主题：阿波罗尼奥斯问题-Prob. of Apollonius -- 理性网民

令给定点A、B的坐标分别为(xA, yA)、(xB, yB)，给定直线l经过点(xC, yC)且其法线与x轴正向夹角为θ。假设所求圆圆心为(x, y)，半径为r。那么PPL问题等价于求解如下非线性方程组。其中xA、yA、xB、yB、xC、yC、θ为已知量，x、y、r为未知量。

方程组（2.1）的第一式要求点A在所求圆上。第二式要求点B在所求圆上。第三式要求直线l与所求圆相切。由于一个点到一条直线的距离可以是正值也可以是负值，第三式右侧可以取正号也可以取负号。

为了求解方程组（2.1），用第一式减去第二式。考虑到第三式的正负号问题，令r可以取正值也可以取负值。这样可以得到如下等价方程组

方程组（1.2）的第二式要求所求圆圆心在线段AB的中垂线上。

方程组（1.2）的后两式可将x和y表示成为r的函数。将r当作已知，行列式det(A)可以用于判断方程是否有解。

当det(A)为零时，线段AB与直线l垂直，而线段AB的中垂线与直线l平行。为使方程组有解，方程组后两式的系数必须成比例。相应的r值为

其中D点(xD, yD)为A、B两点的中点，pC为坐标原点到直线l的距离。得到r值以后，x和y值可以根据方程组（2.2）的前两式求出。

当det(A)不为零时，令

x和y可以表示成为r的函数。

其中E点(xE, yE)为线段AB的中垂线与直线l的交点，(kx, ky)为与线段AB垂直的向量。向量(kx, ky)的长度为

其中ϕ为线段AB的中垂线与直线l的夹角。将式（2.6）代入方程组（2.2）的第一式，可以得到r需要满足的方程。

式（2.8）可以变换成如下一元二次方程形式。

当sin(ϕ) = 1时，线段AB与直线l平行，式（2.9）二次项系数为零，r有一个实数解。当sin(ϕ) < 1时，式（2.9）判别式为

根据向量(kx, ky)的几何意义，可以将式（2.10）的最后一项变换为

将式（2.11）代入，式（2.10）等价于

其中ψ为线段AE和线段DE之间的夹角AED。当ψ > ϕ，点A、B位于直线l异侧，此时Δ < 0，r无实数解。当ψ = ϕ，点A、B中某点位于直线l上，此时Δ = 0，r有一个实数解。当ψ < ϕ，点A、B位于直线同侧，此时Δ > 0，r有两个相异的实数解。得到r值以后，x和y值可以根据方程组（2.6）求出。