主题：几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0） -- changshou

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （24）时空分解与演化（续1）

24.0 如何描述已知时空

上一篇提了一些困难的问题。我们先看一个简单一点的。假如我们已有一个时空，我们如何在数学上描述好它？

24.1 时空没有自然的分解，但时空可被分解

广义相对论中的时空是没有自然的分解为时间与空间的办法的（其实在狭义相对论中也是这样）。但没有自然的分解不代表不能分解。事实上每个观察者都可以选择自己的时空分解。然而我们讲过 单个观察者使用的时空分解只是局部的。

能不能有整体的时空分解呢？我们考虑以下的可能性：能否存在一个整体的坐标时间 以使得时空是一个三维的流形沿着1维的坐标时间线移动而扫出来的，即 对每一个坐标时刻，时空在这一时刻的截面都是 相同的3维流形（注意我没说是相同的度量流形）。整体的意思是 我们把三维的流形上的每一个点都看作一个观察者的话， 这些观察者都使用相同的坐标时间。注意我说坐标时间线 就已经意味着 对每个上述的观察者而言 沿着整体坐标时间运动的世界线都是类时的。

如果有一个 这样的整体的坐标时间 我们就有无穷多的其他的 整体的坐标时间。这是因为我们可以把观察者们的世界线 作连续的形变（只要形变幅度不大 就仍然是类时的）。从这个意义上讲 没有一个自然的优于其他的 整体坐标时间的选择。但我们先不管这件事，只问能不能找到 一个整体的坐标时间。另外我们还要求 整体的时间线不能首尾相接。

一般而言，在作为爱因斯坦方程的解的时空上 是找不到上面描述的整体坐标时间的。然而我们还有因果性的考虑。

24.2 因果结构

在（14）中我们讲了我们只考虑有因果结构的时空。而当时我们描述了一种可行的要求，正好就是24.1中要求的情况：有整体的（不首尾相接的）坐标时间 使得时空是一个三维的流形沿着1维的坐标时间线移动而扫出来的。于是我们感到24.1中的要求 似乎是合理的。

24.3 柯西超曲面

可是24.1中的要求（存在整体坐标时间）要求 感觉也太强了。于是我们考虑另一种可能：时空中 存在一个3维流形，并且每一条类时或类光的曲线 和这个3维流形 正好相交一次。如果这件事成立，我们就说时空是全局双曲的时空，而这个3维流形 就叫 柯西超曲面。一个全局双曲的时空包含无穷多的柯西超曲面。我们并没有 一个自然的选择某个特定柯西超曲面的办法。先不管这问题，随便乱选一个就行。

这个要求实际上是 我们想因果结构存在的时候 自然也能想到的。因为我们可以把这3维流形看成是 一个观察者A在某一时刻对他而言的全部空间。该时刻就是该观察者A的类时世界线和这个3维流形的交点。物理上我们当然不希望 某个其他的观察者B能在两个对他自己而言的不同时刻 出现在 对观察者A而言的某一时刻的空间中（这相当于说从A的角度看B在作回到某一时刻的时间旅行）。同时因为这是全部空间，所以我们自然希望所有其他观察者或者光线（世界线往两头不断延伸的观察者或者光线），都出现在（观察者A在某一时刻对他而言的）全部空间中 的某一处。仔细想想，这说的就是第一自然段的内容。

全局双曲的时空 其定义的优点在于 我们只在处理一个3维流形。而在24.1中我们在处理无穷多的3维流形（每个整体坐标时间的时刻 都对应一个），看起来要麻烦得多。

这个 “全局双曲”的定义看起来和24.1的存在整体时间不是一回事。但数学上可以证明，全局双曲的时空 存在整体的坐标时间。于是24.1 和24.3 的要求可以统一起来！

24.4 广义协变性

在24.1 和24.3 的讨论中 我们容许有很大的选择性。我们可以随意选择整体坐标时间。在知道了是时空是全局双曲的情况下，我们可以随意选择柯西超曲面。会不会出乱子？不会。你可能想到了，这又是我们的老朋友：广义协变性 在起作用了。选择整体坐标时间 实际上是在选时空分解。相当于选择 有一部分整体化了的坐标系（沿时间方向是整体的）。而时空是不依赖于坐标系的选取的。

24.5 全局双曲的时空是 柯西超曲面随坐标时间演化而成的

为什么要扯全局双曲的时空之类的东西？

第一 如前所述，这类时空不会有因果关系方面的问题。

第二 这类时空 有整体的坐标时间和 对应于（该坐标时间的）某一时刻的空间部分（柯西超曲面）。于是 我们可以说 全局双曲的时空是 柯西超曲面随坐标时间演化而成的。柯西超曲面和坐标时间的选择有极大的任意性，但这不过是对应着 对同一时空的不同描述罢了。

待续

• 几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0）
• "人只能记忆理解了的东西，没有纯的存储"
• further into 柯西超曲面, 广义相对论的时空

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （23）时空分解与演化

23.0 先有鸡还是先有蛋

爱因斯坦方程说：描述内在弯曲的数学量 等于 描述物质分布的数学量。 仔细一想，这里面隐藏着很多 “先有鸡还是先有蛋” 类型的问题。

23.1 先有弯曲时空 还是先有物质

乍看起来我们要先给定物质分布，再研究物质造成的弯曲时空。这个思路的来源可追溯到牛顿引力论：先给物质分布，再决定引力。然而 在广义相对论中引力成了弯曲的时空，而物质是分布在时空中的。如果时空是怎样的都不清楚，如何描述物质在时空中的分布？ 事实上 爱因斯坦方程 右边的 描述内在弯曲的数学量 就依赖于时空的性质。因此先给定物质分布 再研究物质造成的弯曲时空，在数学上或物理上都行不通。

23.2 再看 空的弯曲时空

我们已经知道 爱因斯坦方程的解可以是 无物质的 空的弯曲时空。我们固然可以说，弯曲时空 可以仅由弯曲时空造成。可这到底是什么意思？先有弯曲时空，再有弯曲时空？哪个弯曲时空决定哪个弯曲时空？

23.3 先有鸡。。。先有蛋。。。先有“先”？

在前面的讨论中隐含着一个假设，即我们有时间上的先后概念。可是仔细一想，时间本身也是时空的一部分，也属于待解的方程中的未知量。而且时空流形混沌一体，并未给定时空分解呀。我们连谈论时间上的先后 都成问题。

23.4 初值问题

无法谈论时间先后的一个后果 就是无法谈论 物理对象的演化，即 物理对象随时间的变化。我们是不是必须放弃 物理对象随时间变化 这一基本的世界图象呢？ 如果这样做，广义相对论就面临 极大的 诠释性的问题：广义相对论在何种意义上能算是一个（科学的）规律？

广义相对论之前的物理规律的模式 都是这样的。 我们如果知道了某一时刻的足够多的物理信息，物理规律就可以告诉我们 物理对象随时间如何变化 物理对象的未来会怎样（往往我们也可以反推过去的情况）。这就使得我们可以对未来的实验观测结果 作出预言，然后与实验对照。这是科学研究的基本模式。没有这个模式的理论，如何与实验对照？ 是否能被认为是物理的（科学的）理论？这里显然有很大的哲学上的困难。

数学上我们说，我们要研究微分方程（即物理规律）的初值问题（给定一个时刻的状态 推出以后的状态）。 甚至连量子力学也是这个模式（所谓的波函数 是按照一个微分方程：薛定谔方程演化的。只不过我们的预言只能是概率性的）。

广义相对论中我们有微分方程：爱因斯坦方程。但在时空既未定也未分的情况下 什么是它的初值问题呢？

23.5 先有方程还是先有流形？

这是一个相关但更基本的问题。前面讲的时空未定，似乎可以姑且理解为度量结构未定。可是真的是这样吗？是不是说流形本身是先验地固定的，只有度量结构才是“动力学的”？如果是这样的话，那我们的先验的流形是什么呢？别忘了我们研究的是“可能的时空”（16），如果流形本身是先验地固定的，那么对各种可能的时空都需要 各自有一个先验的不能由现有物理学决定的流形。可是我们如果在理论上无从知晓这先验的流形是什么，就无法在不做实验观测的情况下写出方程的具体形式，更不用说去解方程了。这是极严重的问题。已往的物理学可不是这样的， 在那里物理规律一旦确立之后，在研究可能的各种情况（各种应用）时，基本规律本身就不动了，需要通过实验观测输入的 是初值问题中的初值信息。

所以看来流形本身 也不该先验的给定，而是在解爱因斯坦方程的过程中 “生长”出来。可是如果流形是未知的，又如何写出 描述流形上某个未知度量结构内在弯曲的数学量呢？

23.6 爱因斯坦方程的独特性

至此，我们已经体会到了 爱因斯坦方程 和其他的物理理论中的方程是有很大不同的。先不管解方程的问题。连这方程到底在说啥 都有很大的理解上的困难。这困难既是数学的也是物理的。

待续

• 几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0）

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （22）小结

22.1 小结

广义相对论认为时空是洛仑兹流形，而且不是预先给定的 而是“动力学的”，即 满足爱因斯坦方程：描述内在弯曲的数学量 等于 描述物质分布的数学量。 而引力就是内在弯曲的时空。

时空 和观察者对时空的体验是两回事。不同的观察者 有不同的坐标系和时空分解。他们也可以有不同的时间体验（原时）。 但 尽管不同观察者使用的不同坐标系 导致不同的时空描述， 时空本身作为度量流形，却不依赖于这些描述。因此我们说 广义相对论具有广义协变性。这也意味着 广义相对论是规律的规律。

狭义相对论是广义相对论的局部近似。闵可夫斯基时空是一般时空的局部近似。局部区域越小，近似越好。我们可以把光锥场搬到时空洛仑兹流形上，并由此出发讨论时间定向和因果结构。

自由运动的观察者走的世界线是测地线。测地线是探测时空弯曲的好工具。

22.2 第三座高峰

如果你理解了22.1，那么你在 获得较可靠时空观的道路上 已攀上第三座高峰。在这里你已经可以欣赏到很多奇景了。不过如果你有更大的兴趣，下面还有一座高峰。

待续

• 几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0）

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （21）黑洞

21.0 史瓦西半径

前面讲了引力红移的道理，这和时间膨胀是一回事。一个有趣的问题是，史瓦西解的时空中 度量结构在时间方向的变系数 会不会随着径向距离的减少 而降为0？答案是肯定的。在某个半径处变系数的确会变为0，这叫做 史瓦西半径。 然而在地球周边我们不会体验到这一半径，因为它小于地球自身半径。别忘了上一节的史瓦西解 只描述地球外的时空（无物质的真空），对这部分时空爱因斯坦方程的右边的物质量是0（真空嘛）。在地球内部，物质量当然不是0，于是方程就变了。我们得根据地球物质的性质 写一个描述它们的物质量 并重新解方程。最后再把两个时空解在地球边界处拼接起来 得到描述全时空的解。这样我们就遇不到 史瓦西半径了。

21.1 无限红移和事件视界

然而我们忍不住去考虑 如果没有地球占据一个3维实心球体，我们一直沿着径向走到史瓦西半径，会发生什么？

如果你还记得引力和弯曲时空是一回事，那你就会抗议：没有地球的话，根本就没有引力，哪来的时空弯曲？对不起，抗议无效。因为你的意识还是牛顿引力论的意识：引力的唯一来源是物质（的质量）。

难道不对吗？还真是不对。别忘了现在是爱因斯坦方程主导的世界了。爱因斯坦方程说：因为4维的时候弯曲的花样比较多，所以即使没有物质（方程两边都等于0），也不意味着时空没有弯曲（我在（17）已经讲过了）。物理上我们说 引力的来源除了物质还可以是引力自己，或者用等价的但更玄乎的话说：时空的内在弯曲 可以纯粹是由自身引起的。

那么真空中的爱因斯坦方程的解是怎样的呢？解 太多了。不过如果我们假设 这个解是静态的 且有球对称性， 那么我们就得到 史瓦西解。 事实上即使上一篇在讨论地球周边的时空（引力）时，我们也是这么解的（只不过这个解只在地球半径外有效）。

好了。现在我们知道在没有物质的情况下，史瓦西解 可以一直朝径向推进到（至少）史瓦西半径。这下就有意思了。史瓦西半径处 度量结构在时间方向的变系数 降为0，而按照上一篇的分析 这就是说当一个静止观察者A无限靠近 史瓦西半径的时候，他的时间流逝 和离开史瓦西半径有一段距离的静止观察者B（称为 远处观察者）比起来 无限的放缓。而接近史瓦西半径的观察者A 向远处观察者B发来的信号，频率越来越小，波长越来越大，携带的能量来越来越少（光子的能量和频率成正比）。若有另一个观察者C沿着径向自由的 从史瓦西半径外 朝史瓦西半径运动（这样的世界线是测地线），我们让一系列逐步靠近趋向史瓦西半径的静止观察者 在观察者C经过他们的时候 用光信号向远处观察者B 汇报 观察者C的位置。由于时间的无限膨胀和光波的无限红移 在远处观察者B看来，C需要无限长时间才能抵达史瓦西半径， 而且随着对史瓦西半径的接近，远处观察者B 看到的光也无限的暗淡下去。

位于史瓦西半径处的球面，即半径为史瓦西半径的2维球面（更准确的说 是该球面沿时间方向运动而在4维时空中扫出的3维流形）叫做事件视界。

21.2 穿越 事件视界

我们已经知道 远处观察者B看来 任何东西都需要无限长的时间才能抵达 事件视界。 可观察者C的时间体验却不同。观察者C的时间体验（原时）就是从 从史瓦西半径外某一处到事件视界的测地线的长度。经计算，这是有限的。于是在观察者C看来，他在有限时间内就可以抵达事件视界。 接下去他就可以穿越事件视界。

穿越事件视界时 观察者C会有什么奇特感觉吗？只要限制在自身周边的很小局部内，就不会。因为此种情况下，时空近似地是闵可夫斯基时空。

21.3 再看广义协变性

前两节告诉我们不同观察者的时空体验可以极为不同。再回头看 广义协变性: 时空与爱因斯坦方程不依赖于坐标系（观察者）的选取。这时你应能体会到 这条语不惊人的性质是多么的不平凡。

21.4 事件视界之内

好了，我们知道观察者C 可以自由穿越事件视界。接下来会怎样呢？这时会发生一件惊人的事：如果我们依然用我们一直用的坐标系（即（19）中对史瓦西解的描述），事件视界之内 时空交换。确切地说 原来的时间方向上的系数变成了正的，而径向方向的系数变成了负的（另外两方向 即球面经纬方向 不变）。由于“三正一负”式的 “勾股定理”中，“一负”的方向应该是时间方向，所以在事件视界之内 事件视界之外认为的（空间的）径向变成了时间方向，事件视界之外认为的时间方向变成了空间方向。这就是有的科普里说的：尺子变成了钟，钟变成了尺子。

不必为这件事感到困扰。这里其实没有任何神秘。数学上讲，该坐标系在事件视界处就已经失效了（事实上有个变系数成了无穷大）。但这不意味着度量结构有什么问题，因为度量结构不依赖于坐标系。我需要的无非是选另一个坐标系。物理上讲，我们原先用的坐标系和时空分解 是远处静止观察者的坐标系和时空分解。 但在远处静止观察者看来，任何东西都不能抵达事件视界 更不用说到事件视界之内了。所以在事件视界之内再用这种坐标系和时空分解 可能是不妥的。这里的要点是：我们不仅要区分不同观察者的时空体验，还要明白 某个观察者原则上可以体验到的时空 与时空本身 是不同的（在这个例子中，远处静止观察者（通过信息交换）原则上可以体验到的时空 只是时空的一部分：事件视界之外）。

当然为了比较事件视界之外和事件视界之内的时空，采用同一坐标系是方便的。因此下面我们还是用这坐标系（即（19）的坐标系）。

那么观察者C 在事件视界之内有何体验呢？他的世界线是类时的 向时间的未来方向（根据史瓦西解这个时空的时间定向 而定的未来方向，见（14））延伸的，它发出的光信号是类光的 向时间的未来方向延伸的。由于时空互换，从我们用的描述史瓦西解的坐标系角度看，观察者C（或光）沿对他而言的时间方向 向未来运动 等同于 沿减少径向距离的方式（但不必一定沿着径向）靠近（我们用的球坐标的）球心。这意味着 哪怕光也只能越来越接近球心。也就是说一旦进入事件视界，任何信号都不能从事件视界之内来到事件视界之外。 于是我们说这是一个（史瓦西）黑洞。

注意 这里的光不能逃出事件视界的机制是：如果能的话，对发出光信号的观察者而言 就意味着光在向（时间上的）过去传播。

另一个后果就是：事件视界之内无静止。（观察者C）时间的流逝 意味着在我们的坐标系下 径向距离变小。所以 此时我们说的 在我们用的坐标系中空间上静止 对C而言是时间上静止 而这是不可能的：时间方向上是无法静止的。

更有意思的是到达球心的原时（测地线长度）也是有限的，所以一切进入事件视界的东西必然在自身看来的有限时间内 坠入球心。

21.5 奇点

球心就是著名的黑洞奇点。广义相对论要求一切进入事件视界的东西坠入奇点（更准确的说 是在自己世界线的时间方向上流逝到奇点）。但在奇点处会发生什么 广义相对论却回答不了。这是因为接近奇点时，时空弯曲量趋于无穷大，广义相对论失效了。

一般认为，很靠近奇点时，必须使用（尚未确立的）量子引力理论。

21.6 质量/能量

作为真空中爱因斯坦方程的解，由于没有物质，是不是所有的史瓦西解都一样呢？ 事实上，在解方程的过程中会出现一个未定的常数，只有这个常数确定了，史瓦西解才完全确定。常数越大，史瓦西半径越大。

通过分析 史瓦西解对无穷远处观察者的影响，学者们指出这个常数应该解释为史瓦西解的总质量。这是储存在弯曲时空中的总质量，或者等价的说 是引力场的总质量。

狭义相对论中，时间间隔与空间间隔被联系了起来（见（11）），质量和能量也被联系了起来（著名的爱因斯坦质能关系：能量等于 质量乘以光速平方）。我虽然没讲 质量/能量 联系的机制，但我想指出其基础，就和 时间间隔/空间间隔的联系一样，归根到底是 时空是闵可夫斯基时空。我们之所以通过分析史瓦西解对无穷远处观察者的影响 来定义总质量，就是利用了 史瓦西解是渐近平直的（在无穷远处趋向闵可夫斯基时空）。这也告诉我们（由质能关系），我们得到了 史瓦西解的总能量。

然而我们有 总质量/总能量， 却没有局部的 质量/能量密度。这是因为任何合理的定义 应该使得 弯曲时空的质量/能量 和闵可夫斯基时空不同。这是因为 闵可夫斯基时空对应没有引力的情况，如果你希望定义弯曲时空（引力）的质量/能量，他们当然应不同于 没有引力的情况。 可是我们知道 闵可夫斯基时空 是任何弯曲时空的局部近似，局部区域越小， 近似越好。定义某种东西在某一点处的密度时，我们要让包含这一点的区域趋向于0，可这意味着我们回到了闵可夫斯基时空的情形。于是我们无法合理的定义弯曲时空（引力）的局部的 质量/能量密度。

普通的物质和场（如电磁场）都是既有 总质量/总能量， 又有局部的 质量/能量密度（一大块物质有质量，其中一小片物质也有；整个电磁场携带能量，一个小区域内的电磁场也携带能量）。 所以我们知道，不能把黑洞想象为一团隐藏在事件视界里的物质 或弥漫在时空中的场。

广义相对论中的质量/能量问题是著名的理论难题。对渐近平直的时空 我们算是有较成熟的理论了。 可对于不是渐近平直的时空，比如宇宙，我们连如何定义 总质量/总能量 都不知道。因此在一般的弯曲时空中 能量守恒（如果有的话）是怎么一回事，目前尚属未知。

21.7 大质量天体坍缩可能形成黑洞

天体物理学家已在宇宙间指出了不少天体，怀疑他们是黑洞。大质量天体坍缩可能形成黑洞。组成大质量天体的物质跑哪里去了? 计算表明， 一部分被抛射出去，一部分则在有限原时内坠入奇点，在奇点处发生什么则没人知道。不过我们讲的 史瓦西黑洞 不是理想的模型，因为它忽略了自转。旋转黑洞是更好的模型。

待续

• 几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0）