主题：说一说公理体系 -- 天空不空

首先，这个是凭记忆写的，会有很多错误，这也是没办法的事情，严肃的写点东西，要消耗很多精力，作为一个中年人，真的没这个精力。

我以前说过，在我看来，西方文明能搞出公理体系这么一套玩意确实牛逼，那么这里就简单的讲一下我对公理体系的理解

以平面几何为例：

公理体系的知识分为以下几个层面的

1公理层面：这个层面的知识，无法定义，无法证明，天然正确，不言自明，比如点，直线，过相异两点，有且只有一条直线，这些知识在几何中是无法被定义和证明的，但又是显而易见，懂得这些不言自明的知识，在这些不言自明的知识上取得一致，是研究几何的前提，但如果不懂点和直线，或者没办法在这些知识上达成一致，就没办法研究几何

2定义层面：这个层面的知识，严谨，明确，属于就是属于，不属于就是不属于，没有任何模糊的区间，比如正弦，余弦，正切，余切

3命题：所谓的命题，是一种叙述，比如三角形两边之和等于第三边，两边之和大于第三边等，这些命题的特点是不管正确与否，都可以在1,2的基础之上，通过逻辑推理予以证真和证伪的

4定理层面：这个层面的知识的特点，是被证明正确的命题，比如勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方

5应用：应用4中的定理去解决生活中的实际困难，有的可能达到了预期目的，有的可能没有，达到目的是很正常的，没达到目的，就可以反推在上述的4个层面哪个层面出了问题，然后再去修改，所以这几个层面的知识也不是绝对的，也是会相互转变的，比如函数这个概念，当初莱布尼茨提出来的时候，就是作为公理层面的概念提出来的，认为函数无法定义，又不言自明，至于函数的明确定义，是后世的科学家给出来的，

所以我在人讨论问题，出现分歧的时候，往往会问一句，我们的分歧是什么层面的分歧，是定理层面的，还是定义层面的，还是公理层面的，当然，我也只是遇到值得交流的人才会顺着这个思路思考，并与对方交流下去。

球面上两点之间可以有无数条非重合直线，不过那是非欧几何。

没有定义，叙述一个公理都不可能，可是就是定义是过去这套公理体系最大的漏洞。

比如什么是自然数， 什么是实数，什么是点，什么是直线，什么是面，什么是距离， 甚至什么是数，都牵涉到人类思考的最基础层面。

公理作为一般的直觉就能观察到的现象，反而不难建立，很多可以观察到的自然现象彼此可以互推，以哪个作为公理都可以。确立公理我认为反而不难，由公理推导，引申出新的知识点，也是非常正常的人类现象， 百万年以来智慧生物就是如此不断进步的。

其实西方发轫于2000多年前的公理体系萌芽，就是把不知道，说不清的不去说，放在那里，假装是共识，就讲能够讲得清楚的地方，和中国人的务实是相似的道理， 中国就研究各种数学技巧，能够解决实际问题。

2000多年前，中国人面对讲不清楚的地方，寻求避开困难，走整体路线，把被观察对象看成黑匣子，从刺激-响应角度寻求利用观察对象的路子。在2000多年前这是一个非常取巧的方法，立即就能用起来，有效果。

但西方从机械唯物论出发，初期应用非常困难，但必然带出公理体系的萌芽，最后建立公理体系，这前后花了2000年时间，绝对不是2000多年前就建立好了，后面1000多年没有寸进， 完全不符合科学在加速前进的逻辑。

del

在我看来也很牛了，毕竟其他文明连这种托古的产物都没有

自然数是被帕累托公理体系定义出来的，后来冯诺依曼又定义了一次

跟公理体系似乎不是很扯得上，逻辑我觉得更靠近点。

评价一幅画，或者一首诗，跟公理就很难扯上。所以西方有艺术和科学的分类，我觉得把某一领域的思考方法生搬硬套到另一个领域，不必然成功。

关于公理体系的讨论非常有趣，希望能涨涨见识，这里我打了个岔，请继续。