主题：【文摘】相对论通俗演义 -- 不爱吱声

第十六章 伯克霍夫定理

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史瓦西解是真空爱因斯坦方程的球对称解，于是，有一个很自然的问题就是，真空爱因斯坦方程的球对称解是不是一定是史瓦西解？答案是肯定的，这就是著名的伯克霍夫（Birkhoff）定理。Birkhoff生前来过中国,他是一个美国数学家。要想在直观上理解伯克霍夫定理，不是一件容易的事情。史瓦西解实际上不是覆盖整个时空的，它的外部解大致可以描述太阳外部的时空弯曲的情况，假如不考虑太阳的自转。这个解很有实际意义，因为地球运行在被史瓦西解刻画的时空之中。这样的时空到底有性质呢？地球每一年绕着太阳转一圈，它的轨道每年都几乎是一样的――这一点很重要，假如地球和太阳之间的距离，是随着时间而变化的，换句话说，假如地球一会儿离太阳很近，热得要死，一会儿又离太阳很远，冷得要死，那么，这样的时空就不是我们所熟悉的史瓦西解所刻画的时空了。史瓦西解刻画的空间不随着时间演变，大致地称这样的时空为静态时空。当然这是一个很不严格的说法，在几何意义上，要想定义静态时空，首先要定义稳态时空。

稳态时空的定义是说，时空区域存在一个处处类时的killing矢量场。这相当于说，度量演时间平移不变，也就是时空具有时间平移的不变性。粗率地说就是存在这样的度量矩阵，使得这个矩阵的各个分量对时间求导全是零，如果是这样，人们就说，时空是稳态的。如果时空不但稳态，而且存在与该类时killing矢量场正交的超曲面，那么，这个时空就是静态时空，不但具有时间平移不变性，而且具有时间反演不变性。

史瓦西外部（r>2M时）线元：

ds^2=－(1-2M/r)(dt^2)+1/(1-2M/r)(dr^2) +(r^2)[dθ^2+(sinθ)^2(dφ)^2]

观察一下这个度量，坐标t是时间吗？抑或r是时间？因为是外部解，r>2M，所以线元的第一项是负的，第一项表示时间项，也就是说坐标t是时间。那么，度量矩阵的各个分量对时间求导全是零，可见，史瓦西外部是稳态的。而要判定它是不是静态的，就需要证明这个类时killing矢量场是超曲面正交的，在数学上有复杂性，原则上就是用到微分几何的佛罗般尼斯定理。

非常粗拙地说：证明一个矢量场与一个超曲面正交，还有一些可能是思路，比如要证明某矢量场与一个二维球面处处正交，可以用反证法，假定这个矢量场与球面相交处处有切分量，于是在球面上就有光滑的切矢量场，但这些切分量不可能光滑地布满整个二维球面――原因是因为Hopf―poincare的指数定理，于是，只好让所有的切分量全退化，那么，这个矢量场就与二维球面处处正交了。

（2）

已知了静态时空的定义，回头来看宇宙，因为宇宙是不是静态的，这是一个很重要而且迫切的问题，爱因斯坦曾经有一段时间，深受牛顿等人的影响，认为宇宙是静态的，或者说，爱因斯坦那样深刻的人，也曾经错误地认为，宇宙是一个存在，它亘古不变。

勒梅特（Lemaitre.Georges）生于1894年，在中国来讲当时正好是中日甲午战争时代，他后来是比利时的天文学家和宇宙学家，提出了现代大爆炸理论。他的理论认为宇宙开始于一个小的原始“超原子”的灾变性爆炸。后来他的这个理论被伽莫夫所发展，大爆炸宇宙论的影响力空前高涨。第一次世界大战爆发了，年轻的勒梅特作为土木工程师在比利时军队中担任炮兵军官。战后，他进入神学院并在1923年接受神职,担任司铎，也就是一个神甫，故事也就在这个时候，要开始了，历史选择了他来拉开现代宇宙论的帷幕，作为一个神甫，他可能有一个考虑，就是要证明上帝创世。1923年，也是美国加洲维金森山天文台上的哈勃开始观察到星系红移的时刻。1923年和1924年间，他在剑桥大学太阳物理实验室学习，后来又到美国麻省理工学院学习，在那里他了解了美国天文学家哈勃的发现和H.沙普利有关宇宙膨胀的研究。他在1927年任卢万大学天体物理学教授时，正式地提出宇宙大爆炸理论，用这一理论，哈勃发现的星系的退行可以在爱因斯坦广义相对论框架内得到解释。当时的爱因斯坦还是不相信勒梅特的理论，他认为勒梅特的物理不行。但是到了1931年，爱因斯坦已经确定知道是错了，于是他去了加洲，会见了哈勃和勒梅特。会见结束了，爱因斯坦认为，这是他一生最愉悦的会面，他接受了勒梅特的大爆炸宇宙学说。爱因斯坦再次认为，自己在爱因斯坦方程里引进宇宙学常数，这是他一生最大的错误。

这已经是很久以前的事情了，现在看来，大爆炸宇宙模型在大方向上完全是正确的。而用来描述大爆炸之后的宇宙，最好的度量就是RW度量，当然因为富里德曼在1922年就从爱因斯坦方程里解出了非静态的宇宙，所以这个度量又被称为FRW度量。可是，当时的富里德曼把论文投出去的时候，爱因斯坦是审稿人，他很快地枪决了富里德曼的论文，富里德曼写信申辩，爱因斯坦就不再管了，于是，富里德曼被埋没进了历史。

FRW度量描述我们的宇宙，这个度量把银河星系当作是尘埃。而星系之间的距离是在膨胀的，而至于星系内部，这种膨胀效应就是很小很小了。这因为这个原因，我们才没有感觉到太阳在渐渐地远离地球。星系之间的膨胀用哈勃定理描述，哈勃常数有一个几何解释。一个参考系也就是一个类时矢量场，一般有三个指标：膨胀，剪切，扭转，哈勃常数正是宇宙标准参考系的膨胀。这个类时矢量场的扭转为零，扭转为零的矢量场是超曲面正交的，这个超曲面，正是我们宇宙的空间部分。