主题：阿波罗尼奥斯问题-Prob. of Apollonius -- 理性网民

问题：给定两点A、B和一条直线l，找出过A、B两点并与l相切的圆。

解：连接A、B两点得到直线m，延长m与l相交于O点。在l上找到点P使得|OP|2 = |OA|×|OB|，那么所求圆必与l相切于P点。这意味着所求圆经过A、B、P三点，可以采用PPP问题的解法。

证明：假定l与所求圆相切于P点。那么经过O点直线m与此圆相交于A、B两点，同样经过O点直线l与此圆相切于P点。那么|OP|2 = |OA|×|OB|。这样P点的位置可以由A、B、O三点所确定。

分析：当m与l相交于O点，在l上有两点与O点距离满足等式|OP|2 = |OA|×|OB|。这两点对应于问题的两个解。当m与l平行时，切点P在线段AB的中垂线上。此时问题只有一个解。当A、B两点位于直线l异侧时，PPL问题无解。

评论：PPL问题最终转化为PPP问题进行求解。同时，如果选择O点作为反演变换的中心而且采用合适的变换常数，A、B两点在变换前后变换位置，直线l在变换前后保持不变，而所求圆在变换前后不变。