主题：【原创】千奇百怪话分形 -- 安德的游戏

说分形，就要从曼德尔布诺特当时提出的著名海岸线说起。下面给出几张比例尺从大到小的google卫星地图作为例子。我是随意选的，位置大概在厦门附近。如果去掉可以作为标识的城镇和自然景观，去掉海岸上的人工痕迹，只保留海岸线的曲折曲线的话，应该说不太可能判断出比例尺的大小，所有的海岸都是曲曲折折的样子。这就是所谓的自相似，不要求严格的重复，只是样子近似就可以。

外链出处

外链出处

外链出处

这说明了什么呢？说明无论把海岸线放大到多少倍，它还始终都是这个曲曲折折的样子。一方面，在更大的比例上，更细节的东西部分表现不出来。另一方面，再更小的比例上，用更短的尺子更精细地测量，量出来的海岸线的长度就会更长。

对海岸线的一个很好的类比，就是科赫曲线。科赫曲线的构造很简单，首先，画一个线段，然后把线段等分成三份，把中间的一份去掉，再用两段同样长度的曲线补上去。就变成了这样

好，现在我们有了四段线段，每一段重复这样的操作

看起来更复杂了。现在是十六条线段，再对每一条重复操作

这样一直做下去，直到无穷，就变成了这样

如果不是从一个线段开始，而是从一个等边三角形开始，那做到最后，就会变成一个雪花的形状，里面填上颜色，就是文章开头给出的科赫雪花了

如果我们只去掉而不添加，最后会得到康托三分集：

去掉中间一段：

再继续

（看起来有点像八卦）

说了这么多，什么叫分形呢？分形创始人曼德尔布诺特给出的定义是：“豪斯多夫维严格大于拓扑维的集合”。这个定义看起来简单，可是解释起来就很复杂了。首先我们说维数。一条线是一维的，平面是二维的，而一个空间几何形体是三维的。这是我们所熟悉的概念，也就是几何维数。不过，拓扑维数和几何维数不同。拓扑只考虑里外，前后的关系，而距离在拓扑上是没有意义的。换句话说，当我们从拓扑的角度考虑一个对象的时候，对象就象橡皮做的，可以任意拉伸延展和弯曲，而不改变其拓扑特征。所以一段曲线，只要它没有宽度，不管形状是什么样子，在拓扑意义上就是一维的，比如说一段正弦曲线。而从几何意义上说，正弦曲线要画在一个平面上，所以是二维的。同样，一个没有厚度的曲面，在几何意义上是三维而在拓扑维度上是二维的。

好，现在回过头来说豪斯多夫维。这个豪斯多夫维当然跟一个叫豪斯多夫的人有关系。这个豪斯多夫是个德国人，生于1868年，是拓扑学的创始人之一。在纳粹当权以后，因为豪斯多夫是个犹太人，而且他所研究的数学由于太过抽象（换句话说就是不能被纳粹用于侵略目的），在1935年被剥夺了教授的职位。后来到了1942年，当他得知自己避免不了被送进集中营的命运以后，与妻子和妻子的一个妹妹服毒自尽。又是纳粹造成的一出悲剧。现在回过头来说，豪斯多夫在1918年提出了豪斯多夫维这个概念，定义很严密（换句话说就是我不懂）。一般来说直接计算是不容易的，但是可以用记盒维数估一个上界，用局部维数估一个下界。解释了这么半天的维数，我们还是不断地引入新的维数的名词。我们还是赶紧从这个圈里跳出来吧。

• 【原创】分形历史学

本来是想挖个坑先骗几朵花的，挖完了才发现这个坑实在是太大了，我自己一个人恐怕很难填上。不过好在分形本质上是数学，一说数学绝大多数人都会头疼。所以我就少写公式多画画，大家多看图片多给花。

说到分形（fractal），先来看看分形的定义。分形这个词最早是分形的创始人曼德尔布诺特提来的，他给分形下的定义就是：一个集合形状，可以细分为若干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。分形这个词也是他创造的，含有“不规则”和“支离破碎”的意思。分形的概念出现很早，从十九世纪末维尔斯特拉斯构造的处处连续但处处不可微的函数，到上个世纪初的康托三分集，科赫曲线和谢尔宾斯基海绵。但是分形作为一个独立的学科被人开始研究，是一直到七十年代曼德尔布诺特提出分形的概念开始。而一直到八十年代，对于分形的研究才真正被大家所关注。

分形通常跟分数维，自相似，自组织，非线性系统，混沌等联系起来出现。它是数学的一个分支。我之前说过很多次，数学就是美。而分形的美，更能够被大众所接受，因为它可以通过图形化的方式表达出来。而更由于它美的直观性，被很多艺术家索青睐。

分形在自然界里面也经常可以看到，最多被举出来当作分形的例子，就是海岸线，源自于曼德尔布诺特的著名论文《英国的海岸线有多长》。而在生物界，分形的例子也比比皆是。

先来一个蕨类植物的叶子。这个是很典型的自相似的例子。

而用计算机通过分形的方法模拟出来的，就是一个很逼真的叶子：

另外还有一个大家经常吃到的东西，大家应该也注意到，虽然越切越小，但是形状基本上不变。这也是典型的分形。