主题：【原创】他/她不适合你---- 案例之三 你的选择还会不 -- 柚子

美国的“玛利亚幸运抢答”电台一日公布了这样一道题：在三扇门的背后（比如说1号、2号及3号）藏了两只羊与一辆小汽车，如果你猜对了藏汽车的门，则汽车就是你的。现在先让你选择，比方说你选择了1号门。然后主持人打开了一扇门，让你看清楚这扇门背后是只羊，接着问你是否应该重新选择，以增大猜对汽车的概率？

谁能给出回答呢？一号门背后是汽车的概率变了吗？

“玛丽莲问题”中最著名的是“Behind Monty Hall’s Doors“，简称“The Monty Hall Problem”。玛丽莲的答案是应该换，在当时很多人都不同意。玛丽莲在下一期专栏给出一个事件列 表说明她的道理，但反对声更多更大了。在几千封读者来信中，反对者达九成。其中有全 国健康机构的统计学家，国防情报中心的副主任，甚至著名的美籍匈牙利数学家保罗?埃 尔笛希（Paul Erdos，他的姓氏和“鄂尔多斯”的英文一样）也是反对者之一。

后来，在1991年2月17日，玛丽莲为此题目作了第三期专栏。她最后是这样说服大家的：假如当主持人打开那个有山羊的门后，有外星人忽然来到台上选。他在能选的两个门中任选 一个，有车的概率确实都是50%。但你不是刚到，你有优势，因为主持人帮助过你了，他为你在其余两个门中作了预选。你换了后，概率就由三分之一提高到三分之二了。 　　

在当时，虽然玛丽莲给出答案，但事情并没有结束。

经过前人艰苦的研究，现在我们可以得出结论：

条件概率、全概率、贝叶斯公式解

游戏开始，设P(X)为A、B、C三道门后面有车的概率，则P(A)=P(B)=P(C)=1/3

假定：游戏者任选了一道门A，而主持人（HOST）打开一道后面是羊的门，事实上有两种情况

1、主持人了解所有门后面的东西，他一定要打开一扇“羊”门

如果车在A门后面，主持人有B、C两种选择，打开C门（“羊”门）的概率为

P(Host opens C|A) = 1/2

如果车在B门后面，主持人没有选择，只能打开C门

P(Host opens C|B) = 1

如果车在C门后面，主持人一样没得选择，绝对不能开C门

P(Host opens C|C) = 0

所以，主持人打开C门的概率为

P(Host opens C) = P(A)*P(H.o. C|A) + P(B)*P(H.o. C|B) + P(C)*P(H.o. C|C)

= 1/6 + 1/3+ 0 = 1/2

根据贝叶斯公式，在主持人打开C门的条件下，A、B两门后面是车的概率分别为

P(A|Host opens C) = P(A)*P(Host opens C|A) / P(Host opens C)

= (1/6) / (1/2)

= 1/3

P(B|Host opens C) = P(B)*P(Host opens C|B) / P(Host opens C)

= (1/3) / (1/2)

= 2/3

这就是为什么要换二号门的原因。

2．主持人和游戏者一样蒙在鼓里，他是碰巧打开一扇“羊”门，那么

如果车在A门后面，主持人有B、C两种选择，打开C门的概率为

P(Host opens C|A) = 1/2

如果车在B门后面，主持人一样有B、C两种选择，打开C门的概率还是

P(Host opens C|B) = 1/2

如果车在C门后面，主持人还是有B、C两种选择，只是打开C门不可能看到羊

P(Host opens C|C) = 0

所以，主持人打开C门见到羊的概率为

P(Host opens C) = P(A)*P(H.o. C|A) + P(B)*P(H.o. C|B) + P(C)*P(H.o. C|C)

= 1/6 + 1/6+ 0 = 1/3

根据贝叶斯公式，在主持人打开C门见到羊的条件下，A、B两门后面是车的概率分别为

P(A|Host opens C) = P(A)*P(Host opens C|A) / P(Host opens C)

= (1/6) / (1/3)

= 1/2

P(B|Host opens C) = P(B)*P(Host opens C|B) / P(Host opens C)

= (1/6) / (1/3)

= 1/2

在这种情况下，用一个简单的条件概率式P(A|C.sheep)一样可以得出1/2的结果。这就是“不换”的原因。遗憾的是，从游戏的设置来看，主持人不知情的可能性很小。

当时的争议很多，大多都是由概率来解答的，下面的解法我认为更简洁：

开始拿一个，1/N 的机会，剩下总共有 (1－1/N)的机会，主持人拿掉必然为空的X个盒子后，剩下的总几率不变，每个盒子上升到{(1-1/N)}/(N-X)大于 1/N