主题：几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0） -- changshou
家园 感谢您的科普！ 但是我理解有限，看完了所有的文字，但理解只到17章。
请问对于暗能量和宇宙常数能再讲讲吗？看过一些材料，说宇宙似乎有过一段收缩。
家园 有没有相关的书籍或资料可以推荐 谢谢你的辛苦工作。你在是尽可能用最浅显的语言介绍最深奥的理论，所以对部分有些许理工背景的读者来说，有些地方读完仍不过瘾，比如爱因斯坦方程的具体形式，流形的数学表达等等。想深入了解的话，不知有没有相关的书籍或资料可以推荐？
此外，想知道是否可以把时空奇点理解成对流形连续性的破坏，如果说把流形比作拉伸的橡皮膜，可以任意连续变形，奇点是否就是橡皮膜上的某种“破洞”。
家园 还不过瘾？兼答奇点的疑问 那几乎只有看教科书了。
说几乎是因为还有一个唯一的例外：彭罗斯(Penrose)的“Road to Reality”（不知有没有译为中文）。不过那本书讲得很杂（而且有大量数学公式），而且我讲的有些东西他也没有讲。不过这应该是唯一一本面向非专业人士的而又比我讲的要难的书了。
我写这个科普的目的就是为了缩短 几乎所有科普书和专业书籍之间的距离。
是否可以把时空奇点理解成对流形连续性的破坏，如果说把流形比作拉伸的橡皮膜，可以任意连续变形，奇点是否就是橡皮膜上的某种“破洞”。不可以。说流形有时空奇点是没有意义的，因为（没有指明度量结构的）流形不是时空，作为爱因斯坦方程解的洛仑兹流形才是。而橡皮膜上有某种“破洞”是和度量结构毫无关系的拓扑学性质（指的是流形不是“紧”的，即有些点的序列没有极限）。事实上一般的时空从拓扑学上讲都是有破洞的（不“紧”），比如闵科夫斯基时空就不是紧的（因为可以跑到无穷远，而“无穷远”不是闵科夫斯基时空的一部分，从橡皮膜的角度看，“破洞”就在无穷远处）。可见橡皮膜上有某种“破洞”和时空有奇点毫不相关。
家园 几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （29） 几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （29）奇点
29.1 奇点不可避免
大爆炸奇点和前面讲过的黑洞奇点 都是我们不了解的东西。这会不会是由于我们的模型过于理想化造成的? 比如如果我们不假设宇宙空间部分是均匀的 是不是就有可能避免奇点？
不幸的是 人们证明了一系列“奇点定理”。它们说 在很一般的情况下（不是所有情况，但适用于宇宙学模型和大质量天体坍缩） 奇点一定会出现。这里的奇点出现，指的是时空中存在 不完整的类时或类光测地线。也即是说 有的观察者 哪怕从理论上讲 也只能有 有限的原时。 比如在黑洞的情况，进入史瓦西黑洞视界的观察者 在有限原时内到达黑洞奇点。在宇宙学标准模型的情况，往前回溯的一切测地线 在有限长度内 抵达大爆炸奇点。当然我要指出大爆炸奇点和黑洞奇点 是不同类型的。大爆炸奇点真的就是一个点，而黑洞奇点 是时空中一条线（史瓦西黑洞时空中 球心的世界线）。
对于一般的奇点情况，虽然我们没有大爆炸奇点和黑洞奇点 这样的较具体的理解，我们也知道大事不好。类时或类光测地线的不完整 意味着有的观察者（向未来或向过去）存在着存在着就没了。而这个“就没了”不是说观察者无故消失在某时间长河中和虚空中某处，而是说他存在着存在着 时空就没了
。我们怎么能导出这么匪夷所思的结论呢（当然从纯几何的角度看倒没什么匪夷所思的，比如28.3就不是什么古怪的几何）？用的是反证法。对于很多爱因斯坦方程的解（包括最重要的天体坍缩和宇宙模型）来说 如果不出这种怪事，数学上就会自相矛盾。这就是奇点定理的证明思路。当然物理学家并不真的认为情况就是这样的，一般认为只有量子引力才能处理奇点。广义相对论在奇点失效，可以说广义相对论自己预言了自己的失败之处。
不过也别高兴得太早，很多人认为在量子引力中，接近奇点到一定程度，时空这一概念就不再适用了。所以也许未来的学者可以另一个意义上阐明 存在着存在着时空就没了。奇点定理告诉我们，在宇宙学和大质量天体演化的研究中我们无法回避奇点。大爆炸奇点问题 是宇宙学的又一重大基本问题
。29.2 奇点和初值问题
在（25）中我们讲过爱因斯坦方程的初值问题告诉我们 柯西超曲面 完全决定了 由它演化出来的全局双曲的时空。这就是广义相对论在一般时空中的预言能力的来源。而29.1 又说很多时候这种全局双曲的时空是有奇点的（即测地线不完整）。 这样看来唯一的麻烦似乎就是 奇点处广义相对论失效。只要我们不考虑奇点附近的时空 应该就没事。
但其实我们可能面临糟糕得多的局面。奇点的存在可能会破坏广义相对论在哪怕远离奇点的地方的 预言能力。物理上说，奇点可能暴露于观察者，由于我们不知奇点为何物 也就不知暴露于观察者的奇点会对观察者产生何种影响。由此我们就失去了预言能力。数学上讲，全局双曲的时空 确实由柯西超曲面完全决定，但全局双曲的时空 可能只是一个更大时空的一部分。因此“真正的”时空可能存在着“超越全局双曲” 从而 超越理论预言能力的部分
。为了对付上述问题，物理学家提出了著名的 宇宙监督猜想。以黑洞时空为例，黑洞奇点虽坏，但他被事件视界完全封住了。远处的观察者 无法受事件视界之内发生的事情影响。因此事件视界之外我们有预言能力。宇宙监督猜想的一部分就是猜想 在类似天体坍缩这类的情况时，如果出现了奇点，就会出现事件视界隔离它。这也意味着黑洞的存在应该是普遍的现象
。那么对于没有事件视界隔离的大爆炸奇点，又会怎样呢？其实全宇宙的观察者都是暴露在大爆炸奇点下的，因为全宇宙都是从大爆炸奇点来的。但是如果我们选择任意时刻的宇宙的空间部分 作为爱因斯坦方程初值问题的出发处， 那么除了大爆炸奇点之外的全部时空（按宇宙学标准模型）就都被决定了（即我们得到全局双曲性）。因为时空不能“超越”大爆炸奇点（因为遇上无穷大了） 扩张为更大的时空，我们就在宇宙学标准模型中 保有除了大爆炸奇点之外的 时空预言能力
。宇宙监督猜想的另一部分就是猜想 爱因斯坦方程初值问题决定的全局双曲时空 不能扩张为更大的时空。这里的不平凡之处在于 奇点定理只告诉我们有不完整的测地线 而没说会遇上无穷大，因此我们不清楚是不是能够“超越奇点” 扩张时空。当然对宇宙学标准模型的大爆炸奇点 和 史瓦西黑洞奇点而言 我们确知有无穷大弯曲度出现（从而不能“超越奇点” 扩张时空）。所以宇宙监督猜想这时是成立的。值得指出有一些极特殊的例子使得宇宙监督猜想不成立。但它们被认为是“不够物理的”，因为它们不具有小扰动下的稳定性（从而然以想象如何能真的实现）
。我们只要求 宇宙监督猜想对一般的有奇点时空成立。宇宙监督猜想 不告诉我们奇点是什么，但他把奇点的危害降到了最小。宇宙监督猜想 可能是纯广义相对论中最重要的未解决问题。
待续
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)家园 几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （28） 几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （28）宇宙学标准模型（续2）
28.1 大爆炸奇点
宇宙学标准模型的另一个重要后果是 如果我们沿着整体坐标时间往前追溯，则宇宙的空间部分在不断收缩。可以证明，在有限的坐标时间之前，空间部分度量结构的变系数 就降为0了。这意味着所有空间距离都趋向于0。由于宇宙间有物质，物质的密度趋于无穷大。 这就是著名的大爆炸奇点
。广义相对论至此失效
。28.2 大爆炸奇点是时空的来源
大爆炸奇点的存在意味着我们不能无限的沿坐标时间往回追溯，因为到了大爆炸奇点处空间就缩为一点了。因此我们可以说宇宙有有限的年龄。问大爆炸奇点之前有什么 没有意义，因为大爆炸奇点是时间起点。
同样的问大爆炸发生在何处没有意义，因为大爆炸奇点处全部物理空间缩为一点了。
当然严格说来，上面讲的是纯粹宇宙学标准模型的结论。由于广义相对论失效，在极接近大爆炸奇点时 很可能要由（未确立的）量子引力理论接管，宇宙学标准模型也要相应修改。因此更严肃的回答是：我们不知道 问大爆炸奇点之前有什么 是否有意义。因为我们不知道 大爆炸奇点附近的物理。
28.3 一个帮助你理解的玩具模型
我们考虑一个 有标准度量结构的3维欧氏空间。考虑所有以原点为球心的2维几何球面。取一条以原点为起点延伸至无穷的射线。射线上的每一点 有它到原点的距离。然后我们考虑半径为该距离的2维几何球面。 现在我们用球面的坐标（经纬度）和径向（沿射线的方向）的距离作为我们的坐标系。我们可以写下标准度量结构在这个坐标系的公式。然后我们在径向方向的系数前添上一个负号。
我们把径向方向（射线方向）作为时间方向（因为它的度量结构的系数是负的）。给定一个时刻，就等于给定一个半径。我们把给定时刻（半径）的2维几何球面 解释为宇宙的空间部分。这就是我的玩具模型。原点是大爆炸奇点。整个宇宙时空， 作为流形，就是3维欧氏空间。 它是由空间部分（2维几何球面）沿着时间方向（径向）演化而成的。由于随着时间（半径）的增大，几何球面上的距离在增大，所以宇宙在膨胀。宇宙在某一时刻的空间部分（2维几何球面）有限无边。
在这模型中，时间方向无（未来）终点，但是有起始。起点是原点，即大爆炸奇点。问大爆炸奇点 之前是什么没有意义，因为大爆炸奇点处时刻（半径）是0，而我们没有小于0的时刻（半径）。问大爆炸奇点 发生在何处也没意义， 因为大爆炸奇点不是位于某个物理空间里的，大爆炸奇点处2维几何球面（全部物理空间）缩为一点（半径为0的球面就是原点）。
当然现实的模型和玩具模型有区别。第一 这里的玩具模型空间部分只有2维，现实模型中应换为3维；第二 玩具模型空间部分 具有正的常曲率，而现实模型中是（极接近于）平直的；第三 现实模型中有物质和能量。
28.4 暴胀模型
暴胀模型说的是在很接近于大爆炸奇点但又不是特别特别接近（以至于要直接动用基本的量子引力理论）时，宇宙学标准模型要作重要调整（在稍稍离开大爆炸奇点以后就不需要调整）。调整的结论是由于某种来自于待定的基本理论的机制，宇宙在极短时间内（若干亿。。。亿分之一秒）空间暴胀了很多倍（若干亿。。。亿倍）。暴胀模型可以解决一些宇宙学标准模型中的棘手问题（但不包括最基本的 奇点是什么的问题和暗能量/宇宙常数是什么的问题）。由于它的一些预言受到了一些对宇宙不均匀性的精细观测的支持，不少宇宙学家都支持暴胀模型。 不过它的地位还没有宇宙学标准模型稳固。
待续
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)家园 几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （27） 几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （27）宇宙学标准模型（续1）
27.1 宇宙间的物质/能量
我们想使用爱因斯坦方程 来分析宇宙的时空。这要求我们要对宇宙间的物质/能量 有一个大体的描述。宇宙间的物质/能量 按照不同性质可分为以下几类。
普通物质与辐射：我们通常所说的各种物质 如各种星系等 以及遍布空间的“背景辐射”。
暗物质：通过分析星系团中的星系运动，人们认为宇宙间存在大量未被直接观察到的“暗物质”。暗物质的作用是通过他们的引力体现的，其本性为何尚不清楚
。暗能量：一种假定的怪异能量。主要特点是能够起到一种“反引力”的作用。暗能量的引入既有理论上的原因，又是观测的要求。
27.2 宇宙的空间部分极接近于平直时空，宇宙的膨胀在加速
这两点都是天文观测的结果。他们导致了深刻的后果。
解爱因斯坦方程后， 我们得出 宇宙的空间部分是怎样弯曲的（常曲率为正 负或0） 以及 宇宙的膨胀是否加速的问题之答案 由普通物质，辐射，暗物质和暗能量的在宇宙的空间部分上的密度共同决定。注意我说的这些密度指的是目前（坐标时间的）时刻的状况。根据前几篇初值问题的讨论，这是合理的。
于是 由宇宙的空间部分极接近于平直时空 以及宇宙的膨胀在加速 这两个事实 我们可以反推出：第一 存在一种倾向于使膨胀加速的 “暗能量”；第二 暗能量 与其他的物质/能量（包括普通物质，辐射与暗物质）分别占据了 当前宇宙的空间部分中 物质/能量的大约七成和三成。
27.3 暗能量/宇宙常数问题
前面讲过引入暗能量还有理论上的考虑。指的是什么呢？ 原来 在爱因斯坦方程的左边的几何量 其实有一定的不确定性。我们可以加入（也可以不加入）一个“宇宙常数项”。这指的是 加上 一个常数乘以描述度量结构本身的数学量（不是描述度量结构弯曲的数学量）。这个常数叫做宇宙常数。 他的数值不能从爱因斯坦方程决定
。现在我们把宇宙常数项从爱因斯坦方程的左边移到右边。 右边是描述物质（能量）分布的量。于是我们要把宇宙常数项也解释为某种能量。这种能量有两个特点：第一，他是和时空本身结合在一起的（但我要强调这种能量和（21）中讨论的弯曲时空的总能量 完全是两回事），因为它是由度量结构和一个常数决定的。从这个意义上讲，他可以被说成是真空的能量。第二，可以证明这种能量倾向于使宇宙膨胀加速。
上面的第二点正好是暗能量的特点。于是一个自然的想法是：暗能量应该就是宇宙常数项。如果做这个假设，我们就可以从观测推出当前的宇宙常数值。结果是：宇宙常数大于0，但非常非常接近于0。
上面的第一点（宇宙常数项是真空能量）和量子力学的想法是相契合的。量子力学与狭义相对论结合后的量子场论指出， 由于量子效应 真空的能量不是0（不解释）。如果我们不加思索地把这一点应用于宇宙的时空，那么我们就要求爱因斯坦方程中 考虑类似宇宙常数项这种类型的真空能
。到目前为止似乎我们有很好的局面：宇宙常数项，暗能量和量子真空能 三者似乎是一回事。可是量子理论计算的真空能 是 观测中给出的暗能量值（或宇宙常数）的若干亿亿。。。亿亿倍。这一偏差被戏称为人类有史以来最糟糕的科学预言
。问题出在哪里？是不是有什么隐藏的对称性要求真空能被抵消？ 可是如果被抵消就应该是0，而不是一个很小的正数。我们需要一种机制能把一个若干亿亿。。。亿亿的数消解为一个仅为若干亿。。。亿分之一的数（极小的宇宙常数或暗能量密度）。这在理论上是极困难的。我们还可追问 是什么机制决定宇宙常数？宇宙常数真的是常数吗？甚至暗能量真的是宇宙常数项吗？还有，为什么目前暗能量和其他能量在数量级上相当（七成对三成），难道说我们处在一个 宇宙的整体坐标时间的特殊时刻吗？
上面一系列的深刻问题，我统称为 暗能量/宇宙常数问题。暗能量/宇宙常数问题 跨越量子力学，广义相对论，宇宙学和天文观测， 是对基础物理学的全学科的一个重大挑战
。待续
通宝推：河区分,
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)家园 广告：我讲到宇宙学的模型了 家园 几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （26） 几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （26）宇宙学标准模型
26.0 什么是宇宙学模型
我们想建立一个关于宇宙的在最宏观尺度上的模型。我们希望对全部的时空有一个大体的描述。宇宙学模型不可能是纯理论的，我们必须先有一定的观测基础。但宇宙学模型也不可能是纯观测性的，因为我们的观测能力不足以完全确定它。但我们有爱因斯坦方程，所以我们可以把观测和爱因斯坦方程结合。按广义相对论的要求，我们同时也必须对宇宙间物质分布 有一个大体的描述。
26.1 宇宙学原理
最基本的观测事实是宇宙间的物质分布在各个方向上看 在大尺度下 几乎都是一样的。这叫各向同性。也就是说 对我们而言 宇宙没有一个空间上的特殊方向。
另一个基本假设是 人类在宇宙间的位置不是特殊的
。所以我们假定宇宙有一个整体的坐标时间（这样就有了时空分解），人类也用这个坐标时间， 而且宇宙的时空 在空间部分上的弯曲程度和物质分布 都是均匀的，即不同的 都使用整体坐标时间的 自由观察者的观测大体上是相同的。宇宙学原理假定：时空在空间部分上的弯曲程度和物质分布都是均匀的，对观察者而言空间各向同性。
26.2 宇宙学原理不是必须的，但是是很有用的
当然宇宙不是严格的空间均匀的 或者对观察者而言各向同性的。但基于前述的宇宙学原理建立的模型已经是一个比较好的近似。如果我们想考虑更精确的模型，我们可以把非均匀的和非各向同性的修正加入进去。
在我的科普中，我只介绍宇宙学标准模型。该模型假定宇宙学原理。
26.3 宇宙学标准模型中空间部分 内在弯曲程度处处相同
在26.1中讲的宇宙学原理， 从数学上说即是：宇宙时空有整体的坐标时间，在由此给出的时空分解中，每一个时刻的空间部分上 描述空间部分内在弯曲的数学量在空间每一处都是相同的。我们称这样的度量流形为 常曲率流形。
这样一来空间部分的度量结构就极大的简化了。结果只有三种可能。
可能性1：空间部分 具有正的常曲率。 这里“正的”意味着从一点发出的几条测地线 会比平直的空间中的 从一点发出的几条测地线 要更收拢一些。比如内在的几何球面（见（5））就是 正的常曲率流形。但内在的几何球面是二维的， 而我们这里要的是一个3维的流形（空间是3维的）。也许你已经想到了，3维的球面上 可以有正的常曲率的度量结构。所以你可以用（内在的）3维球面作为心目中的例子。在（1）中我定义了嵌入的3维球面，在（4）中我们知道了嵌入的流形自动给出一个内在的流形。 很明显（内在的）3维球面既不是无限延展的，也没有边界。这就是 有的科普中说的“空间有限无边”的宇宙模型的一个例子。
可能性2：空间部分 具有是0的常曲率。 这里常曲率是0 意味着空间是平直的。所以标准的例子是 有标准度量结构的3维欧式空间。但要注意，我们只能推出 空间部分在局部上是 有标准度量结构的3维欧式空间。
可能性3：空间部分 具有负的常曲率。 这里“负的” 意味着从一点发出的几条测地线 会比平直的空间中的 从一点发出的几条测地线 要更散开一些。例子我就不举了（因为以后用不到这种情况）。
到底哪一种可能性描述我们的宇宙呢？这一点由实验观测决定（见下一篇
）。26.4 宇宙学标准模型中 时空不是静态的
这指的是时空洛仑兹流形的度量结构 所用的变系数 “勾股定理”中的变系数 依赖于坐标时间。更确切地说，在空间部分三个方向用的变系数都是 同一个依赖于时间的变系数。如果该变系数随坐标时间的增大而增大，我们就说宇宙是膨胀的；如果该变系数随坐标时间的增大而减小，我们就说宇宙是收缩的
。26.5 什么是宇宙膨胀
现在我们讲一讲怎么来体验宇宙膨胀。 我们用某一时刻的空间坐标来标记空间位置，然后在空间部分的度量结构 就会告诉我们这两个位置间的空间距离。过了一段（坐标）时间之后，由于计算空间距离时 用的“勾股定理”中的系数 变大了，这一距离也就变大了。一个经典的比方是：你在气球上用墨水点两个点。在吹气球时（气球膨胀），两个点的距离自然要变大。现在把气球换为3维空间部分就可以了。当然你要注意 气球是嵌入在更大的空间里的， 而宇宙的空间部分 已经是所有物理空间， 不嵌入任何其他的物理空间（虽然它嵌入时空）。
如果我们让某观察者A 向一定距离外的观察者B 发光信号（假定他们都在体验坐标时间，即以坐标时间为原时）。由于坐标时间是整体的，发信号时AB都位于某一时刻的空间部分中。B接到信号时 则位于一个较晚一些时刻的空间部分中。这时候 就会出现引力红移现象（也叫宇宙红移）：计算表明 接收到的光的频率与发出的光的频率 的比值 正好是 发出时刻的空间部分的（度量结构）变系数 与接收时刻的空间部分的（度量结构）变系数 的比值。宇宙膨胀意味着这个比值小于1。所以接收到的光频率变小了（在光谱上变红了）。
我们还可以把频率变化对时刻变化的依赖性 换算为 频率变化对观察者AB在某时刻的空间距离大小的依赖性。由于空间距离越大，发出与接收的时刻间隔也越大，所以我们不难看出 空间距离越大，红移程度越大。宇宙红移的上述规律被天文观测证实了。 这是支持宇宙膨胀的最有力证据之一。
我们不妨把这里的红移和史瓦西解的引力红移 比较一下。史瓦西解的时空是静态的， 但空间部分不是均匀弯曲的（径向距离越小，弯曲度愈大）；引力红移 是由于不同空间位置处时间方向上的变系数不一样。而宇宙学标准模型中 时空不是静态的，但空间部分却是均匀弯曲的；引力红移 是由于不同时刻处空间方向上的变系数不一样。
26.6 还没有用爱因斯坦方程
迄今为止我们还没有使用爱因斯坦方程来分析宇宙的时空（这样我们能知道的事不多）。下一篇我们将这么做。
待续
通宝推：河区分,晴空一鹤,
本帖一共被 2 帖 引用 (帖内工具实现)家园 该如何理解宇宙尺度的测量结果 到目前位置，我们所有的测量和实验都是在地球附近完成的，包括广义相对论在GPS上的应用。我们把由此得到的物理定律推广到整个宇宙，是否存在相当的不确定性？即便我们可以接受：物理定律是宇宙普适的，这个定律也未必是我们在地球上得出的形式，比如广义相对论。当我们把广义相对论推广到宇宙尺度的时候，包括宇宙尺度时间和空间，或许方程中的“常量”实际上是时空的函数，甚至方程的形式也是时变的，只不过在我们人类有限的时空中不曾察觉罢了。从这个意义上说，我们测量到的“宇宙红移”是否真的可以用作宇宙膨胀的证据么，我们到底应该怎样理解宇宙尺度的测量结果呢？
家园 广义相对论和宇宙学标准模型的观测基础相当稳固 到目前位置，我们所有的测量和实验都是在地球附近完成的，包括广义相对论在GPS上的应用。不是的。广义相对论的很多预言在太阳系外得到了准确的验证。比如 离我们很远的 双脉冲星的能量损失 或者 很多星系产生的“引力透镜”现象。宇宙学标准模型的成功也可以看作是广义相对论的成功。
宇宙学标准模型不仅受到宇宙红移的支持，最重要的是他预言了“宇宙微波背景辐射”（宇宙学标准模型从与其它模型的竞争中胜出主要就是靠了宇宙微波背景辐射）。人类从宇宙微波背景辐射的观测中获取了巨量的信息。很多很精细的观测都可以从宇宙学标准模型或他的某种加强版（如暴胀模型）推出。
当我们把广义相对论推广到宇宙尺度的时候，包括宇宙尺度时间和空间，或许方程中的“常量”实际上是时空的函数，甚至方程的形式也是时变的，只不过在我们人类有限的时空中不曾察觉罢了。你提到的这些可能性和很多你没想到的，都早有很多人研究过了。还有很多超越广义相对论（把广义相对论作为某种更厉害理论的近似）的理论。但到目前为止还没有能够在（包括理论和实验二者的）竞争中胜过广义相对论的理论。
家园 我对（25）作了小修改 家园 几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （25） 几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （25）时空分解与演化（续2）
25.1 柯西超曲面和初值问题
回顾23.4对初值问题的描述。初值问题说的是给定物理量在某一时刻的信息，用微分方程推出 物理量在(过去的或未来的)其他时刻的情况。于是我们说 物理量是从初值 随时间演化而得到的
。根据24.5 我们把全局双曲的时空看成是 柯西超曲面随坐标时间演化而得到的。 于是我们觉得 爱因斯坦方程的初值问题应该是 某些数学量 从某柯西超曲面开始 随坐标时间演化。
25.2 柯西超曲面的度量结构和外在弯曲
把时空的度量结构限制在柯西超曲面上，我们可以得到一个柯西超曲面上的度量结构。因此 柯西超曲面的度量结构 应该是我们在设置初值问题时，放在某一时刻的全部空间（即柯西超曲面）上的数学量。
不过显然我们也需要知道 柯西超曲面这个3维流形 是怎样嵌入在 时空这个4维流形里的。也就是说我们必须知道 柯西超曲面在时空中的外在弯曲程度。一个重要的数学事实是 外在弯曲可以只用柯西超曲面上面的数学量描述。这听上去很奇怪。大体说来是因为 外在弯曲的情况，可以用时空中 “垂直于”柯西超曲面的方向沿柯西超曲面移动时的变动情况来描述。而这方向的变动可以只用柯西超曲面上面的数学量描述。
因此我们知道从度量结构的角度看，我们应该将 柯西超曲面的度量结构 和描述柯西超曲面外在弯曲的数学量 联系到柯西超曲面上
。这里的要点是 这两个数学量（柯西超曲面的度量结构 和描述柯西超曲面外在弯曲的数学量）都可以看成是 柯西超曲面上的东西。当然我们一旦这样做，我们事实上就可以忘记他 们是来自于4维时空的。25.3 爱因斯坦方程的初值问题
前面讲的是一个全局双曲的时空已定，我们可以选择一个柯西超曲面 以使得时空可以被看成是 柯西超曲面 随整体坐标时间演化而成的。不同的柯西超曲面的选择，意味着对给定时空的 时空分解和演化的 不同理解
。现在我们把前述的逻辑扭转过来。我们考虑一个任意的3维流形。这3维流形上有一个给定的度量结构（我成为数学量A），一个从数学上 有可能实现为 描述这个3维流形 在某个4维洛仑兹流形（注意这里并没有给定任何特定的4维洛仑兹流形）中的外在弯曲的数学量 的数学量（称为数学量B）。另外 我们还给定在这个3维流形上 描述物质分布的数学量（称为数学量C）。
这里我给定了一个 3维流形 和上面的三个数学量：两个几何性的，一个物质性的。我们把这个3维流形 和上面的三个数学量（ABC） 统称为 一个 爱因斯坦方程的初值
。我们提出以下问题：给定一个爱因斯坦方程的初值，是否存在一个4维全局双曲的时空满足以下性质
：第一 在这4维全局双曲的时空中，爱因斯坦方程的初值中的3维流形 是一个 柯西超曲面。
第二 该柯西超曲面 在该4维全局双曲的时空中的 外在弯曲 正是 爱因斯坦方程的初值中的数学量B
第三 该4维全局双曲的时空中的 度量结构 限制在该柯西超曲面上 正好给出 爱因斯坦方程的初值中的数学量A
第四 该4维全局双曲的时空中存在物质分布，而描述物质分布的数学量 限制在该柯西超曲面上 正好给出 爱因斯坦方程的初值中的数学量C
第五 该4维全局双曲的时空（洛仑兹流形）以及其中的物质分布 满足爱因斯坦方程。
第六 这样的满足前五条要求的4维全局双曲的时空 是唯一的。
如果上述六条均满足 我们就说 该（唯一的）4维全局双曲的时空 是爱因斯坦方程的初值问题 的解。
这里我其实还隐瞒了一个问题，就是爱因斯坦方程的初值中的 那几个数学量 相互之间不是完全独立的。爱因斯坦方程 要求他们之间要满足一定的约束关系。所以我以后说的爱因斯坦方程的初值 都是指满足约束关系的初值。
25.4 任何给定的爱因斯坦方程的初值问题 存在解
数学上相当复杂，我就不解释了
。大家知道25.3提的问题有肯定的答案 并且这件事是一个数学问题 就可以了。25.5 意义
前面两节(25.3 25.4)解决了（23）中提出的一系列问题，使我们有了概念清晰的 对时空分解和演化的理解。
此话怎讲？
首先我要再强调：时空（作为度量流形） 和对时空的描述 是两码事。同一个时空可以有无穷多的不同的描述法 以及无穷多的时间-空间分解法。一般而言 广义协变性不允许存在 一个特殊的描述法或分解法。
好了。爱因斯坦方程 两边的数学量 不包含坐标，也没有时空分解。纯数学的描述方程 也不需要 时空分解和演化的概念。但是当我们要解方程的时候，就需要引入坐标系。物理上这对应于 当我们想要 从一个或一批观察者的角度 描述时空的时候 我们就需要引入坐标系和时空分解。
现在我们设身处地的 从一批（不是一个！） 有共同坐标时间的观察者的角度想。理论上可以假定他们遍布某一（共同）时刻的全部空间。在他们看来，时空是 空间一个时刻一个时刻的演化出来的。时空中的物质分布也是 空间中的物质分布 一个时刻一个时刻的演化出来的。因此如果我告诉他们时空和物质分布 是由爱因斯坦方程描述的， 那么他们自然会问，假如给定了（对他们而言的）某个时刻的 空间（不是时空！）和物质分布的全部信息，爱因斯坦方程能不能告诉他们 对他们而言的全部时空和物质分布的情况。注意对这批观察者而言，时空和物质分布是未知的，而某一时刻的空间和空间物质分布（理论上）是已知的（当然只能是对遍布空间的有共同坐标时间的观察者全体而言）。这样他们是知道数学量AC的。我们还假定他们通过观测一小段（可以任意短）坐标时间间隔内的 空间度量流形变化 决定出了数学量B。当然我们前面说了数学量ABC之间要满足一定的约束关系。
所以他们应该要求我们能从一个3维流形（某时刻的空间）及其上的数学量ABC出发 推出全部时空及物质分布。对他们而言，空间和空间中物质分布是同时给定的（比如由观测），而时空和时空中物质分布是由爱因斯坦方程的初值 按照采用他们的有整体时间的坐标系的 爱因斯坦方程 沿着他们的整体坐标时间演化出来的。4维时空流形本身 也是这样“生长”出来的。这就是 对这批观察者而言的 初值问题
。25.3 25.4 告诉我们 这批观察者的这种想法是成立。特别是这样演化出来一个全局双曲的时空。而全局双曲意味着每一条类时或类光世界线 都和该3维流形（某时刻的空间）正好相交一次，因为该3维流形是柯西超曲面。这意味着该3维流形正好可以在因果关系上影响到整个未来的时空 而又不造成整体上的因果问题（见14）。
然而 这批观察者在广义相对论中 没有特殊地位。我们可以用另一批观察者。 不同批次的观察者有不同的时空分解与演化或柯西超曲面与初值问题。这样 爱因斯坦方程的初值 对于时空而言并没有本质的意义。因此 我们说 时空和物质分布本身 没有 自然的分解和演化。但是我们可以对他们进行分解与演化。而时空和物质分布 不依赖于我们采用何种时空分解与演化的观点。
为了强调上一自然段的内容，我愿指出，我们也可以不把时空作 时间1维 空间3维的分解， 而采用 2维加2维的分解（不解释）。 在处理有的物理问题时，这种没有时间的“时空分解”反倒是方便合理的。 如果你真的理解了上文，这种思路并不是不可思议的。
25.6 全局双曲是必要的吗
前面的讨论使我们觉得 物理上能实现的时空都应该是全局双曲的。这既使得初值问题有满意的解决 又保证了因果关系。从前面讲的那一批 和空间位置对应的观察者的角度看 我们确实应该要求全局双曲性， 不过时空有可能存在观察者们无法观察到的部分（比如以前讲的黑洞视界之内）和“超越”初值问题而不可被预言的部分（以后会讲）。
所以这个问题并没有那么简单，我们以后会再讨论。待续
通宝推：河区分,
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)家园 "物理上能实现的时空都应该是全局双曲": 在彎曲時空中游 1)thank you for this wonderful series, I have to read it many times, with some thing learned each time.
2) I hope you can write something similar about gauge field theory, in a 几何直观 way;
3) If I may suggest you to get onto weibo.com, or you may have one account there already, there are quite few Chinese physics there active posting
now,
a very good writing as in the below
[PDF]
歷險記
edba.ncl.edu.tw/sa/pdf.file/ch/c091/c091p054.pdf
在負曲率的鞍面上，同樣的動作會讓泳者向東移動。這兩個例子的動畫，. 請參見http://physics.technion.ac.il/~avron。 在彎曲時空中游動，可以用一個比較簡單的例子 ...
家园 Thank you for the support