主题:【原创】数理逻辑发展的简单脉络(1) -- 泰让
弗雷格和一阶谓词演算
弗雷格
继布尔之后,美国学者皮尔斯和德国学者施罗德又分别对命题演算做了补充。1879年,德国数学家弗雷格发表了《概念文字》(Begriffsschrift)。在这本论文中,弗雷格总结了命题演算的最新成就,完善了“谓词”和“量词”的概念,并进一步地建立了一阶谓词演算体系。
所谓谓词,可以简单看作逻辑领域内的函数,不同的是函数把数(或者几个数)转化成数,而谓词的值域则是真或者假。举个简单的例子,如果谓词P(x)表示“x是白色的”这个命题,那么我们可以用:P(雪)=真,P(棉花)=真,P(煤球)=假
来表达 雪是白色的,棉花是白色的,煤球不是白色的 这三个命题。
而所谓量词,则是指在命题前修饰范围的词。这个概念本身其实并不新鲜,我们看到亚里士多德的4种基本命题中,已经有了“所有”“某些”这些概念。弗雷格将其同命题本身分离开来,用专门的记号表示“所有”和“存在”这两个概念。在现代记号中,我们一般用倒过来的A和E表示。如果我们仍用P(x)表示x是白色的,而用集合X表示“所有绵羊构成的集合”,那么
翻译成日常语言,就是“所有的绵羊都是白色”,而
则表示,“存在某不是白色的绵羊”。可以看出,这两个命题是相对的。
有了量词和谓词这两个工具后,逻辑的表达能力前进了一大步。但弗雷格的贡献不仅限于此,更有意义的是,他在《概念文字》一文中,建立了一整套的一阶谓词演算系统,其中包含有若干条推理规则,作为不证自明的公理。这些公理构造出了第一个关于推理本身的公理化系统。一阶谓词演算和布尔等人建立的命题演算,仍然是现在大学里初等数理逻辑课程的主要核心内容。
皮亚诺和公理化算数系统
皮亚诺
与逻辑学的稳步发展相比,数学,特别是数学分析在18、19世纪的发展可以说是突飞猛进。然而与这种飞速的进步不相适应的是,分析学的基础远非稳固。事实上,许多很基本的概念,比如函数的连续,可微,以及级数的收敛都没有严格的定义。我们现在初学微积分接触到的“德尔塔-艾普西隆”表达法其实是很后来才出现的。在这之前,即使如柯西这样的大牛,也会时不时的犯错误,证出个乌龙定理什么的。这样不严格的基础显然会限制分析的发展。德国数学家维尔斯特拉斯首先做了这方面的工作。随着对分析基础严格化工作的进展,人们逐渐发现,即使是对实数这种概念,仍然缺乏严格的定义。
1874年,德国数学家康托发表论文,建立了朴素集合论,这是个非常好用的数学工具。许多数学概念由此得以比较好的描述。用集合论的办法,戴德金分割可以用端点为有理数的相互嵌套的集合区间来描述实数。而有理数则是可以由自然数来定义的。这样一来,所有的基础都建立在了自然数上了。那么刨根问底的话,自然数又是什么呢?
意大利数学家皮亚诺对这个问题给了一个答案,他的想法是,可以用形式化逻辑这个工具来描述自然数。他用几条公理定义了自然数的概念。这是逻辑学在数学上的一次成功运用,也给“数理逻辑”这个词提供了新的涵义,在布尔等人的时代,人们试图用数学描述逻辑,而皮亚诺则开始用逻辑构建数学基础。自此以后,数学基础,以及集合论都被视为数理逻辑的分支学科。
同弗雷格一样,皮亚诺也独立地建立了一套带量词逻辑演算系统,但表述不如弗雷格严谨。不过他用的符号更为实用(弗雷格使用一套类似于现在数据结构的树一样的二维记号,不利于书写),现在我们用的属于,包含等集合符号,都来自于他。皮亚诺的另一个贡献是教学方面的成就,他和他的学生Burali-Forti, Padoa, 和Pieri都有相当成就,组成了逻辑学中的意大利学派。
一直对命题逻辑比较理解,一阶逻辑不是很清楚。所以找本书来再看一看,复习数理逻辑,摘录一些名词作为补充
1。命题,真值,联结词
2。重言式,矛盾式,或然式
3。推理形式
4。同一律,矛盾律,排中律
5。全称命题,特称命题
6。归谬法
7。演绎法和归纳法
8。充分条件和必要条件
9。三段论
10。与逻辑相关的话题:思维,语言
比喻
归纳法:简单枚举法,类比法,因果关系法
辩证法:对立统一规律,量变质变规律,否定之否定规律
谬误
我心里想,意大利不错嘛,挺在行形式化的东西.
原来他们是祖师爷阿!
号系列!