主题：阿波罗尼奥斯问题-Prob. of Apollonius -- 理性网民

令给定直线l、m分别经过点(xA, yA)、(xB, yB)且其法线与x轴正向夹角分别为θl、θm，给定圆圆心C的坐标为(xC, yC)，半径为rC。假设所求圆圆心为(x, y)，半径为r。那么LLC问题等价于求解如下非线性方程组。其中xA、yA、xB、yB、xC、yC、θl、θm、rC为已知量，x、y、r为未知量。

方程组（4.1）的第一式要求直线l与所求圆相切。第二式要求直线m与所求圆相切。第三式要求圆C与所求圆相切。由于一个点到一条直线的距离可以是正值也可以是负值，第一式和第二式的右侧可以取正号也可以取负号。类似，两圆可以内切也可以外切，第三式的两个半径可以相加也可以相减。

引入新变量r′ = r ± rC及坐标原点到直线l、m的法线长度pB、pC，方程组（4.1）等价于如下方程组。

方程组（4.2）用于求解某圆，其圆心与LLC问题所求圆相同，但是半径不同。第一式表示该圆与某平行于l的直线相切，该直线与l的距离为rC。第二式表示该圆与某平行于m的直线相切，该直线与m的距离为rC。第三式表示该圆经过圆C圆心。这意味着LLC问题可以通过转换为PLL问题求解。