主题：【文摘】相对论通俗演义 -- 不爱吱声

第一章 早期的英雄时代

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历史是淹没在荒烟蔓草间的，当后人回头看历史的时候，尤其能看到一些神话和英雄史诗，虽然模糊不清，但让你感觉到心潮澎湃。相对论一直是地球上最美丽的学问。这一门学问是爱因斯坦创立的。它最根本的看法，是研究我们的宇宙，因为宇宙只有一个，而我们身处其中，于是，很多人难免担心，我们做为宇宙的一部分，能不能认识宇宙。正如你的一个手掌，能不能认识你这个人。这个问题是玄妙的，中国古代的庄子等人也思考过这样的问题，他们有一个很模糊不清的认识，原因是因为他们没有具备一些数学描述。

庄子说，玄之又玄，众妙之门。

宇宙洪荒，是很玄很妙。问题的关键在于如何认识它，很多人的思想在这里汇集。尤其是苏东破的一句诗，被认为可以体现一种思想情操。

他说：不识庐山真面目，只缘身在此山中。

苏先生是一个很大的才子，他的这个诗本身是具有哲理性的。当我们把他运用到这个宇宙的时候，我们就会反躬自问：是否，我们处在宇宙之中，所以，我们无法认识宇宙的真面目。这个问题本身没有唯一的答案，从爱因斯坦说法上，我们可以看到一个自然科学家的态度。

爱因斯坦说：宇宙最不能理解的地方是，它居然是可以理解的。

可知论和不可知这两种论调是人类个体分野的分水岭。但这样分界是不明显的，很多人从来没有问过自己这个问题。很多时候，这样的分类也是缺乏意义的。但，一个事实永远存在，就是一定有很多人，对未知事物充满好奇之心。

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我们仰望星空，俯仰天地。态度决定一切。在认识宇宙，或者说，认识未知世界的道路上，尸横遍地。数学家们，相对于其他的一批人，以其特有的执著和特立独行，来给这个宇宙造一个描述的工具。并且，这个工具是最基本的。数学比绘画和音乐要更加基本。当我得到这个论调的时候，我可以负责任。绘画和音乐，描述世界，但依赖于眼睛和耳朵。而数学，有一个最基本的依赖，它依赖于大脑。有理由相信的一点，是我们地球文明之外的文明，可以没有眼睛，没有耳朵，但他们不能没有大脑。

毕达哥拉斯是一个杰出的古代数学家，他认为，世界的本质是数。

他的说法听起来好象是有点夸张了，但初衷是善良的，不是说他要故意压迫那些非数学家。2，3，5，7……这些的数字，我们称为素数，它们是基本的。人类要向外太空发射信息，寻找其他的文明，一个方法就是朝天空发射“素数”。因为，宇宙的各个角落，要是也有文明的外星人，他们收到这样的信号，会欢欣鼓舞，因为这无疑给他们一个预示。

预示在这个苍凉的宇宙，他们并不孤独。

数是基本的，但广义相对论却更多地和几何学发生了关系，这一点在后面的篇幅中再逐渐展开。当然，有一位得fields奖的同志曾经说过：“我的切身体会是，几何学家是好人。”我们抛去里面的温情脉脉的情感因素，会觉得很残酷，但修正他的话，我们会发现是这样：“我的切身体会是，数学家是好人。”

是的，数学是仰望宇宙的透镜。

在古代的数学家中，有一个人，他让我们知道，寄生在这世上是那么好，这个人的名字是欧几里得。

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欧几里得写的一本众所周知的书，叫《几何原理》。这至少是2000年前的事情了。但中国人看到这书的时候，是在徐光启或者李善兰时代。也就是说，中间有至少1200年的时间差距。我不想查书用来精确表示这些年代差异，是因为我不是搞历史的，也不想过于在一些琐碎的事情上精密无比。

《几何原理》里有五条公理。虽然一般人说不全，但第五条说所有平行直线永不相交。这一条大家全知道，被叫做第五公设。也就是说，有的人认为，这一条，不能做为一个公理，因为它可能可以被其他公理推出来。

为了给外行的人说清楚一些，我们说，《几何原理》是一个大厦，它有五个地基的巨石。但第五块石头，有的人认为，有问题。

爱因斯坦的相对论，与这个问题休戚相关。当然，我不预备在这里做任何数学的证明，通俗的说，我们引用爱丁顿的话：证明是一个偶像，数学家在这个偶像面前折磨自己。

第五公设折磨了一代又一代的人。现在看来，这个折磨已经结束，但其意义非常深刻。欧几里德的几何学，现在看来，就是关于平坦空间的几何学。而真正广泛的几何学，它不但但要处理平坦空间里的情景。Riemann是研究弯曲空间几何学的大师。他很优秀，1854年，他为了在哥廷根大学获得一个讲师的职位，发表了一个关于几何学的演讲，这是开天辟地的一个壮举。下面的听众很多，但据说，频频点头表示赞同人只有一个人，这个老头，名字叫Gauss。

这个故事发生在Riemann为了得到讲师职位的时候，各位一定很奇怪，为什么一个讲师讲的东西在那大学里别的教授全听不懂。这样的现状是存在的，并且是不能避免的，在一所很好的大学，无论是古代还是近代，你都可能有这样的感受：

博导不如教授，教授不如副教授，副教授不如讲师。

这是正常的好大学必须的。当然为了不引起大家的不满，对于上面的评论，我必须指出，研究生不如讲师。因此，我们知道，在当时，Riemann讲师是最伟大的。

Riemann几何的出现，给爱因斯坦的理论，提供了一个先天的数学工具。历史表面，数学物理在这个时候，达到了一个全新的高度。

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今月也曾照古人。这是李白说的。看到月亮，很多人有一些基本的问题，比如说，1640年左右，也就是中国的吴山桂进入历史的时代。英国的cambridge大学有一个叫牛顿的人，他解决了一个问题，按照现代语言来说，是牛顿发现了万有引力定律，从而解释了为什么月球在天空绕地球天马行空地周期转动。牛顿发现万有引力定理以后，我们才真正看到了物理。而相对论，就是研究万有引力的。

牛顿是怀着格物知理理想的数学物理大家。一般的评价说牛顿和爱因斯坦是人类历史上科学巨匠。但牛顿本身，相比爱因斯坦，具有一种由内而外的霸王气概。他的工作显然是划时代的，其情操，也是划时代的。在历史上，他与莱布尼姿和胡克等人有过交恶。同时代的伟人在他面前，全失去了颜色。我们只能由衷得叹上一句：到底是牛顿。

在人品上，牛顿不算是一个谦恭之人。一个人持才傲物，藐视同伦，普通人是做不到了。牛顿的万有引力定律，但这一项，就足够他鹤立鸡群了。何况牛顿有那么多大的发现。盖棺论定得说，牛顿其人，500年不朽，牛顿其文，1000年不朽。1000年以后，世界末日，什么都朽了。我在这里歌颂牛顿，是为了更好地歌颂爱因斯坦。

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物理学也有最初的童稚时代，比牛顿要早，是哥白尼的出现，后者写了一本书，书名叫《天体运行论》，出版是1543年附近。这本书主要说了一个事情，就是地球是绕着太阳转动的。这个是天文学和物理学上的第一个有实际意义的进展，早于康德-拉普拉斯的星云说时代。拉普拉斯是19世纪的法国人，在拿破仑的宫廷干过事情。拿破仑是一个数学爱好者，他曾经有一个拿破仑定理，是很有点意思的。定理的意思是说，任何一个三角形，各边上各作等边三角形，接下来将这三个三角形的重心联结起来，那么就必定是一个等边三角形。当然拉普拉斯的数学才能，远过于拿破仑。拉普拉斯有一个微分算子，这个微分算子的背后是一片汪洋大海，这个微分算子可以被开方，得到dirac算子，dirac算子背后是一片原始森林。算子和谱的理论，极大地推动了数学的发展。也是从算子的谱开始，我们从连续的数学分析走向离散的特征值问题的研究。而离散的性质，恰恰是量子力学的精髓之一。

回头来看哥白尼的工作。他的工作说明，人类第一个较明智的科学看法，不是研究宇宙如何起源，演化，而在于研究太阳和地球的关系。这是一个很务实的进步。就是在现代，虽然有精确宇宙学这样的学问，研究宇宙如何膨胀，如何加速膨胀，但前路漫漫，让不做理论物理的人怀疑，是否目标过于庞大，你们居然研究整个宇宙，把星系当做尘埃？

相对论学者存在一个情节，那算是一个单纯信仰，他们认为，世界可以被还原为一个单一的原理。而凝聚态物理和统计说明，在不同的尺度，我们有不同的物理。比如人类的存在，人类的情感和思维，不是物理学的单一原理可以解释的。统计性和自组织性的出现，使得在相对论学家的眼睛里，这个世界变的高深莫测了。

无论如何，相对论还是一如既往地奢侈和不切实际，因为，它是预备去理解宇宙。

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20世纪之前的所有年代，相对论还没有诞生，我统称它们为“英雄时代”。在这个漫长的时代里，有无数的数学物理两门学科里的英雄人物，这批人中的杰出代表是牛顿。这个时代是一个古典为主的时代。而广义相对论的出现，是这个古典时代的结束。很多人把广义相对论称为“经典的极致”。在字典里，“经典”应该有两个意思，一个是古代的，古典的；另外一个就是优美的，美到可以写进历史之书。这样的美是很少见的，往往在平面几何里你偶然能感受到这样的震撼心灵的美。

在极早期，托勒密认为太阳绕地球转动。他认为太阳绕地球转动，现在看来，也算是没有错误。为什么？因为，机械运动是相对的。谁动谁不动，在牛顿的眼睛里是“相对的”。所以说，按照牛顿的看法，描述地日运动，托勒密的思想是没有问题的，虽然它可能导致一系列不优美的结论，比如导致木星也绕地球转动，那么我们这个太阳系看上去还真是乱糟糟的，一点也不优美了。但托勒密关于圆的内接四边形的一个定理，被认为是天籁之声。这个定理是美的。这样的美的发现，与同时代的屈原对香草美人的发现来比较，我们看到一点逻辑的辉芒。

dirac和爱因斯坦，以及其他的很多人，全是追求美的天才。相对论，恰恰给我们展现了一个逻辑上的美感。

这个美，引得无数英雄竞折腰。

但在这些折腰的人中，不乏凡人。民间科学家在爱因斯坦的理论上也倾注大量心血。在第一章结束的时候，让人不由得产生一种谨慎地崇敬。是的，我们全是一群在朝圣路上踽踽独行之人。

壮美矣！爱因斯坦！！

第二章 一个美丽的椭圆

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1543年，哥白尼关于日心说的工作之后，丹麦的天文学家第谷不太同意哥白尼的观点。他出生贵族，是一个有钱来做天文观测的人士。他开始夜观天象，并且整理了一套杂乱无章的数据。这套数据，最后保留着给了他的助手，一个叫开普勒的人。开普勒一生生活是相当潦倒的，最后还死在讨债途中。他在出版书的时候，据说，第谷的女婿还给他写了一个序文，这个序文有一个特点，是通篇大骂开普勒剽窃第谷的成就。这样子的书是很奇异的。 但开普勒给出了3个行星运动定理。第一个定理是很重要的，认为行星运动的轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点之上。他实际上没有想到，未来会表明，一个封闭的椭圆是一件过于唯美之事，因为根据爱因斯坦的相对论，轨道会有进动，我们不能得到一个封闭的椭圆。第二个定理异常强大，他几乎用肉眼看出角动量守恒定理，说的是行星矢径在单位面积扫过的面积相同。第三个定理，似乎绝对是上帝的旨意，要从一个数的三次方和另外一个数的平方中看到不变量，靠凡人的眼睛，往往不够，说的是行星运动周期的平方和轨道半径的立方成正比。

这三个定理，迫使牛顿得到万有引力定律。它来自于开普勒对数据的千万次摸排。开普勒的视力不是很好，但他的确具备从复杂数据中提炼出物理规律的神奇能力。这往往是一种从天上看到人间的天赋异禀。

他的第一个定理里，开始出现一个完美的椭圆。

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一般说来，一个椭圆是对称的，这样的对称性背后，包含着守恒的物理量。由对称性导致守恒量，是noether的思想，CN.yang认为，这个原理是最基本的，于是，国内讲力学的书开始了一次改革，改革的结果是从对称性开始讲力学。无论怎么样，对称性是美的化身。描述对称性最好的语言是群论。对称性和受恒量有一一对应的关系，这一点，是深刻的。比如，众所周知的结论是，空间是均匀的，所以动量守恒。

什么是椭圆？在数学上，椭圆的定义是在平面上到两个定点之间的距离之和等于定长的点所组成的集合。这个是很清楚的，一般高中生就要学会怎么样画一个椭圆。这是解析几何里的事情。在Fermat和笛卡儿的解析几何里，我们换了一个看法，那就是把一个曲线与一个代数方程等同起来。一个很直观的推广是是我们能不能把一个n维流形嵌入到高维欧空间，然后再把这个流形表达成为一个或者一组代数方程。这样事情nash是做过了。

解析几何带来的一个全新的数学时代。只有当椭圆被放在坐标系里的时候，我们才可以遇见另外的问题，那就是如何计算椭圆的周长。这个时候，我们遇见的完美的椭圆突然让我们崩溃。因为，圆的周长是很简单的，上过学的人全会算，而椭圆周长，上过学的一般不会算。

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计算椭圆周长的问题也难住了牛顿。虽然用牛顿的万有引力定律，可以得到椭圆轨道。但仔细地研究这个椭圆的来历，有一些需要推敲的地方。在经典的力学里，bertrand定理说，只有当中心势是库仑势或者谐振子势的时候，轨道才是封闭的。这个定理是重要的，因为它否认了其他势场里存在封闭轨道的可能性，哪怕是对库仑势的微笑偏离。所以，当爱因斯坦的广义相对论对万有引力的库仑势做修正的时候，在理论上，这个完美的椭圆崩溃了。

广义相对论把这场崩溃当作一个契机。

离太阳最近的行星是水星，那儿的万有引力场强最大，于是人们试图观测水星近日点是否进动，也就是说，人们开始关心水星的公转轨道是不是一个封闭的椭圆。因为假如不是椭圆，我们就知道，水星与太阳之间的万有引力势场不是严格的库仑势。1919年的时候，爱丁顿利用日全食的机会，他领导下的实验证明了水星近日点进动的规律符合广义相对论的预言，这个实验是著名的，因为他极大地支持了爱因斯坦的理论。读到这里，读者应该明白，相对论虽然比较难以理解，但在这个椭圆封闭性问题上，结论是很清楚了。原来，牛顿的万有引力定律，那样美的一个定律，也是不对的。

当爱丁顿做出这个实验的时候，他的心情很可能比爱因斯坦更加激动。有一个说法是他认为自己和爱因斯坦是当时唯一懂得广义相对论的两个人。而当记者问爱因斯坦说，当您的理论被实验证明是正确的时候，您怎么想？爱因斯坦的回答很有意思：没有什么好奇怪的，我不相信会出现别的结果。

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虽然1919年，牛顿理论已经被证明应该被爱因斯坦的广义相对论所取代，但牛顿依然是绕不过去的存在。拿牛顿万有引力定律和库仑定律来比，虽然有点抬举库仑，但马上会发现牛顿的意义有很多。牛顿的万有引力定律，实际上告诉我们，质量总是正的，也就是总是相互吸引。那么，我们如何来解释目前观测到的宇宙，它居然在膨胀，并且还是加速膨胀。对于宇宙的加速膨胀，这里只是暂时提起。但这个问题，构成了21世纪物理学的最大一个乌云。质量总是正的，可能让人想起著名的正质量猜想。有的人会想起1980年代witten和ST.yau对该猜想的的证明。 当然，如何定理质量，在广义相对论中，也是一个具有不止一个标准答案的问题。在这里，我们几乎可以挥别牛顿了。

有一个叫伏尔泰的法国人，曾经研究了一下牛顿，现在过于牛顿和苹果落地的这些故事，多数也是出自他的手笔。伏尔泰是一个能力很强的文科圣手。

1727年牛顿逝世，伏尔泰参加了葬礼。牛顿84岁离开人世，为他抬棺材的是两位公爵、三位伯爵以及大法官。伏尔泰是这样描述的："他是像一位深受臣民爱戴的国王一样被安葬的。在他之前，没有哪一位科学家享受如此殊荣。在他之后，如此厚葬的也将是屈指可数。"牛顿去世后不久，诗人薄柏总结了世人对牛顿的评价，说：自然规则在黑暗里，上帝说，让牛顿干吧！于是一切大放光明。

牛顿不是完人，他在数学上也遇见一些困难。比如他不能求出全部自然数倒数平方之和，也不能积出椭圆的周长。历史朝后面发展，我们发现，椭圆周长只能用非初等的椭圆函数表达出来。而另人惊奇的是，挪威数学家abel证明了五次方程没有代数解答，但有些五次方程的解，可以通过椭圆函数来表出。这说明了数学的各个侧面具有统一性的一面。而相对论在经历了1970年代之后的多年的沉寂以后，面临着一个引力量子化的命运。在量子引力的理论中，椭圆函数等等，全面都浮现出来。所以，这个完美的椭圆，告诉我们不少秘密，盯着一个椭圆看很久，里面全部是秘密。这符合一个佛教的思想：一花一世界，一沙一天堂。

第三章 等效原理

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勒维耶发现了海王星，在这之后没有人再怀疑牛顿的万有引力。但20世纪初的天文观测发现了水星轨道的异常，后来这为万有引力定律掘墓。这似乎说明，椭圆不能精密描述我们的行星运动。在另外的一个侧面，抛物线出场了。在这里谈及的曲线还全是空间里的曲线，不是时空中的世界线，dirac方程在粒子的世界线上引入了超对称，这样的看法还为时尚早。

伽利略，是那个黑暗时代的先知。他聪颖过人，这一点可以从他的2个思想实验里看出来。这些思想使得牛顿认为自己是站在巨人伽利略的肩膀之上。

第一个思想实验是用来说明自由落体运动的。虽然据说他后来也在比萨斜塔亲自做了这个实验。但他的思想实验，却似乎更加可信，甚至不能辩驳。他说：“不考虑空气阻力，轻的东西将和重的东西同时下落，它们将同时落地。因为假如亚里士多德是对的，重的先落地，而轻的后落地，那么，倘使我在它们两个之间连一个无质量的刚性细绳，可以想见，总质量大于它们两个的单独质量，于是，按照亚里士多德，这个整体将落的更快，但事实上，轻的东西一定会拖重的那个的后腿。于是这就自相矛盾。可见，亚里士多德是错误的，轻的东西和重的一样，必然需要时刻有相同的速度，它们同时落地。”

这个思想实验，使得人们认识了自由落体运动的思想精髓。自由落体成为相对论研究的一个专门武器，爱因斯坦据此思考了等效原理。伽利略逝世的那一年牛顿诞生，而其思想一直到20世纪初，依然为爱因斯坦所沿用，并且在1907年灵光一现，发现了等效原理。这有一点九方皋相马的意味，普通人往往跟伯乐的儿子一样，只知道按图索骥。

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抛物线是圆锥曲线的一种，它的非线性性质在混沌动力学中被经常利用到，然后平地起惊雷，说，周期三导致混沌，出现了周期三，其他什么周期都将出现。可见，从抛物线出发，往往能够深入浅出。在教室里斜抛一个粉笔头，它总是画出优雅的舞线。假如没有空气阻碍，其轨迹是一条抛物线。其运动可以被简单分解，在竖直方向上，它是带初速的自由落体运动，在水平方向是匀速直线运动。

一个最简单的计算可以表明，以相同的初条件斜抛出不同质量的物体，其运动轨迹是抛物线，这些抛物线全部是可以重合起来的，因为它们一模一样。不同的质量，相同的轨道，这说明，运动轨道与质量没有关系，它好象是一个内禀的几何效应。

简单的抛物线，用一种返璞归真的语言告诉爱因斯坦，引力，是一种几何效应。

1907年,有人请爱因斯坦写一个介绍狭义相对论的综述文章,写这样的文章,使得爱因斯坦重新全面地审视了一下自己的理论和周围的世界.狭义相对论是在1905年建立的.当时的爱因斯坦依然在伯尔尼专利局,他突然遇见了一生中最快乐的思想--等效原理,"我正坐在伯尔尼专利局的桌旁,突然出现了一个想法,'如果一个人自由下落,他将感受不到自己的重量。'"

换一句话说，引力质量等于惯性质量。爱因斯坦把这个称为等效原理。

物理学家曾经发现了一些等效原理一样的方法来处理问题，比如电学理论中，最让人瞠目结石的一个关于电路的定律，不是基尔霍夫的。它叫“戴维南定律”，用来处理一个等效电动势。其背后的数学，不是瞬间能想清楚的。但无疑的是，等效的方法，极大简化了模型的复杂性质。在某个程度上，爱因斯坦从等效原理出发，建立了广义相对论。当然，比如synge等人就认为，等效原理虽然让爱因斯坦一生最快乐，在相对论建立过程中体现出一个接生婆的伟大智能，但现在，接生过程已经完成，相对论应该体面地埋葬掉这个接生婆。

synge是一位极早期就用几何语言来表述广义相对论的人，内心有一种不被世人理解的苦闷。他的话虽然有点过河拆桥的意思，但动机也是很不错的。因为，凡是懂得等效原理的人，十之八九会以为，一个自由下落的观察者，他所看到的时空总是平坦的。

但几何学家一定不同意。

同时代的人群之中，爱因斯坦是第一个想到等效原理。这个原理使得人们发现了一些引力场不同与其他场论的地方，造成巨大的困难。比如一个人朝太阳掉下去，按照等效原理，在他看来，他没有感受到任何引力，相当于他没有测量到引力场的能量。这明显不同于电磁场的情况。比如电荷，是一个局部的电荷密度的，引力能量有没有局部的密度？这个问题看上去似乎谁都要扪心自问，但寻找它的答案，相对论学者们一度衣带渐宽，但好象是在looking for the right answer to the wrong question。黑暗由此产生，人郁闷了。

引力能量不能在单独一个点上被谈及,因为时空中的一个点不考虑它的邻域无法谈它是否弯曲。准局域（quasilocal）的定义应运而生。德国的Nester是最初的倡导者和专家,这个人现在台湾的国立中央大学。

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爱因斯坦在1907年还没有写出他著名的爱因斯坦方程。等效原理一直是他思想上最闪光的部分。其思想方法类似于拿圆的内接正多边形来逼近圆的周长。但一个人要真正看清楚背后的东西，需要不止一天的时间，正如很少有人能清楚说明圆周率和自然常数之间的关系。为了数学地理解等效原理，爱因斯坦在这段时间内自觉地转向Riemann几何，那里有一些名词，比如联络，克氏符，曲率张量。等他建立起相对论，微分几何学得到了物理学的推动，开始大步发展，广为人知。Gauss时代的几何，总是把曲线曲面嵌入到外部的高维空间进行研究。但宇宙没有外面，于是，相对论天然的要求一个研究内禀几何性质的Riemann几何学，这样的几何对象，不需要外部空间的存在。

可能后来赶上爱因斯坦的相对论潮流的数学家会认为，爱因斯坦的等效原理就是说，在一个弯曲流形上的每一点，总可以存在一个平坦的切空间。（在爱因斯坦当时那个时代，manifold这样的概念还不存在。）数学家用自己特有的方式理解等效原理，让文人墨客失魂落魄。歌德在这方面深有体会，他讲：数学家犹如法国人，无论你跟他们讲什么，他们把它翻译成自己的语言，于是成了全然不同的东西。

在物理上，爱因斯坦的自由下落的电梯是一个理想的惯性系，但它是局部的，在电梯里，引力消失了。几百年前，伽利略的另外一个思想实验，那里有一个从光滑斜面上滚下来的小球，这个小球被伽利略证明能够滚到无穷远处。他的这个思想实验，可以证明牛顿第一运动定律的正确性质，但留给后代的人一个问题，什么叫惯性，什么叫惯性系？这样的问题难有一针见血的答案让所有的人都欣然接受，充分理解。

第四章 闵氏时空

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古希腊哲学家们对于空间缺乏清晰的认识,因为他们的讨论没有平坦和弯曲这样的数学概念。于是出现了一些过于飘渺的议论，这些议论有的是很搞笑的，比如认为大地是被乌龟托着，浮于大海之上。理想主义派的代表人物是柏拉图，他有时间研究几何学，搞了一个奥林匹亚学院，广受门徒,传道授业解惑,一时天下英才,尽数被得而育之,柏拉图的人生真乃是一派风流，大学问家难免一脉相传，比如柏拉图本身就是苏格拉底的学生，而柏拉图的学生，有一个人，也是大牛，名字如雷贯耳，亚里士多德，该生影响历史，影响力达到两千年之久，亚里士多德的观点是朴素的，他认为重的物体和轻的物体做自由落体，重的物体先落体。民间也支持这个观点。在柏拉图的那个神秘学院，穿过学院的拱形门楼，首先映入眼帘的是几个字：“不懂几何者禁止入内。”这样的话，让人不寒而栗。

柏拉图希望通过高深的几何学来理解空间。虽然他的用词很可能引起民间科学家的反感，但这条道路，柏拉图是选对。

平面几何最杰出的定理之一来自毕达哥拉斯。他的定理如果被推到很小的区域，也是正确的。几何学家往往把这样的微小三角形一个名字，美其名曰“特征三角形”。用相对论的眼光来看，毕氏的定理是描述了一个2维平坦空间。有经验的看客会至少马上想到以下两点：第一，所有的2维曲面都是共形平坦的。第二，在所有2维曲面上，爱因斯坦的方程天然成立。毕达哥拉斯定理与广义相对论，有着一衣带水的关系。

毕达哥拉斯定理在中国，被称为勾股定理。西周时代，武王克商，周公与大夫商高讨论，商高说，“勾三，股四，弦五”，这个话不能算是一个定理。这记载于一本朝代和来历不很明显的书《周髀算经》。但该书又明确指出，周公的后人的一段对话，对话里明显表达了勾股定理。

毕达哥拉斯定理说，一个直角三角形，它的两边的长度的平方和等于斜边的长度的平方。这个定理的证明方法很多，华罗庚年轻时候，也考虑过不少的证明方案。最流行的证明方案,恐怕是通过在一个边长为a+b的正方形内内接一个边长为c的正方形来作，利用面积相等，等到a的平方加上b的平方等于c的平方。

这个定理出现后，古代数学家找到了很多乐趣，生活充满七色阳光，尤其是在中国，数学家开始沉沦。后来到了17世纪，有一个叫Fermat的法国人，他本身是一个律师，但数学才情很高，其才情之高，足以睥睨天下，比如，在数论中，他就有Fermat大小定理传世。他在一本书的扉页或者页眉那样的地方写道：我可以证明a的n次方加b的n次方等于c的n次方，如果abc不等于零，那它没有其他的整数解，这个我已经证明出来了，但这地方太小，写不下了。他写完这个后，也就没有多讲，后来就死去。这个命题传了出去，被称为Fermat猜想,黑暗由此产生，几乎没有一个数学家能够证明它或者推翻它，所以，这个Fermat大定理独领风骚三百年。

后来，在纽约地铁站，人们看到这样的话：Fermat猜想我已经证明出来了，但我来不及写下来，因为我的地铁来了。到了1995年左右，Fermat猜想真的被证明出来了，证明它的人叫Andrew Wiles。证明过程艰辛而且痛苦，类似与越王勾践，Andrew Wiles深闭门而不出，十年磨一剑，终成大器。这是数论在近来的最高成就，数论远离物理学，相对论也很难与它有联系。虽然两者具有同样的品质:看上去很美。

(2)

毕达哥拉斯定理用到计算空间点之间的绝对距离。空间的两个点之间的绝对距离不依赖于坐标系的变化。这一点很重要，正如一个人的思想品德，不依赖于他所穿的衣服。

闵可夫斯基(H.Minkowski),一看他的名字,一般人都能猜出他是俄国人，他要赶的事情，是在时空中引进绝对的距离。这一点是惊人的，1908年当他抛出他的这个绝对的时空距离的时候，连爱因斯坦本人，也有点不太能够理解。他1900年在苏黎士的综合技术学校EYH教数学，学生的人来人往，多数已经在现在的历史里湮没，但里面有一个人就是爱因斯坦。爱因斯坦对功课漠不关心，闵可夫斯基对此表示失望，说爱因斯坦是一只懒狗。闵可夫斯基这样做是有点危险的，幸亏爱因斯坦没有记仇。

1902年闵可夫斯基离开ETH，来到德国的哥廷根大学担任数学教授。哥廷根大学领导世界数学潮流，当时有希尔伯特，克来因，那样的巨人们在那里。1854年，Riemann也就是为了在哥廷根大学得到一个讲师席位，发表了他那划时代的演讲。

闵可夫斯基把时间和空间等同起来，构成一个整体。用现在的语言讲，他认为时间和空间作为一个整体存在，这个整体，被称为四维时空。

换一个说法,就是在广义相对论中,没有先验的时间，为了得到时间，先到时空做一个3+1分解。因为4维的东西没有人见到过，所以只好来一个比喻，时空就好象是一根香肠，可以被切片，每一个切面，才是空间。

狭义相对论最重要的思想正是把单独的时间和空间给埋葬掉了。

闵可夫斯基说：

“我要摆在你们面前的空间和时间的观点，已经在实验物理学的土壤里萌芽了……从今往后，空间和时间本身都将要注定在黑暗中消失，只有两者的一种结合才能够保持一个独立的实体。”

假定2个事件之间的时空间隔是一个不变量，那么时间必然与空间联系在一起，构成一个整体去描述那个不变量。这是爱因斯坦1905年发现的狭义相对论的全部。虽然当爱因斯坦听到闵可夫斯基的发现时，不是特别在意。爱因斯坦笑话说：闵可夫斯基用那么数学那样复杂的语言来描述相对论，物理学家简直弄不清楚了。

4年后，1912年，爱因斯坦认识到，自己不应该笑话闵可夫斯基。因为要把引力与狭义相对论结合起来，闵可夫斯基的观点是很优雅的。

（3）

狭义相对论考虑的是完全的平直时空，这样的时空是爱因斯坦方程的一个解，被称为闵可夫斯基时空。

Minkowshi时空是平坦的，看上去平淡无奇。唐纳森等人在1983年发现，4维度的Minkowshi时空流形具有无穷多个微分结构。这个结论是惊人的，因为其他的R^n(n不等于4)的流形上都只有唯一的微分结构。上帝精心挑选了一个minkowshi时空，来让人类生活其中？

但在当时那个时代，人们的意识还没有到底这样深的程度。Maxwell的电磁场理论已经无比成熟，这是在Minkowshi时空上的电磁场方程。但有些问题很少被人注意到，比如因为电磁场的存在必然引起时空的弯曲，所以不存在平直时空的Maxwell方程。

而其他的问题层出不穷，后来的相对论学家温茹发现， 在Minkowski时空上的加速观察者，他将观测到自己处在热浴之中。Minkowski时空显示出奇怪的另一面，这些事情的发生，引导人们反躬自问起来。对于看上去貌不惊人的Minkowshi时空，人们到底晓得多少。

第五章 经典场

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现时代的灯红酒绿迫使我们回顾头来看一下,电是怎么样被发明的。我们对电的依赖越严重，对它的来历可能了解得越少。

19世纪的法拉第出身贫苦，他父亲是打铁的,象他这样的情况,要想做出好的工作,需要比别人加倍的努力。他13岁就开始在钉书的店里搞装订做学徒。当时是维多利亚时代，流行教育讲座，但一般每次要收钱1先令，但法拉第没有。后来在新落成的皇家研究院有了免费讲座，是院长戴维主讲的。二十一岁的法拉第在他的内心里运筹帷幄，要求拜见戴维,后来他成功地成为戴维的助手，1813年他还参加了环欧的科学旅行。他见到了许多著名的科学家，象安培、伏特和盖?吕萨克等，其中几位学者立即发现了这位年青人的才华。法拉第终于这样出人头地，但有时还不免被老板戴维的老婆叫去干一些贴身男仆才干的事情。

法拉第是一个英雄人物。他相信，磁场能产生电流，于是做了许多实验,小学写过作文的人全知道法拉第有一本传说中的日记,那里每一天全记着几个字:“今天依然没有成功。”

日复一日，十年过去了。

直到1831年，他失手把磁铁掉进了线圈之中，电流计在电光火石间动了一下。他终于成功了。

这位superstar可能可以被写进歌词到处传唱：你是电，你是唯一的神话。

牛顿认为存在瞬时超距作用,法拉第提出了场的观念。

28岁的麦克斯维选择了一个风和日丽的日子去拜访法拉第，后者已经是一位68岁的老头，他说：“你是唯一真正理解我的人，但你不应该停留于用数学来解释我的观点,你应该突破它。”Maxwell听从了这个意见。

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Maxwell1831年出生在英国爱丁堡。

1831年是一个非凡的年份。因为这一年，法拉第发现了电磁感应。霍金是一个出生时间选得更巧的人，他说他出生的那天，是伽利略逝世300周年忌日！

Maxwell不善言辞，他是在英雄时代唯一一个可以与Newton抗衡的人。他爸爸是有科学技术爱好的律师（有的说他爸爸是工程师）。他16岁的时候上爱丁堡大学，有的同学说他爸爸是土财主，Maxwell是一个土包子。三年后，19岁的他到cambrigde三一学院，为一窥上帝之书。再后来Maxwell就留在cambrige教书，经常在玫瑰花开满花圃的夜晚对着花刺不住地演讲，从而达到给学生上课时候口吃清楚地程度。他下的苦工仅次于古希腊某位著名的结巴演讲家，后者每天清晨把石子放舌头底下练口才。

电磁理论的经典程度让人吃惊，包含库仑、法拉第、毕奥――萨伐尔、安培这些人发现的定律。

24岁的Maxwell发表了关于磁力线的第一个文章，题目叫做《法拉第的力线》，有一些清楚的数学表达。Maxwell比起法拉第来，数学见长。

1862年他发表了第二篇论文《物理力线》，进一步发展了法拉第的思想，得到了新的结果：电场变化产生磁场，由此预言了电磁波的存在，并证明了这种波的速度等于光速，揭示了光的电磁本质。1864年他的第三篇论文《电磁场的动力学理论》，从几个基本实验事实出发，运用场论的观点，以演绎法建立了系统的电磁理论。

1873年他出版了《电学和磁学论》，全面地总结了19世纪中叶以前对电磁现象的研究成果，建立了完整的电磁理论体系。

Maxwell把那些定律统一起来，现在的大学物理教材上一般写成四个方程构成的一个方程组。这样的统一具备非凡的美感，可能更加重要的一点是，Maxwell的方程组预言一点：光也是电磁波。牛顿时代以来，对于光是什么，讨论是甚嚣尘上，但没有很好的答案，Maxwell基本用他的数学，回答了这个问题。光存在于这个世界，真的是太重要了，没有爱情，也许人还能活下来，但没有光，那是万万不能的。对于光，最精辟的说法是：上帝说要有光，于是有了光。在相对论中，光可以被看成是类光矢量，或者说零矢量，这样的零矢量能够存在，在于，相对论在时空流形上配置了一个洛仑兹号差的度量。

按照现代的微分几何,闵氏时空上的真空Maxwell方程组可以写为:

dF=0 （1）

d*F=0 （2）

这是本书里出现的第一个方程组。作为一本正经的科普读物，这样的数学公式很可能引起阅读量比预期减半，读者纷纷逃逸。但这个方程实在是太美了，美到极致是疯狂，我也就不管了。

民间科学家读到这里，多数人一笑而过，少数人会觉得莫名其妙，或者痛苦异常，睡觉也愤怒。为什么这里的Maxwell是这样写的。我于是准备了一段解释。

方程（1）其实就是纤维丛上的毕安基恒等式，一个无挠的联络使得它恒成立，在这里，F相当于曲率2形式。这个方程对应于Maxwell方程组里的两个，其中一个说明，磁场的散度为零。

方程（2）里面的星号表示的是Hodge对偶。

如果写成F=dA，其中A是联络，那么，一些更加美妙的结论可以被推出来……引进余微分算子以后，可以与外微分算子一起组成lapalce算子，然后，可以从真空的Maxwell方程组中推出波动方程来。当然，在这个过程中――物理系的本科生全知道――要加上lorentz规范条件。

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Maxwell场方程的建立为后来狭义相对论的建立奠定了理论基础，因为它在伽利略变换下是被破坏的，于是严重的问题就出来了，直接导致了lorentz变换的出现，迫使人们接受一个四维的时空观。所以，在相对论出现的道路上，Maxwell场方程是一个丰碑。一直到现在，Maxwell场方程是完美无暇的，它在广义相对论中的基本不需要修改。

爱因斯坦的场方程出来以后，出现了很多与麦克斯维场方程的比较。其中一个特点是Maxwell方程是线性的，爱因斯坦的方程是非线性的。另外一个是真空Maxwell方程具有共形不变性，但真空爱因斯坦方程不具备这样的性质。后来，研究经典场的时候，一套旋量分析的方法被引进来，广阔的舞台打开了。科学家开始在这个宇宙的舞台上演奏华丽之弦，跳苍凉之舞。

第六章 狭义相对论

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1900年，世纪发轫，年度的英雄人物之中，希尔伯特在世界数学家大会上提出了那著名的23个世纪难题，其中包括庞加莱猜想。开尔文勋爵说，物理学的大厦已经建成，但在晴朗的天空里漂浮着两朵乌云。数学和物理学面临一个大雨欲来风满楼的局面，而相对论是一个交叉地带，庞加莱和希尔伯特也在相对论上做过工作。

经典物理学的终结者是麦克斯韦。他同时在天体物理学、气体分子运动论、热力学、统计物理学等方面，都作出了卓越的成绩。普朗克（Max Plank ）说：“麦克斯韦的光辉名字将永远镌刻在经典物理学家的门扉上，光芒万丈。从出生地来说，他属于爱丁堡；从个性来说，他属于剑桥大学；从功绩来说，他属于全世界”。从研究方向看,很多人可能与他有一定的相似性，李政道也是。李政道在天体物理学上，把钱道拉塞卡极限从5.6倍太阳质量推到了1.4倍太阳质量，在统计物理方面，李政道证明了二维空间不存在湍流，后来又与杨振宁合作证明了单位圆分解定理。湍流是非常重要的，国内的极早就开始研究相对论的周培源教授，就化了大量力气来研究湍流。瓦特发明蒸汽机的之前，他注意到水的沸腾可以推动茶壶的盖子，但后来研究流体力学的人发现，沸腾是一件很严重的事情，在那个时候，热传导方程就不能在使用了。在那里，人们看到了湍流，我不晓得用什么样子的偏微分方程，可以描述湍流，各位看官可以自动查阅相关文献。但没有问题，湍流一直跟生活关系密切。

1900年，爱因斯坦大学毕业，天之骄子，难免意气风发，爱因斯坦试图留校当物理教授韦伯的助教，那样的话，爱因斯坦可以继续在那里读书然后得到博士学位。但是韦伯似乎不喜欢爱因斯坦，他要了两个外系的学生当助教，偏偏不要爱因斯坦，于是，爱因斯坦非常失望，对于前途的打算，被韦伯悉数破坏。在他1905年建立狭义相对论之前,爱因斯坦的人生似乎波澜四起,命运多舛，他还没有结婚,但女朋友米列娃就给他生了一个女儿。据说这个女儿后来被爱因斯坦当作养子来抚养，爱因斯坦的父母反对他与米列娃结婚。他找不到工作，四处碰壁，还做了一阵家庭教师，生活显示出巨大的不稳定性，就象是一个蜘蛛网，罩了爱因斯坦一脸。为了找工作，爱因斯坦发了不少的求职信，但没有一个成功，爱因斯坦认为，很多用人单位要人，但他们往往去大学里打听他，韦伯一定说了不少坏话。1902年，在他的朋友格罗斯曼的帮助下，爱因斯坦终于在伯尔尼的瑞士联邦专利局找到了一份稳定的工作。

早在16岁时，爱因斯坦就了解到光是电磁波，他想，如果一个人以光速运动，他看到的世界会是一个什么样子？爱因斯坦的少年时代的这个问题，一直引导着他前进，后来使得他博得了冷酷历史的嫣然一笑。

运动的相对性一直是一件重要的事情。爱因斯坦年少时的问题具有他思想上的光芒，但用光子来做参考系是没有意义的。但参考系是重要的，中国古代有庄周梦蝶的故事，很是朴素，我年纪不大的时候第一次听到这个故事，觉得很惊人，朴素的思想，很大的奥妙。在运动学上，如果一个苍蝇绕着一个静坐在凳子上的人的脑袋打转，牛顿时代的看法是，苍蝇与该人的地位是平等的，因为在苍蝇看来，人是在绕着自己在打转。但事情远非那样简单，在人和苍蝇这个系统的背景下，有一个Minkowski惯性系，这个参考系中，人的世界线是一条测地线，而苍蝇的世界线不是螺旋上升的一条曲线，不是测地线。

通俗地讲，在四维时空里看来，苍蝇和人，不具有同等的地位。在时空图中，人的world line 是直线，是Minkowski背景时空上的测地线。而苍蝇的world line是螺旋线。

到了这里，一个新奇的世界已经展开，无论你是理解还是误解。时间这个维度被加了进来，一个四维的参考系，显得比三维的参考系要多了一些新颖的东西。“世界线”这个词语，变成狭义相对论中最时髦的词语之一。

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狭义相对性原理于是出场了：“所有的惯性参考系中，物理规律是一样的。”前面这个引号里面的字，具有精确，甚至精辟的特点。

狭义相对论的背景时空是Minkowski平坦时空。相对性原理导致了朗之万提出Twins悖论。这个提法简洁明了，使得哲学家再次被惊醒了，学术非常之争鸣。哲学家亨利.伯格森后来承认，朗之万1911年4 月的演讲，“第一次唤起了我对爱因斯坦观念的注意”。

双生子悖论使人困惑。劳厄1911年写信告诉爱因斯坦，反对相对论的共同理由“主要是时间相对性和由此产生的悖论”。劳厄在1912年写的世界上第一部相对论教科书中说：这些悖论和其它有关时间相对性问题具有“伟大的哲学意义”。附带地说，第一，当年的Twins悖论具有非凡的影响力，它极大地推动了狭义相对论思想在民间的传播；第二，在早期，写作相对论的文章的人中，有一个研究生，后来在量子力学领域相当杰出，他是W.pauli，其批评意见无比尖锐刻薄，被称为“上帝的鞭子”。

Twins悖论的基本意思是说：在地球上有一对可爱的双胞胎姐妹，有一天，姐姐坐了极快速的航天飞机，去外太空去旅游了一番。等她回来，发现妹妹已经是人老珠黄，昭华已逝……而自己依然是貌美如花。既然相对论说，时间是相对的，那为什么会出现这样天上三日，地上三年的事情呢？现代的几何语言给出了一个解释：因为妹妹和姐姐的world line不一样，妹妹的世界线是Minkowski时空里的测地线，而姐姐穿越大气层再回来她肯定不是惯性运动所以她的世界线不是测地线。

在这个时候，往来成古今，我得准备在下一章解释一下几何学了，免得有的不专门不预备搞数学物理的看客不知道什么是测地线，如芒在背。

第七章 微分几何杂谈

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最外行的人看到"测地线"一词,就猜想几何学起源于丈量大地，正如文身业起源于岳飞的母亲，说法有点牵强，但大地与几何学的关系，肯定是非比寻常。当人们发明平面几何的时候，也同时撞见一些问题，比如，能不能把一块圆的土地等面积地变换成一个正方形的土地，化圆为方一直困绕着古代数学家，后来这个问题被证明是不能实现的。另外一个问题是这样的,给你一根长度一定的绳子，叫你去圈一块土地，怎么样子圈地，才能够得到最大面积，这就是等周问题。如果这条曲线不是平面曲线，这个等周问题更加复杂，所谓Plateau问题或者极小曲面问题，其实就是一个非线性偏微分方程。真正研究极小曲面的人，才能在这个问题上有发言权。等周问题和最速降线问题一样,促使变分方法的诞生，在物理上，人们把这个相关的问题称为“对作用量变分为零得到Euler-lagrang方程”。因此，几何学的这些问题非常朴素，但背后包含了巨大的玄机。

古代的人不知道大地其实是一个2维球面。后来，麦哲伦环球航行，他是一个无比成功的冒险大王，他可能知道，假如大地是一个正方形，那么，可能有一天，他麦哲伦会走到大地的尽头，然后扑通一下掉进无底的深渊。历史总是垂青少数幸运的青年,后来，麦哲伦成功地回到了原来的出发点，大家才知道，原来真相是这样的：我们居住在一个球面之上。

事后诸葛，人类的武断让人苦笑，其实，麦哲伦能够环球航行，不足以证明大地是一个球面，因为，还有其他的可能，比如环面，柱面,Mobius带，Klein瓶。其实要发现大地是一个球面，是一件很麻烦的事情。我们可能不得不站在高处，比如卫星之上，向下俯瞰，才能得到一个初步的结论，这是一种把流形嵌入在高维空间的方法。

2维球面具有很多性质，在拓扑的意义上，它的欧拉数为2。在几何上，它可以是最大对称空间，处处具有同样的曲率。在纤维丛上，2球面上的2形式张量场不可能整体是恰当的，也就是不可能存在单一的电磁势A使得处处满足F=dA，于是我们得到chern示性类。

杨振宁写了一首诗歌，来赞美陈示性类。

"天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。”

最后一句，欧高黎嘉陈。这一句话里面，包含五位杰出的几何学家。按照我第一次读到这个诗歌的经历，我有点吃不准，那个欧字，是欧拉还是欧几里得，欧拉在几何学上的贡献我不是很清楚，因此是欧几里得。欧拉是18世纪的数学巨匠,据说在他临死之前,他说了一句话:"我死了"。说完他就死去，很是神奇。数学大家的情操，表露无疑。欧拉生前，是处理无穷级数求和的专家，自然数倒数的平方和是一个难题，当时欧拉的老师John.伯努利也弄不出来，但欧拉算出来了，答案是pi的平方除以6。其证明过程相当于把n次多项式方程里的韦达定理推到n等于无穷。

高斯从小就是是一个神童，他10来岁的时候就会做等差数列求和，1加到100等于5050。这个故事现在家喻户晓，不少家庭用这个来检验自己家的小孩子是不是有数学天分。他青年的时候做17等分圆周的时候,后来就完整地研究了曲面和曲线,还得到很多重要的微分几何里的定理,其中一个叫"高斯绝妙定理",这个定理说明2维曲面的黎曼内禀曲率与外部空间无关。

黎曼1854年的那个著名演讲的题目是《几何学基础之假设》，微分几何学开始研究内禀曲率。

嘉当是法国数学家，是陈省身的导师。

陈省身是中国数学家，2004年12月在南开大学去世，标志一个数学时代的结束。

（2）

陈省身年轻的时候，推广了微分几何学上很重要的Guass-bonnet公式。Guass-bonnet公式具有非凡的影响，因为它联系了局部几何性质与整体拓扑性质，把看上去很不显然的两个东西联系在一起了，数学的统一性，变的非常明显。

他在1980年访问中国科学院理论物理研究所，写了一个诗歌，表达了更深的意思，数学和物理，具有统一性。这个诗歌高屋建瓴，人间难得几回闻：

　　“物理几何是一家，共同携手到天涯。黑洞单极穷奥秘，纤维联络织锦霞。进化方程孤立异，对偶曲率瞬息差。筹算竟有天人用，拈花一笑不言中。 ”

早期的相对论，因为没有用到整体微分几何，数学看上去有一些麻烦，数学技巧也显得不是很高，Hawking写道，费曼曾经描述过1962 年的一次华沙召开的引力会议，对当时的相对论研究者的低能表示了一定的轻视，到了1960年代，彭罗斯(R.Penrose )用整体微分几何证明了相对论里面的第一个奇性定理，结果开创了新的局面。penrose还大刀阔斧地在广义相对论中引进了旋量。就我自己的认识来说，dirac方程的解就是一种旋量。但在4维，最小的旋量是2维的,这就是中微子。如果n为偶数，n维时空之上,p=n/2-1,则,最小的旋量维数是2的p次方。如果n为奇数，n维时空之上,则p=n/2-1/2,最小的旋量维数是2的p次方。没有问题,在任意n维矢量空间,给定任意号差的黎曼度量,全可以定义旋量。但在流形上整体定义旋量，却要考虑到它的整体拓扑性质。

为了能没事躺在床上看，或是坐在马桶上的时候看，我编排打印了一份。顺便制成了PDF格式。如果哪位有同样要求的话，可以下载我这份PDF文件，用公司的打印机打印出来，效果很不错的！

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外链出处

这篇文章作者正在写作中，可能里面还有些小的bug，不过都是无关紧要的。

作者看样子是搞广义相对论的，对几何有些偏好。这篇文章好就好在里面穿插了好多科学史方面的东西，而且很多科技上生涩的概念，作者尽可能用通俗的语言写出来。作为指导书是不够，但闲暇时间做做思想韵律操是不错的。

而且这样的文章如果没什么新的内容，作者本人也许花了很大的精力，却是缺乏意义。。

和讲故事差不多！不是那种学报上的文章,给专家同行看的。至于笔误嘛，可能是作者的疏忽，也可能是别人转载时候的失误，您要是知道，可以给我们指出。谢谢了。

不是狠喜欢这种宏大题目的科普，见的多了，满眼光辉灿烂的词汇。。

若真的有时间，写些别人没写过的，小点的题目呀。

Bug Report。算是do人家一个favor呢！

当然这个题目是大了一些，不过我想还是有一些意义的。譬如我这种档次的人，知识有限（很有限），又没有耐心搞清来龙去脉，喜欢这样提纲挈领的看个大概，也就是图个热闹，凑个趣。因为不是我的专业，也没必要搞得很清楚，你说呢?