主题：【原创】勾股定理（十）--- 坐标（续） -- 我爱莫扎特

分段函数的不可微的点只有可列个，而我说的是“处处”不连续，差别相当的大。

事实上很久以来人们根本不相信存在这类函数，考虑函数的时候都是自动考虑分段光滑函数，当然人们也知道存在“坏函数”，就是Dirichlet函数这种干脆处处不连续的函数。换言之，人们一直认为连续性和可微性是相伴随的。

直到德国大师维尔斯特拉斯（Weierstrass）找到一个反例。这在数学史上是非常重要的事件，打个不恰当的比喻，有点像杨李发现宇称不守恒。一下子改变人们的观念。

维大师和法国的柯西大师的一系列工作将微积分的面貌完全改写，变成清晰，严格，才使得今天普通大学生都能理解学习微积分。

智力驽钝，有点想不明白。

请点拨。

要说智力愚钝的话，牛顿之后差不多200年的数学家都要被归入此类了，呵呵。老兄可别这么说。

这个例子不那么显然，基本的思想就是我文中提到的分形：局部和整体相似，也就无法做局部线性化。

网上有复旦大学陈纪修教授的课程[URL=http://you.video.sina.com.cn/b/19124970-1566422530.html

]视频[/URL]，以及课程教案。wiki上也有介绍。我就不献丑了。

补充几句，这个经典的例子让人们关注起“病态数学”，此后的勒贝格（Lebesgue）积分也是关注病态函数（如Dirichlet函数）上如何积分。从历史上说，无理数，乃至超越数，虚数，非欧几何，黎曼流形等等都曾经是“病态”的代表，但历史证明它们再正常不过。20世纪的数学有很大程度是对“病态数学”的研究，将数学的疆域拓展了不少。

很多级数函数不连续，他加上cos使他连续来。

这个思路很棒。不是一般的牛。

很想再花一个。可惜老铁不给。

窗户纸捅破后，例子就源源不断的出现了，你可以放狗搜一下，蛮多例子的。

我中学时手头还有一本书，都是讲这个。

数学家除了做证明外，构造反例也是很显功夫。

此外，个人认为最重要的例子，是我文中提到的布朗运动。正是由于它处处连续又处处不可导，恰好可以用来模拟股票走势。这是因为根据金融数学的基本原理，股票价格必然是没有规律的，每时每刻都让人搞不清楚方向（否则顺着方向买就赚大发了），也就不能有导数！

这个说下去就没底了，有机会再一点一点写吧。

记得一年考试，要背诵傅立叶函数，非常郁闷。死记硬背非常无趣。高等数学学习动力不足，也是在于不明白所学所用之意义。

现在经莫扎特兄点播，顿有豁然开朗之感。数学之美，本该如此。决心重读一遍以前的数学教程。

多谢并送花一朵。

要是有老师能讲讲这些东西，对学生肯定很有帮助的，不过这也不能绝对化。

我遇见过一个数学老师，他说：“数学是教不会的，但学得会”。意思是说，数学只有自己想通，领悟了，才真正算会，光听老师讲几遍也没用。

这个我自己有体会。比如我文中讲到微分和傅立叶级数，写得轻描淡写，那是因为我学过几遍，而且见过更深入的东西，明白它们的实质。如果一个刚刚学微积分的学生看到我这些，可能觉得蛮有道理，但还是没啥用，记不住的。

我经常和比我水平高的师兄，老师聊天，听的时候觉得非常有道理，很精辟，回家忘了一大半。基本上，人只能记住自己能理解的东西，或者比自己水平高一点点的东西，再多就不行了。（参见《倚天屠龙记》觉远大和尚圆寂之前的夜晚发生的故事）

华老讲过：“书要从薄念到厚，再从厚念到薄”，这个循序渐进的过程，每个人必须经过，省力不了。要不然，直接把最后的“薄”书灌输进去不就得了？

不过俺的帖子能给老兄带来灵感，小弟还是很欣慰的。

• 支持一把

可惜好多做父母的不知道呢。生生扼杀了孩子的学习热情和兴趣后，请什么名师都难以起死回生了。

虽然学数学的人在理解后也能想明白这些概念的含义，但是要像老兄这样简短干脆的类比出来，就不是人人能做到的了。其实很多概念，要是有老兄这样的文字来点拨，我想会省初学者的很大力气的。

本科时候天天念叨这辈子就被傅里叶和拉普拉斯毁了