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主题:【文摘】相对论通俗演义 -- 不爱吱声

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家园 【文摘】第十五章 史瓦西解

第十五章 史瓦西解

(1)

刚开始,有了爱因斯坦方程,剩下的任务就是解方程,爱因斯坦方程的解是度量函数,是10个方程组成的偏微分方程组,这个方程非常复杂,因为它不象一般的n次代数方程,后者人们可以根据代数基本定理,可以知道,有n个解。爱因斯坦方程到底有多少解,没有人能够说出来,虽然人们已经发展了一系列由已知解推出未知解的生成解技术,比如纽曼在1971年就从已经知道的RN解中生成了kerr-纽曼解,当然其中的生成过程用到解析延拓和复坐标系转换,可谓是变幻莫测。所谓偏微分方程,要想解答出来,很多时候就是靠特殊函数之类的方法。在我上大学的时候,第一次读到薛定格或者史温格不解偏微分方程,而用因式分解的方法,或者说,用超对称量子力学的方法得到一维偕振子的能谱的时候,我觉得整个世界是天昏地暗,那计算过程里的每一个字有豆腐干那样大,朝我迷糊的眼睛砸过来。

当时的我被惊讶。

原来,schrodinger方程这样的PDE,可以通过不解PDE来处理。

从某个时候起,我看到Einstein方程,就会想,能不能不用PDE的方法,来解决它。

寻找爱因斯坦方程解的故事非常之长,国外有一本专门写这方面的书,叫《爱因斯坦方程的精确解》。国内也涌现过一些人解过爱因斯坦方程,比如,翻开尘封的历史之书,可以看到先驱束星北走过的崎岖山路:“束星北是我国早期从事相对论研究的理论物理学家之一。爱因斯坦广义相对论的引力定律,开始时只得到球对称静力场的近似解,随后K.史瓦西(Schwarzschild)得到球对称静力场的精确解。30年代初,束星北曾试图推广到球对称的动力场,得到有质量辐射的近似解。……1950年代,H.韦尔(Weyl)、爱丁顿和爱因斯坦想通过黎曼几何把引力场和电磁场统一起来,基本没有成功。其实早在1930年前后,束星北就探索引力场与电磁场的统一理论,他考虑了引力场与电磁场的根本异同,提出用质量密度ρ和虚数电荷密度iσ之和ρ十iσ代替广义相对论中的能动张量中的质量密度ρ,从而导出一级近似的复数黎曼线元,实数部分正好代表引力场,虚数部分正好代表电磁场,并由之进一步推导出麦克斯韦方程组和洛仑兹力方程。”束星北是国内研究相对论的先驱之一,是李政道在浙江大学时的老师,但他后来受到了政治打击。其人生经历现在留下人们谜一样的感觉,下面是简单的年表:

1907年10月1日 出生于江苏省南通。

  1924―1925年 求学于杭州之江大学一年级。

  1925―1926年 求学于济南齐鲁大学二年级。

  1926―1927年 求学于美国堪萨斯州拜克大学物理系三年级  。

  1927年  在 美国旧金山加州大学学习。

  1927―928年  经日本、朝鲜,过莫斯科、华沙到柏林、汉诺威等欧洲各地游历及工作。

  1928―1930年 在英国爱丁堡大学攻读研究生,获硕士学位。

  1930年  在英国剑桥大学攻读研究生。

  1930―1931年 任美国麻省理工学院研究生兼研究助教。1931年5月获理学硕士学位。  

  1932年  任南京中央军官学校物理教官。

  1932―1935年 任浙江大学物理系副教授。

  1935―1936年 任上海暨南大学数学系教授兼主任,上海交通大学物理系教授。

  1936―1952年 任浙江大学物理系副教授、教授。

  1944―1945年 被重庆军令部技术研究室借聘,研制雷达。

  1952―1958年 任青岛山东大学物理系教授,海洋系气象研究室主任。

  1960―1978年 在青岛医学院兼任教员。

  1978―1983年 任青岛国家海洋局第一海洋研究所研究员。

  1981―1983年 任山东和青岛市物理学会名誉理事长,中国海洋学会副理事长、名誉理事长。

  1983年10月30日 病逝于青岛。

度量g是相对论中最基础的概念之一,它指的是两点之间距离长短,但因为是弯曲时空,所以,任意两个时空点之间的距离变得很奥妙。北京到杭州之间的球面距离,大约是1700公里,这个距离之所以能够出来,是因为,我们在地球球面上赋予了一个度量,这个度量是由3维平坦空间的欧几里得度量在球面上诱导而得到的。由此可见,假如知道了地球球面的度量,我们就可以算出距离。现在,粗劣地说,我们是要在爱因斯坦方程里解出度量。

第一次真正解出这个度量来的人,就是史瓦西。

(2)

回过头来,让我们重新看一下爱因斯坦方程。

时空的几何用Einstein方程G_ab=T_ab描述,场方程左边只出现背景流形的度量(以及它的派生量)而右边只出现物质场的能动张量。

爱因斯坦场方程是一个张量方程,方程的成立是不需要坐标系的,但真正的计算必然是要选择坐标系,使得这个坐标系覆盖时空流形的某个区域。很重要的一点是,人们可以在同一个地方选择不同的坐标系,但真正的物理的东西是不依赖于坐标系的选择的,这就是广义协变性。通常的比喻是这样的:时空流形好象是一个房间,而坐标系好象是摄象机,摄象机可以从不同角度来拍摄这个房间。广义协变原理指出,无论怎么拍,都是反应同样的房间,房间是不依赖于摄象机的。

第一次世界大战期间,1916年。有一个人给Einstein寄来一封信,他说他找出了Einstein方程的一个解,想要请爱因斯坦帮忙在物理学的学术大会上代为发表。写信的这个人当时在俄国,他忙着在战壕里计算弹道。战争是惨烈的,生命在弹指间灰飞烟灭。四起的狼烟与隆隆的炮声似乎为运命太息。

史瓦西在沉思。

他是德国的天文学家,当他死的时候,爱因斯坦不无悲戚地写了悼念的文章,文章的第一句是:死神从我们的队伍里带走了卡尔.史瓦西。

史瓦西考虑的情景是最简单的,他考虑的是一个不带恒星,不带电荷和不带自转,那么,这个恒星的存在将引起时空如何弯曲。

他得到了一个结论:

ds^2=-(1-2M/r)(dt^2)+1/(1-2M/r)(dr^2) +(r^2)[dθ^2+(sinθ)^2(dφ)^2] (5)

之后,他在冬天的战场上得了严重的皮肤病。

等他跑回德国就匆匆地离开了尘世。

一生象闪电般出现流星般消失。

(3)

公式(5)描写了史瓦西时空的弯曲情况,这是一个很数学的结果。要清楚地看到它的弯曲情况,后来的人做了很多工作,人们还试图把史瓦西时空嵌入到更高维度的时空之中。这样人们看问题会稍微清楚一点,Eisenhart有一个定理说,如果n维Ricci平坦的流形可以到n+1平坦空间,那么n维流形必然是Riemann平坦的。但4维史瓦西时空不是Riemann平坦的,它仅仅是Ricci平坦,所以它不能嵌入到5维平坦空间。但它可以嵌入到了6维平坦空间。

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