五千年(敝帚自珍)

主题:说说我对“文革期间”高等教育的看法(1) -- 达雅

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家园 行空间与列空间同维的直接解释

矩阵A代表一个 在两个线性空间W和V之间的 线性映射A。

矩阵A的列空间的维数是线性映射A的象空间的维数。

线性空间W和V 都有对偶空间(由线性空间上的线性函数构成)。

矩阵A诱导出 V的对偶空间 到 W的对偶空间 的线性映射B。B对应矩阵A的转置。所以B的列空间的维数(即B的象空间的维数)等于A的行空间的维数。

最后 有限维时 对偶空间的对偶空间是原先的线性空间。所以A的列空间维数 和B的列空间的维数 的关系 在交换AB后依然是对的。这意味着这两维数相等:即A的列空间和A的行空间同维。

这是标准的(最自然的)无需任何计算的证明。

之前另一个人的解释是错的。

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