如果基因突变的新物种，面对旧物种有一个较高的胜率，于是因为较多的胜出，可以获得更多的资源，包括配偶权，因此扩大了基因，使自己的后代增多，当属于自己物种的数量增多，使得在与同种生物竞争时，胜率相当，空间固定，属于自己的物种增多，竞争次数也不免增多，高胜率不能保持，于是数量增长减速趋于0，于是两个物种的数量达到平衡，当然，某一方的数量因为偶然事件突变，那么仍旧会再次趋于平衡点，并在平衡点上下波动，直到新的物种出现，引入一个新的平衡点。
二人谈判必有有限的均衡点，但如果均衡点多于1个，那么问题仍然很大，它只是说如果最终达成了谈判则必定属于（假设是绝对理性人）其中一个，但属于哪一个，并不清楚，有可能因为多于1个，反而达不成妥协。纳什发觉，之所以产生多个均衡点，是因为他认为人应该是这样思考的：如果对方实行A策略，那么我就用B策略应对；如果对方实行C策略，我就用D策略。他认为该抽象有问题，于是发展了混合策略模型，即人应该是这样思考的：对方实行A的策略概率为 p,实行B策略的概率为（1-p），我应该使用C策略的概率为q,D策略的概率为(1-q).如此抽象，发现二人谈判必定只有一个均衡点。这说明两个问题：
1.纳什的理论也是基于某种抽象，他的理论的正确性完整性适应性依赖于他抽象的好坏，只能说是接近于真相的理解，可能也未必完备，比如说他认为人是绝对自私的，这个其实不太正确；
2.他认为概率是客观存在的，认为"对方实行A的策略概率为 p,实行B策略的概率为（1-p）"是合理的,期望（统计学中的期望）是有效的（即，期望对人的决策影响是有严格规律的），期望是否有效，现在还是个问题。
这里有个例子：比如说石头剪刀布。如果没有混合策略模型，照里说虽然有平衡点（三个平衡点：两人出石头，两人出剪刀，两人出布），但是根本就不会趋于这三个平衡点（三个，如何趋于？）。但是，如果对方就认准你出三者的概率是p1,p2,p3,而你认识他出三者的概率为q1,q2,q3,这个平衡点经过运算后就只会是一个（如：两人出包）。这个观点在<big bang theory>某一集所说的"一群相处久了的人,在包剪锤游戏当中,他们倾向于出同一种".
纳什继续推广，如果是N人彼此之间没有合作的博弈，是否有这样的均衡点呢？他证明是有，且有一个（在混合策略模型下）。
平衡点是必然之趋近，一个人能够准确的预测到该平衡点的存在，也就是说把握了大势。比如说一个游戏：有固定的60亿人，每个人都给一个从0到 1000的数字，所有的数字的平均数的1/3记为a,哪个人给的数字最靠近a,这个人就获胜。如果大家都是绝对理性人（超级聪明，绝对自私），那么大家都会猜是0，但是可能读者读到这儿都未必知道会是0吧，只能说不是绝对理性人。这个游戏反复地玩，大家的平均数就越来越小，直到最后大家都不约而同地选择 0.
但是必须得怀疑人世间实在的游戏是否会这么简单，平衡点是基于固定人群、固定可选策略下才存在的，人群不固定、不可预测的新策略也随着科技发展（或其他变化）而生成，导致了系统不是固定的，平衡点可能不存在。比如,在生物进化理论当中,新的物种持续产生,这种假想的平衡点,在现实中根本找不到对应.这一思想在索罗斯的<金融炼金术>中继续阐述,在现在的股市，如果平衡点存在，所有股票分别的价格都会远近于某个平衡点，但是平衡点在现实中根本没有出现,我们应该反省抽象模型的适用性.其实索罗斯的思想与混沌理论有密切相关,尽管他本人可能不知道混沌理论.混沌理论在更广阔的维度探讨事物会趋进的状态,发现会趋进于分形.分形是一种自相似图形,例如树,每个小树枝都很像它所在的大树枝;每天小河,都像它所在的大河;每个山棱都像各大的山棱.各种各样的分形,就是我们应该研究的东西.
——那么,人类社会会趋于什么分形呢?
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家园 补充一下 ：比如说石头剪刀布。如果没有混合策略模型，照里说虽然有平衡点（三个平衡点：两人出石头，两人出剪刀，两人出布），但是根本就不会趋于这三个平衡点（三个，如何趋于？）。但是，如果对方就认准你出三者的概率是p1,p2,p3,而你认识他出三者的概率为q1,q2,q3,这个平衡点经过运算后就只会是一个（如：两人出包）。你举的这个例子，诠释当中有不少需要补充的内容，正好博弈论是我的论文方向，而我导师也有一篇很有意思的文章研究过石头剪刀布游戏。
首先，“如果没有混合策略模型”是个超级大的假设。这三个策略是如此的对称，因此最有意义的均衡自然是每个玩家以1/3，1/3，1/3的混合策略参与游戏。你提出的其实是一个已有不少理论研究话题，即有多个Nash Equilibria时的Equilibrium Selection问题。因为某些原因settle在某个特定的均衡上（如两人出包）是可以的，但是需要一些额外的东西来break the symmetry，比如你提到的熟人之间的默契，类似于focal point的解释。
接下来说那个自然的混合策略，我导师提出的问题是，真的就必然要收敛到这个混合均衡吗？回答这个问题需要之前game theory没有太多深究的一样东西，即off equilibrium dynamics：玩家在尚未到达均衡之际（其实大部分时间都是off equilibrium的）是如何对别人的策略做出反应的。简单说一下结论，如果是个good Rock-paper-scissors game（比如赢了得1，输了扣0.5），那么混合策略是收敛且稳定的；而要是个bad Rock-paper-scissors（赢了得1，输了扣2），那才有趣，不收敛，且只要稍有扰动就会奔一个围绕着1/3,1/3,1/3打转转。
外链图片需谨慎，可能会被源头改注：上图仅左下角的那个金字塔描述了RPS game,其他三张无关本主题，请忽视。
而且如果是带平局的Rock-paper-scissors，混沌可以观察到。
- 复 补充一下
家园 重复博弈相比一次博弈产生了质变 其实是我的失误，在混合策略下的均衡点就是一个概率向量（p1,p2,p3,q1,q2,q3),在一般的包剪锤游戏中为(1/3,1/3,1/3,1/3,1/3,1/3).熟人之间产生经常有相同的出拳情况，应该是另有解释。比如说在重复博弈时pi,qi不断的变动，最后产生了p(A出某拳【此拳与B相同】|B出某拳）的概率十分大，在无穷次重复博弈时，概率为100%。这个也可与纳什均衡无矛盾，他们出各拳的概率为1/3,但是出相同的拳的概率为1.但是这个具体是怎么来的，真应了你说的那句，要考虑“玩家在尚未到达均衡之际（其实大部分时间都是off equilibrium的）是如何对别人的策略做出反应的”。如果你有什么见解，请不吝赐教。
另外一个，不光是你这儿提到的，混合策略模型中重复博弈不能趋于绝对理性人一次博弈得到的结果；其实重复博弈相比一次博弈产生了质变，普遍会得到不同的结果。
例如囚徒困境，如果是重复博弈的话，那么囚徒会认识到合作的可能性，并试探之。如果某个囚徒采取一报还一报的策略（1.第一次是合作2.以后每一次视对方上一次是合作还是背叛来作出决择：对方上一次与我合作[即两人都不招供]我这回就合作，上一回背叛我，那么我这回也要背叛）那么如果有n个囚徒两两重复博弈，这一策略却是得分最高的。
所以重复博弈、多人博弈都带来了游戏的质变。
你给出的链接我看了，你要阐述的主旨大体明白，但图例还有不懂的地方，尤其是一些字母的含义。另外有个想法，不妨这样思考：重复博弈会带来质变，如果在重复博弈下考察趋进这个问题，事实上整个游戏都变了，不如换成绝对理性人一次博弈，根据你给出的bad rps game的规则，看看会得到什么结果。按照纳什的博弈论，有个均衡解。也就是有个均衡概率向量。而如果变成重复博弈，每个理性人在第一次就产生了均衡解，往后会如何发展呢？重复博弈到底有什么本质的不同？这真是个很大的问题啊。
家园 我认为重复博弈的和一次博弈的本质不同是 受到规则的“奖惩”而不停修正自己的行为。
我认为，纳什模型的一个本质缺陷是没有把规则当作博弈本身的一部分，因而是静态的。
如考虑囚徒困境，不能只把囚徒当作一个整体，而是要把警察和囚徒当成一个整体来看，从而得出一个整体的博弈结果--从这个整体结果的趋向来看才合理，而不是把囚徒就看成一个整体。因而，囚徒困境的实质只是一个规则导向的问题--就是您说的“势”。
请您看下我这个根据八卦折腾出来的模型：http://www.ccthere.com/article/3034853。
“你我他”模型，我以为是这个世界运行的本质模型，可以无限推广。
所以，我以为人类社会其实也是有分形的，本质是：
1。所有行为从长期来看都是受到我们未能掌握的天道制约的。
2。人类社会的存在形式
a。目的：拥有更多的“力”
b。方法：尽可能有更多的博弈机会（自由度）。
由此，可以观察人类社会的分形。
不吝赐教！
家园 这就是一个数学问题 目前来看，用搞电磁场那套东西出来的数学工具去猜人心，离靠谱还有点距离
家园 【原创】所言极是 本来就是如此,不过人类社会有很多pattern,很多pattern如果知道其原因就是混沌,可以举一反三.
比如说:资源的分配多呈现幂率分布,学习曲线为何也是幂率分布,这其中的道理其实是混沌. 比如总体资源的80%属于20%的人群,而这20%人群的20%占有了这20%人群的资源总量的80%,这样一来这条资源曲线总体就呈幂率分布了.幂率分布与学习曲线(experience effect)被大量地用在咨询领域\经管领域,,这个结论已经很靠谱了.
关于幂率分布,见我的另一篇:外链出处
我想通过多人的探讨能否得出其他有价值的结论呢?虽然离对人心的认识还有一段很长的路要走.