五千年(敝帚自珍)

主题:【原创】胡乱谈谈美国或美国人 -- 侯登科

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家园 总结规律是必经步骤,但证明往往超出中学生能力范围。

初等问题并非都有初等解答,许多需要近代数学方法,甚至现代数学方法。中学数学的范围主要是初等代数和初等几何,再加一些微积分和概率统计的“基本概念”。给学生做的“难题”(包括国际数学奥林匹克的题),实际上都是经过精心挑选的容易题(即在较高的视角下出题人可以一眼看穿,同时又保证有初等证法)。只有到大学阶段,掌握了一些较基本的数学工具、了解了较严格的数学体系,才有机会自由证明各种问题。

(古希腊三大几何问题难倒多少民间数学家!只因没有天才到笛卡儿、高斯、伽罗瓦三人合体的水平,不能跳出欧几里得时代做图求证的思维。还有数论问题,往往看起来简单,但轻易把外行人困住几十年,历史上常事。)

数学的历史太长。中学阶段主要是学习十六、十七世纪的数学家们的成果和部分经验,做题只是这种学习的一部分。但需要注意的是,十七世纪数学家平时研究的问题,比如说最速降线问题(实际上是变分问题,即给定条件求曲线,而非给定曲线求性质),已经超过了中学生的能力,可以用非证明的方法探索。对于大学生来说,倒是可以去读读牛顿一个晚上整出来的证明(https://rmf.smf.mx/pdf/rmf/40/3/40_3_459.pdf),用到了惠更斯的等时曲线证明,微积分学的透彻的话,应该都能看懂。

(也有人直接研究高等数学公式的规律,自学成才,这个人叫做拉马努金,是个非常牛逼的数学家。不推荐一般人学习,但也不失一种参照。掌握了系统化的更高的视角后,研究任何问题,都比那些花几十年琢磨初等数学题出不来的人自如多了。)

通宝推:林风清逸,也要崛起,桥上,
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