主题：【原创】数学之美与数学之用――哈代与维纳自传的比较 -- 抱朴仙人

为了完成阿磕先生的作业，（据萨苏研究，此人乃共工之精简版。性烈如火，头硬逾铁，智商近零，三项综合，破坏力指数达到9.99，不可等闲视之。）手头上抓了一本书，《科学家的辩白》。是哈代、维纳、怀特海三人自传的合集，C.P.斯诺作序。这可谓是四星级作品了。只可惜翻译得不怎么样，很有可能是拼盘而又没有拼好的。这本书有个好处，把几位大师的著作拼在一起，比较起来，十分容易。

翻来翻去，忽然有些有趣的比较，维纳虽然是哈代的弟子，师徒之间，有些观点倒是有根本的对立。非常有趣。

一个对立点，是关于数学家的年龄和创造力的关系；另一个对立点，则是数学究竟是一个唯美研究对象，还是仅仅是一个工具？

话题扯开去，谈谈比较研究这门功夫。“比较”，是最容易出成果的。把大师拿来比较，尤其容易出成果而兼增自信。

试看科学版几位高人比较猫狗，其套路尽得比较研究之神髓。精妙之处，俺来试探究竟。

为什么比较研究容易出成果呢？技艺有三。

技艺之一：生拉硬扯神功。大师虽有个性，共性也不少。横着比，可以比较其他人；纵着比，可以比到自己穿开裆裤的时代。生拉硬扯神功所到之处，无关联变做有关联，随兴之作变做深谋远虑之举。大师复生，也难以自辩。此所以容易出成果也。

技艺之二：化整为零大法。整体研究难，非业务精熟不能为之。专业不精，无独到见解，又必须写论文，就可以使出化整为零大法，把大师切成大排、子排、里脊、肘子，然后加以比较。比如罗素的文笔，可以与丘吉尔比较一番；爱因斯坦的私生活，可以与杨振宁比较一番；陈景润的社会生活能力，可以与牛二比较一番；阿磕老兄的海洋法知识，可以与我抱朴仙人比较一番。整体上比大师咱比不过，比个脚趾头，说不定还是咱粗壮一点。翘起脚趾头比来比去，不免顾盼自雄，自信心油然而生。屠刀到处，大师无不土崩瓦解，此皆化整为零大法之功也。

化整为零大法用到极处，乃是化整为零，再化零为整，再化整为零，再化零为整。如此几个反复，管他什么大师，保证他的亲娘也认不出他，这就由得咱们折腾了。

化整为零大法用于国家民族之间的比较，另有一般奇功，此地只谈科学，姑置不论。

技艺之三：Ctrl+C Ctrl+V组合技。看这名称，就知道是美日杂交的功夫，其实它有一个正宗中国名称，就是所谓“抄书”。

著述犹如拉面，观点有限，字数无穷，不抄怎么办？特别是偶有心得，奇妙绝伦，三百字短文可以表达清楚，无奈论文有字数要求，非八万字不可。此时惟有一抄可以救命。

抄书的大师，我印象里有两位，都姓周，周作人与周谷城是也。周作人不论，周谷城的抄书术，据文化大革命时红卫兵小将的总结，有“四抄”。“抄古人，抄今人，抄洋人，抄自己”是也。据说一篇论文，他老人家可以做到有95%左右的字数是抄来的，自己的新撰字数只有5%，稿费可是按总字数支取，这水分就大了。（周谷城自己曾有辩解，说本人是搞历史的，要靠材料自己说话，不抄怎么行？满篇原创，不成小说了？呵呵。）

这比较研究，抄书乃是正宗本门功夫，不但抄被比较者的作品，还可以抄评论者的作品，满篇抄来，洋洋洒洒，凑字数不在话下。

回归正题。维纳身为神童，18岁时就获得了哈佛大学数学和哲学两个博士学位，又是控制论之父，名震全球，不待多言。说到哈代，此人也许在数学界之外并无赫赫之名，但他却是维纳的老师，印度数学天才Ramanujan（这个名字应该译做拉曼纽杨还是拉玛努金？）的发现者和合作者。咱们的华罗庚先生，就是维纳推荐到哈代那里做访问学者，并把数论研究带回中国的。

做作业真痛苦。特别是自己不干这一行的时候。先写到这里，回去喝水抄书，三天后回来。各位原谅则各。

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• 数学之美与数学之用很早讨论过

先道个歉，拖得时间太长了，对不起列位看官。

这些日子作业完不成，每天见布置作业的阿磕如老鼠见猫，杨白劳的日子不好过啊。前些天孔雀王又跑来猛击一掌，只好乖乖地把作业做完。两位快来献花捶腿！

咦，这做作业好像不用腿啊？捶腿？

一、 生命价值与精神死亡的标准

哈代写的《一个数学家的辩白》，仔细读来，绝对是真正的天鹅绝唱。你一边读着这些美妙绝伦的文字，一边不由自主地感到，这个人的精神正在清醒地死去。斯诺评论说：“在他六十多岁时，他那作为数学家的创造力终于离开了他。这就是为什么《一个数学家的辩白》是一本猎捕悲哀的书，尽管水晶般的清晰和正直仍然在那儿，尽管它措辞巧妙锐利，充溢着高超的智力精神，它仍然是以一种淡泊的方式，表达了他对以前属于他而再也不会回来的创造力的深切痛惜。”

哈代自己怎么说呢？一个创造性的人失去了创造的能力和欲望，“这的确令人惋惜，但在这种情况下，他已经不在乎任何事情，所以为他操心是愚蠢的。”

在《一个数学家的辩白》的开头，哈代写道：“如果一个数学家发现自己在写关于数学的东西，他会感到很忧伤的，因为数学家的工作是做实事，比如证明信定理，使数学有所发展，而不是谈论自己或别的数学家干了些什么。政治家蔑视时事评论家；画家蔑视艺术评论家；生理学家、物理学家或数学家一般都有类似感觉。做事的人对于评论者的蔑视是最深刻的，总的来看也是最合理的。解释、评论、鉴赏是次等工作。现在我写书来谈论关于数学的问题，是因为我和其他的年过六十岁的数学家一样，不再有新思想，也不再有精力和耐心来继续有效地进行自己的专业工作”

你可以把这本书看作一个灵魂在以旁观者的超然姿态评论自己的尸体，对于他而言，创造力失去之后，精神已死，肉体是否存活，其实无关紧要。

发过感慨，回到本题。哈代大谈数学是年轻人的科学。牛顿最伟大的建树，流数术和万有引力原理，是在24岁创立的，到40岁时，他自己已经认识到黄金时期已经过去。伽罗瓦21岁去世；阿贝尔27岁去世；拉曼纽杨33岁去世；黎曼40岁去世。“我不知道有什么重要进展是由年过半百的人创立的。如果一位年长者放弃了数学，那不管对于数学还是对于他自己，损失都不会太大。”

维纳的观点则大有不同。尽管维纳也同样认为数学是年轻人的工作。比如他说：“数学在很大程度上是年轻人的科目，它是智力的竞争，只有年轻和气力旺盛才能充分满足它的要求。同许多昔日的体坛英雄一样，才华横溢的年轻数学家，在写出一二篇有前途的论文之后就湮没于市。”

然而，维纳并不认为自己老了就不行了。他在自传中说：“我撰写自传时已经年过六旬，到了一个有创造力的数学家的晚年期。然而，我仍然在工作着，我的许多思想仍在为工程技术学和物理学的发展做出贡献，因此，这样的一本自传，只不过是一份中期报告而已。”

维纳是凭什么解脱了束缚哈代的悲观绝望情绪呢？

“想到名噪一时，锋芒初露之后便是索然无味的一生，这的确令人难以忍受。一个数学家如果想干一番非凡的事业，就必须把他创造力达到极限的短暂青春奉献于对新领域、新问题的发现上。而新领域、新问题是如此丰富，如此引人入胜，就算终其一生也很难弄透彻。幸运的是，那些在我年轻时就激励我，花了大量时间去开拓的问题，在我年过六旬的今天，仍然魅力不减，继续激励着我。”

综上所述，我们可以看出，一个数学家，只要有新的值得探索的对象，他的精神就不会死亡，创造力不会消失，人生的价值在延续。生理年龄不是问题，能不能找到值得长期奋斗的目标才是问题。

哈代为自己设定的崇高目标是探索数学纯粹的美，这样的话，数学本身就是目的。打个比方，汽车很美，哈代是个车迷，奔走于各大车展，家里贴满名车图片，各种汽车的性能数据他如数家珍。他也开车，但更多的时候只是迷醉于汽车本身。

维纳为自己设定的目标则是要探求具体问题的答案，这样一来，数学就只是工具。汽车很美，但维纳却不是车迷，而是一个旅行家。

我们的生命，其实是寄托于我们所爱的人或者事物上。我们的心情随着这些对象的变化而变化，或喜或忧，忽疑忽惧。享受满足失落恐慌都来自于此。失去了所爱的对象，我们内心的一个角落也就悄悄死去。从这个意义上说，我们的生命是寄附于这些对象上的。它死，我也死。悲哀，是当你身边有价值的部分不断消失，你的生命也同步消亡，但神智却清明如昔。我们拼命抓住自己心爱的东西，小心看护，拒绝与人分享，其实意味着这真的是我们的生命啊。

《妙色王求法偈》说：“若离于爱者，无忧亦无怖”，这是看透了的说法。可是那样一来，人也就成了活死人。守望，却注定要失去，这是生活的悲哀。从另一个角度看，也是生活的价值所在。人生的区别在于过程，要说结局，那大家都是一样的啊。

我们既然与我们爱的对象是同步生长和死去的，那么，它寿命长，我寿命也长，它寿命短，我寿命也短。

选择长线的人是有福的，像维纳一样。他毕生游走于各个学科，不断探索和创造，以至于有一次纪念维纳的年会上，按专业分组，竟然分了29个。说不清他是哪个专业的学者了。

而哈代则不幸得多。他毕生只探求科学的一个角落，等到探索完成，或者失去了探索的能力，他的生命就走到了尽头。肉体仍在，精神已死。这和马丁伊登的结果是一样的。

生命的价值是有可以爱的东西。而精神死亡的标准是失去了爱的能力。

二、 数学之美与数学之用

记得看过一篇科幻小说，作者是台湾人，叫特德还是什么的。他作品中举了一个例子：

eπi+1=0（e的πi次方+1=0，这word里写的好好的，怎么贴不上？）

看到这个公式，只要你是学自然科学的，摆弄过e、i、π这三样东西，不可能不感到震撼。这三样东西摆在一起竟然有这么个结果！

E=mc2的震撼力也是如此。

可是，第二个公式有用，第一个公式有什么用呢？

可见震撼力不来自公式的用途。它来自数学本身。

怀特海说，数学之美在于抽象和不直观，在于揭示事物内在的联系和简单逻辑。“当一个人认识到五条鱼和五个饼之间有某种共同之处时，数学就开端了。”

哈代接着说，抽象性带来的是普遍性和深刻性，达到这个标准的是好数学，而有没有用则并不是一个标准。

哈代认为，数学家是概念的造型者。美和严肃是评价其造型的标准。“最好的数学不但优美，而且严肃。”“格律完美，主题明确，音调铿锵。在诗歌中，意境对造型至关重要，在数学中同样如此”。“数学定理的美很大程度上依赖于其严肃性，而诗句的优美则还依赖于其所含思想的重要性。”

“从粗俗的意义上说，数学极少有实用价值，这实用的极少数，相对来说还较乏味”。数学定理的严肃性不在于其通常微不足道的实用效果，而在于它涉及的数学概念的意义，粗略地说，如果一个数学概念与其它形形色色的概念之间有一种自然而鲜明的联系，这个概念便是有意义的。

关于有用的问题。哈代的看法是，有用的标准完全取决于人类。如果科学或者艺术能够增加资源，方便人类，或者增加人们情感上的愉悦，我们就可以认为它们是“有用”的。

问题是按照这个标准，我们学习的大部分学问，对于大多数人都是学而无用的。“事实上我们不得不诧异，科学知识给普通人带来的实用价值是如此之小，如此乏味，而且毫无特色。懂一点法语、德语、历史或者地理也许有用，但是仅仅懂一点物理、化学、生理学却没什么用处，不用知道气体的组成我们也知道它会燃烧，汽车坏了就送到修理厂。”这样一来，“有用”就成了科学家为自己辩护的一个理由，它本身，其实并不重要。

（附言一句，这个观点我十分赞成，我管过科研经费，就碰到这个问题，很多研究都要在开题报告中竭力阐明意义，其实课题本身就很重要了。但不说明现实意义，就拿不到经费，社会的短视如此。）

初等数学（职业数学家眼中的分类，不是我们平时所谓初等数学），诸如微积分之类，是具有一定实用价值的，但这部分也比较枯燥，是最缺乏美学价值的部分。“真正”的数学家所研究的真正的数学，如费马、欧拉、高斯和阿贝尔所研究的数学，几乎是完全“无用”的。以“实用性”来衡量一个数学家的工作是不可能的。

古希腊数学之所以发挥永恒的魅力，在几千年后还能激动千千万万的人，不是因为它有用，而是因为其中的精华就像文学作品的精华，引起了人们强烈的智力满足感。

在一次大战时，具体说是在1915年，哈代曾经有个惊世骇俗的论断：“一种科学，只有当它强调社会财富的不均衡性，或者直接促使人类生活的毁灭时，才是有用的。”后来他又引申说，研究数学虽然无用，但比研究其他学问的要“无害”，因此成为一个数学家是保住清白的好办法。这些个论断尽管遭受不少非议，窃以为还是很有道理的。

维纳在数学的美与用的问题上的看法，与老师有很大分歧，他的看法也很明确：“在我看来，逻辑、学习及一切精神活动（包括数学），不应该被当作一幅完整、封闭的图画来理解，它只有作为一种过程，一种人们用来使自己与自身环境相一致的过程，才能为人们所理解。重要的是为学习而奋斗，而不是胜利。紧随着每个完全胜利而来的是洪荒，在那个时候，胜利这一概念的来到之时，也就是它的消亡之日。”

维纳提到父亲的时候说：“在他看来，语言学是文化历史学家的一个工具，就像铲子是考古学家的一个工具一样，不足为奇。一个不满足于对语言作形式与抽象研究的父亲，其儿子也必然不满足于那些不涉足物理学的数学家们所持有的那种浅陋的数学观”。

尽管没有指名，这么严厉的指责，作为授业恩师的哈代多半受不了吧。

最后，学者的雄心壮志是追求永恒，在历史长河中留下永不磨灭的印记，这一点大概没有疑问。可是具体做起来又有问题。

哈代指出：“假如真的能把我的雕像竖立在伦敦纪念碑上的话，我是希望这座碑高耸入云，以至于人们看不到雕像呢？还是希望纪念碑能够矮得可以使人们对雕像一目了然呢？”

（完）

• 数学之美与数学之用很早讨论过

最近，一直很忙，顾不上上网了。今天是版主报到的日子，正好赶上仙人的好文，赶紧爬上来给仙人捧个场，并借此机会谈谈我对数学之美与数学之用的关系的看法。

一句话，我认为数学之美与数学之用并不矛盾。

比如说，eπi+1=0（e的πi次方+1=0）这个公式，确实让人震撼。但是，e,π,i都不是凭空创造出来的，凭空想象出来的，他们都是对于具体问题具体概念的抽象精炼描述，说来说去，e,π,i都是“有用的”才会被数学家研究发展，而eπi+1=0这个公式本身的“美”则是副产品，是数学之用的必然结果。复数的几何意义正是这个公式之所以让人感觉震撼的基础，脱离了这个含义，公式的美学价值也就无从谈起。如果我们认为“复数具有几何意义”是一种“思想”的话,那么“数学定理的美很大程度上依赖于其严肃性”的同时，还“依赖于其所含思想的重要性。”可以说，在这点上数学的优美与诗句的优美是相通的。实际上，在我看来，世间一切美都离不开其内在的思想性，数学如是，物理如是，艺术如是，文学如是，甚至人本身也如是。但与诗歌等不同的是，数学思想之重要性更多体现在其“实用性”上，而诗歌则更注重在“情感表达”上。

哈代指出：“假如真的能把我的雕像竖立在伦敦纪念碑上的话，我是希望这座碑高耸入云，以至于人们看不到雕像呢？还是希望纪念碑能够矮得可以使人们对雕像一目了然呢？”在我看来，那些能够让人震撼的美丽的雕像，首先必须是让人们“一目了然”,必须能够让人能体会到背后得”思想”的,进而才会产生共鸣。当我看到eπi+1=0的时候，我想到“复数的几何意义”，并因此而感受到公式的美，正如，E=mc^2的美在于“质量与能量相互转换”的思想之美，这种思想我认为是“有用的”，缺乏这种“有用的”性，我就根本感受不到公式会“美的让人震撼”了。

数学家们在发展数学理论的过程中，不可避免带有某种倾向性，有些人追求“简洁，严密，自恰的数学之美多一些”，而另外一些人追求“创建数学为我所用”.但归根结底,真正美的数学一定是实现了美与用的统一.在数学发展史中，很容易找到这样的例子。牛顿在创立微积分的过程中,完全没有过多考虑是否”流数”很”严密”,无穷小量象个幽灵,一会儿为零,一会儿不为零,纯粹意义上谈不上”美”,但不可否认,十七世纪数学上最大的成就就是微积分.最后在一大批天才数学家,欧拉,柯西,白努力,泰勒等等共同努力将微积分大厦建立在更加坚实的基础上,微积分才逐渐美丽起来,最后”美与用”达到统一.而与牛顿不同,黎蔓在创建黎蔓几何的过程中并没有考虑”用”的问题,固然黎蔓几何可算是美的数学,但只有当其被应用到广义相对论中,其美才真正可以”震撼人心”.

仙人曾经说过:”用也是一种美“。我的理解是，“用”使得“美”更加真实。对于数学来说，其“用”（抽象描述自然）使得其“美”更加能够深入我心。

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