主题：【原创】【讨论】趣味数学 之 三门问题 -- 孟词宗
家园 【原创】【讨论】趣味数学 之 三门问题 这里说的不是“三体问题”，而是“三门问题”，又称蒙蒂·霍尔问题。
前几天有好几个同学在讨论“男孩女孩悖论”的时候提到这个问题，所以这里简单说一下。
蒙蒂·霍尔是个著名的电视节目主持人。这个“三门问题”是假借了一个他节目的场景来提问的。所以才被称为蒙蒂·霍尔问题。
问题有很多变种，标准的原始问题如下：
参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车或者是奖品，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车或奖品，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，知道门后情形的节目主持人会开启剩下两扇门中一扇有一只山羊的门。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的概率？这个问题的等价问题最早在19世纪末就被提出并解答了。但这个问题直到上世纪90年代才突然流行。主要来自Craig F. Whitaker于1990年寄给《展示杂志》（Parade Magazine）玛丽莲·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant）专栏的信件。这位玛丽莲·沃斯·莎凡特号称是吉尼斯世界记录智商最高者（10岁时智商 228，35岁时186，可见人的确越老越糊涂
）上题的正确答案是 如果换门，则得奖几率上升为三分之二。直观的解释是：当三扇门都关闭时，选中汽车的概率为1/3。选定后，再打开一扇有山羊的门，则等于去除了1/3的失败概率。于是换门的胜率上升为（1-1/3=2/3）。
这相当违反直觉。但无数次的模拟，不论是用卡牌手工模拟，还是用计算机模拟都证明换门的胜率为2/3。
那么，现在我们把玩法稍微改变一下。当玩家选定一扇门，主持人打开一扇有山羊的门后，主持人没有让玩家选择是否换门，而是让等在后台，完全没有看到和听到全过程的另一位玩家出来任选一扇门。这次选择的结果如何？
答案是新玩家的胜率是二分之一。
那么，这里的悖论是，新玩家在两扇门里二选一，而老玩家选择是否换门也是在两扇门里二选一。为什么他们的胜率会不一样？
静待各位解答。
通宝推：铁手,任爱杰,家园 欢迎大家到 趣味功能-》三门概率问题那里帮忙验证 我攒了个功能，来通过大家的实际参与验证我们的理论分析。欢迎大家随便（随机或不随机）玩，几百几千局以后应该可以大致看出结果。
家园 各十局 连续十次不换，只选二号门，只有第四次猜对了。
然后告诉我
得宝有一定概率，此次无中连续十次换门，先三号门，一共中了七次。
第1、2、5、7、8、11次无中
第九次
猜对了。恭喜得通宝 5PS: 第三次按错没换，所以是11次。不过这次拿到通宝了。
家园 因为第一个人作弊了 尽管他是被动的。
家园 也凑个热闹换个思路解释一下 楼下有大牛用数学方法解释，我换个思路来解释。
概率是在不知情的情况来分析各个选择的可能性的，增加的信息会改变概率，没有实质增加的信息是不会改变概率的。
第一次选择时，中奖的概率是三分之一，那么意味着选其他两个门（捆绑一起）的中奖概率是三分之二。
排除一个空门这个动作本身对捆绑的两个门的意义是不大的，因为两个门必然有一个是空门，那么排除一个空门对于概率没有改变。
造成这一结果的原因是主持人的上帝视角，实质上限制了主持人的开门权，主持人并非随意开门的，所以主持人的做法只是告诉选择人另外两扇门有一扇是空门（因为他不敢去开那扇中奖门）。
家园 这个门后问题和男孩女孩问题都不算复杂吧 搞的那么多高学历的在这莫衷于是，好像“怎么到处都是正确答案”
逻辑这玩意真是水太深了，在论坛讨论辩论只要走上这路，基本没法分胜负了。
有无求知欲大概是人区别于动物的很重要的一点吧。
家园 这种帖子是最好玩的了 不但可以分个对错，还可以不伤感情，哪像时政帖子，来回几次就要翻脸了。
家园 其实就是简单的贝叶斯分析 上一个问题我没参与，这是大二的概率论与数理统计的内容啊。
这个问题的实质就是 A, B, C代表三个门后真实的物品，1代表大奖，0代表山羊，所以只有三种排列100, 010, 001，
P(A=1|选A，B打开)=P(A=1, 选A，B打开)/P(选A， B打开)
其中分母用全概率公式计算
P(选A，B打开)=P(A=1)*P(选A，B打开|A=1)+
P(B=1)*P(选A，B打开|B=1)+
P(C=1)*P(选A, B打开|C=1)
其中P(选A，B打开|A=1)=P(A=1, 选A，B打开)/P(A=1)
=1/2, 主持人打开B，C都可以
P(选A，B打开|B=1)=0，
P(选A, B打开|C=1)=1，支持人只能打开B，因为C后面是车
所以P(A=1|选A，B打开)=1/3*1/2/（1/3*1/2+1/3*1)=1/3
第二种情况新玩家的条件概率和老玩家有一点区别
P(A=1|选A，B=0)=P(A=1, 选A，B=0)/P(选A， B=0)
其中分母P(选A， B=0)=P(选A，B=0|A=1)*P(A=1)+
P(选A，B=0|B=1)*P(B=1)+
P(选A，B=0|C=1)*P(C=1)
P(选A，B=0|A=1)=1/3
P(选A，B=0|B=1)=0
P(选A，B=0|C=1)=1/3
最后分母P(选A， B=0)=(1/3)*(1/3)+(1/3)*(1/3)=2/9
分子P(A=1, 选A，B=0)=P(选A)*P(A=1,B=0)=1/3*1/3=1/9，注意由于新玩家完全没有看到和听到全过程，所以他选择哪一个和ABC门后的真实分布是独立事件
最后P(A=1|选A，B=0)=(1/9)/(2/9)=1/2
通宝推：陈王奋起,孟词宗,家园 我来试着解释一下 前面另一个问题陈王网友的一句话评论特别好。概率问题一定要分清未知和已知。
先说第一个人，这里的反直觉之处在于，当主持人打开一扇山羊门时，并没有把这个门真正排除。换句话说，打开那扇门没有改变第一次选择的门，其概率仍是三分之一。我们不妨这么想，当参赛者选完一扇门后，他闭上了眼睛。主持人说，我看到另两扇中一扇后面是羊，我把它打开了。参赛者心说，废话，另两扇中有一扇后面肯定是羊啊。这时对参赛者的选择，其实仍然是已选的一扇门 vs 剩下的两扇门。那么当然要选奖品在剩下的两扇门后，因为概率是三分之二啊。当他闭着眼说，我选剩下的两扇之后，主持人说恭喜你，我用上帝视角再帮你排除一扇。于是参赛者改变选择，是从原来的三分之一可能跳到另一边的三分之二可能。
再说第二个人，当他参加的时候，已打开的门是真的已经排除了，余下两个门没有任何预设条件，可以完全互换，所以必然是二分之一可能。只要他知道首先是三选一，那么他就和第一个参赛者知道的信息一样多，概率也一样了。
有意思。
通宝推：任爱杰,家园 对此表示困惑。我认为胜率应该是一样的。 前面看了在【讨论】趣味数学题里的一些讨论，感觉还是比较困惑。
对于这些1/2， 1/3， 2/3 可能性的分析，我觉得应该需要厘清两个细节。
1、对于个体来说，理论上它应该是独立的，“是” 或 “否” 的可能性，从理论上来说，应该是1/2。
2、从统计的角度来说，每个个体是所有统计数据的一部分，是最后验证理论分析的一个组成。那么，在这个时候，每个个体似乎突然之间就不再是各自独立，而是相互有关联了。
1和2之间，因为这个是否各自独立的情况有所不同，导致最后推断有所不同。比如，投10000次硬币，每一次正反的概率是1/2，10000次统计下来，正反也接近1/2。但是如果投了8000次，正面为5000次，这个时候剩下的2000次就出现了问题。如果每次是独立事件，那么结果应该是1000/1000。但如果考虑这2000次归属于10000次的统计结果，它就应该是0/2000。
看上去都有道理啊，但结果不一样，这个时候，我认为还是以个体独立概率占更大比重一些。