主题：海盗分金问题的答案 -- 暗香疏影月黄昏
家园 海盗分金问题的答案 大二的时候我曾经参加数学竞赛。
前面做得都很好，最后一道题是最没把握的题：著名的海盗分金。
题目如下：
五个海盗（1,2,3,4,5）分100金子，开始海盗[1]提出一个分金方案，五个人对其投票，过半则通过，不过半则海盗[1]被杀，海盗[2]提出方案，四人投票。。。依此类推。
这个题目很著名，但当时我没听说过，所以就一个一个分析。
我相信人都是怕死的，亡命之徒通常还是想活命的，没有在与海军的对决中战死，反倒在分金的时候被扔下海，任何海盗都会感到郁闷的。
所以我得到假设1：海盗都是怕死的。
当然海盗也想要钱，于是得到假设2：海盗都想要更多金子。
以假设1为约束条件，假设2为优化目标，建立分金模型。
假设1意味着海盗希望自己的分金计划通过，意味着要将利益让给其他人，得到他们的支持。
海盗将用部分金子买去剩下人的同意，从而防止被扔下海。
这一部分金子就是海盗的买命钱，这买命钱的大小意味着海盗对自己生命估价。
假设2意味着自己要更多的金子，意味着将利益集中到自己身上。
海盗[k]在进行分金的时候，还有6-k个海盗（k>=1&&k<=5）
海盗[k]对第i个海盗的分金数为，Gold[i]。（i>=k&&i<=5）
海盗[k]得到的同意值sum（Agree[i]）（i>=k&&i<=5）
海盗[k]的怕死值为Value[k]//单位为1金，即海盗对自己生命的估价，100-Value[k]为海盗[k]期待的最小值
海盗[k]的贪婪值为Want[k]//即海盗希望得到的钱
海盗[k]的实得值为Gold[k]
MAX Gold[k]
约束条件：
100 - Gold[k] <= Value[k]//分给其他人的钱要小于等于海盗对自己生命的估价，即当分给他人的值达到一定程度，则海盗将要金不要命。
Want[k] = 100//海盗都希望利益最大化
Agree[i] = (Gold[i] > (100 - Value[i])) ? 1 : 0
确定Value[i]就是个巨大的问题，如果极端情况下，定为100。
按照我刚刚列的那个非常不完善的公式，则任何一种分法都可能通过。人为自己活命不惜一起代价，这就造成了海盗[1]将大义凛然的将所有的钱分给后面的人，而海盗1一死，海盗2将被推上生死分金线，所以作为海盗2，他也很希望海盗1的分金计划通过，同理海盗3也希望海盗1或者海盗2的分金计划能通过。海盗4也希望自己活着，唯一的异类就是绝对死不了的海盗5，但也只是少数派。于是就较为容易过半，Value[i]=100的结果是，任何人可以为了活命接受任何分金方案。他们可以花所有的钱买自己的命。
还有一个问题，即使海盗[1]将所有金子分给其他人，如果分的不合理，后面的人也不一定通过这个计划。
人越少，则分到的金子可能会更多。
那就使用重点照顾，海盗[2]跟海盗[1]生命攸关，如果海盗[1]死则海盗[2]将面对生死，所以海盗[2]可以争取的，而海盗[3]和海盗[4]可以任选一个重点照顾。
即最终的分金计划是：
0，50，50，0，0
或者
0，50，0，50，0
模型扩展：
但这是建立在Value[i]相等的情况下，然而事实是Value[i]是不同的。
越靠后的人，Value[i]越小，而且海盗[5]是绝对死不了的，所以Value[5] = 0。
海盗[1]死亡可能最大，所以Value[1] 最大。具体值很复杂，只能定性的说。
而且分金的过程中Value[i]是会改变。具体改变机制很复杂。
定性的说，当海盗[1]被扔下海的时候，海盗[2]的Value[2]就会升高，同时海盗[3]也会升高。
于是我在试卷上写上这个结果和很山寨的建模分析。
结果当然是0分，可怜我前面做得那么好，于是就听老师讲评。
老师的讲评也是精彩的，我就不复述了，是推理，其中用到更多的假设，从而得到非常确定的结果。
98，0，1，1，0
98，1，0，1，0
（答案的分析，大家可以去搜一下。）
这个结果是我一直无法认同。老师动用了两个假设。
假设1，海盗要钱不要命
假设2，海盗中不可能存在任何结盟关系。
要钱不要命我就不解释了，就是Value[i]=0。我觉得这是绝对不可能的。
假设2则奠定海盗要钱不要命的基础。
正是因为第2，3，4，5海盗不会存在任何结盟关系，所以海盗[1]才敢于自己拿98 。
我就这个问题跟老师纠缠了很久。
“如果海盗[1]自己拿98，其他人拿那么少，为什么其他的四个人不联合起来干掉海盗[1]，这样至少还可能拿多点。”
“如果他们联合起来干掉海盗[1]，那可能什么都拿不到。”
“如果2，3，4，5海盗中有任意三个人结成坚实的联盟，那么联盟的三人将可以平分100金。这也是一种利益最大化。他们绝对能得到更多的金子，既然如此，他们为什么不这样做。”
“如果是联盟就可能被利益破坏，这是不确定的，而这道题是确定的。一旦有联盟存在，那么问题将变得十分复杂，所以假设联盟不存在。而且我们题中说过，这些海盗是极为聪明且极为自私的追求利益最大化。”
“极为聪明且极为自私的海盗啊，如果他们足够聪明的话：如果存在二人联盟则可以得到50金，如果存在三人联盟则可以得到33金，如果存在四人联盟则可以得到25金。可是他们不联盟，得到0金或者1金。这真的合理吗？”
“如果2和3联盟，那么当1死掉的时候，你认为3就不会为了利益背叛2，在利益面前所有联盟都是不存在的，如果他们足够自私的话，他们绝对会背叛联盟，如果他们足够聪明的话绝对能想到这个结果。”
。。。。。。
我的问题是，如果我是2，3，4，5中任何一个，我看到海盗[1]分到98金，都会愤怒的想方设法让1死。（我承认这个想法很阴暗。）
而教员则有一整套逻辑分析之类的方法，像是机械一样把最终答案产生。
他的意思也很有道理，如果是逻辑分析题，必然有很多假设，即使看起来是不合理的，但没有假设就没有正确答案。而很多逻辑分析的正确答案也是看上去很不常理的，这是个数学逻辑问题，只要是逻辑问题必然有答案，而其答案必然是对的。（大意如此吧，我也记不清了，好像是逻辑上的一个定理）
我说：“如果哪个海盗这样分金的话，肯定会被扔下海的。”
数学教员说：“即使现实中这种分金方式也是适用。”
我们在这个问题上纠缠了一下午，可以看见，穿夏常服的数学教员已经郁闷了，我们争执到再说下去就要掂椅子的程度。那位教员看起来体能比我过关，貌似椅子里要出真理了。
这个时候一个青年数学教员进来的，说问题的答案不止一个。
一年后我在这位数学教员旗下学习数学建模。
这个经典问题的答案绝对不止一个，政治有政治的方式，数学有数学的方式，经济有经济的方式。
然而我却相信最终的那个答案一定是极为简单且统一的。因为人总是人，用各种手段从哪一个方面分析，都只是一方面。
而人综合各个方面得到一个统一的结果。
虽然我不知道这个结果是什么。
因为任何分析预测都是片面的。
现在要说这个问题的给我的启示。
最重要的不是问题本身，而是试图给我解答这个问题的数学教员。
直到现在我还记得他跟我说逻辑问题必有结果的那种语气，他不是一个人，他不是一个人，他背后有苏格拉底，有柏拉图，有笛卡尔。。。之类玩逻辑的大师，那种压倒性的气势，那种绝对普世真理在手的气势，直到现在还是我痛苦的回忆。
他相信98，1，1，0，0的分金方式在现实中也可以用，我的想法是，只要海盗1不是绝对老大，这种分金方式铁定是找死的。
之后某一天我看了《美丽心灵》（讲纳什的那个），这个电影让我记住了亚当史密斯的假设：每个人都将做对自己最有利的决策。
更经典的说法就是：人都是自私的。
亚当史密斯在其上建立一整套经济理论。
数学教员的想法也是建立在相同的假设上。
我总是质疑这个假设。但问题是如果你质疑这个假设，那你就质疑了整个经济理论，如果你质疑了经济理论，那你没法利用这个理论来解决实际问题，所以你就没法解决实际问题。
如果要解决实际问题你只能去相信一个假设，不管它有多荒谬（具体“人性自私”问题可以看看《人的猿性》，里面有相当详实的论据来论证人性既自私也无私，即竞争也和谐）。
如果你要建立新的理论却解决问题，那么你肯定又要有自己的假设，那你的假设就一定靠的住吗？你怀疑原有假设，我就可以怀疑你现在的假设，唯有假设是无法证明的。
数学教员的想法就是这样的，总让我觉得有点本末倒置，但又无法说清，希望河里大鱼们说一下。
我理论水平很低，没有任何逻辑基础，更没看过亚当史密斯的文章。
而现在有个莫名其妙的问题是，只要你给出几个看得过去的假设，然后再根据这些假设推理出一堆东西，只要你推得好，推得华丽，推得精彩，人们就莫名其妙的忘记那几个值得怀疑的假设，而专注于你的推理过程，如果你的推理过程又无懈可击，所以你赢了。你成功的忽悠了我。
所以我拿了1金或者0金，你拿了98金。
我实在是不擅长逻辑，经常把自己绕晕。。。总是在这种问题上绕不清。
但我总是警惕所有真理，所有放之四海，所有普适的东东。
而有些人又太过相信逻辑的力量，相信到最后以为世界是个公式，给出参数就能得到唯一的结果。
而越是这样的人思想往往越惊世骇俗，他们通常也以这种惊世骇俗为荣，以为把大家吓唬到了就是胜利。而自己的想法源自完全正确的推理，所以他们说话总是理直气壮，强悍无比，比脑残得遍地找抽的小白更有力量，更能忽悠一些小孩子。其中的最优秀代表就是柏拉图先生和波尔布特。。。（其它优秀代表的书我没看过，就看过《理想国》）
中国人本质是不擅长玩逻辑，这么多年了，一直很少总结什么普适真理，顶多就是共产党才能救中国，只有共产党才能救中国，以及除了共产党没有人能救中国（你要是把共产党换成论语估计也一样）。车轱辘话不停的说，除了事实论证也没什么真正精妙的逻辑推理。
论语也是一样，从头到尾下定论，稍有的一些推理也让人有点怀疑，比如不患寡而患不均（那倒是直指人性），跟柏拉图同志的一步一步推理出来理想国差了十万八千里。
不过论语总归是胜利了几千年，tg也总归是胜利了六十年，而柏拉图的理想国都被我们这些科幻爱好者设定到了几千万年后的未来，说起来理想国至少代表了未来吧，虽然我绝对不想生活在那样的未来。
但我总有种感觉，几乎所有西方人和某些头脑发热的东方人，都努力着把自己的世界建立成理想国的样子。。。嗯，这应该是另一篇文章的主题了。
在河里啰啰嗦嗦发了一堆，实际上是想听听河里对这个问题的看法，抛砖引玉。
本帖一共被 3 帖 引用 (帖内工具实现)家园 假设最后只剩2个人 那么游戏规则自然就变了
2个人必然动刀子决定结果
换句话说，这个分赃的规矩不具备可执行性
这个问题也就无需讨论了
家园 这问题信息太少，太复杂了 五个海盗（1,2,3,4,5）分100金子，开始海盗[1]提出一个分金方案，五个人对其投票，过半则通过，不过半则海盗[1]被杀，海盗[2]提出方案，四人投票。。。依此类推。
而且最可笑的是，你不知道他究竟想要考察什么，所以最后必然是每人都能说上一点。说实话这个题目就很那啥，真不知道怎么说了。
家园 这题很有趣的，，不过人性前提假设上可能会有一点点差异。 我的建模前提：
条件A.假设海盗名字是ABCDE。
条件B.海盗特点是贪婪：个人利益最大化，残忍：暴力最大化，理智：利益优先于暴力，不浪费利益和暴力。
1.由于表决只要不过半就被杀，所以海盗D和E表决时，全部放弃金币才可以保命。因为E会否决前面决议，等着自己和D来PK干掉D，独吞全部金币，或者等着D双手奉上所有金币。
这里我曾经反复考虑过如果D奉上全部金币，E是否会留D的命。我认为无法判断E会不会杀D，因为题目是基于理性选择有利于自己的最佳判断，海盗是否滥杀不影响判断结论
结论： 如果DE分金，D：0， E：100， D希望可以保命的选择（重要的大前提啊）
2.前推至海盗CDE表决时，C可以全部留下100个金币，但这时D反应如何无法保证，因为D可能选择帮助E.所以应该给D一个金币利益，D即可转向，这里也可以选择不给这一个，但是风险太大。
结论：2：1通过的分配比例是： c:99,d:1,e:0
3.海盗BCDE表决时，E不管怎么决议，都肯定不同意，D给一个就同意，C给的少于99个，肯定也不同意；所以B希望要保命，只有给C：99，D：1，E:0,自己不留。
结论：3：1通过分配比例是： B：0， C:100，D：0，E：0
4.ABCDE表决时：
4.海盗ABCDE表决，给B一个就比自己选择强，他肯定会同意，C希望自己选，肯定不同意。D只要给2个立刻也会同意，E肯定都不同意。
应该： A： 97， B：1， C：0， D：2， 5：0
这个是我认为比较正确的答案。
家园 为什么不做个实验呢？ 英国某养牛场，随便找了一头牛，请一位养牛专家猜其重量。专家天天与牛耳鬓厮磨，早已成竹在胸。他只是扫了一眼，说出一个数字，见证者一听，跟实际重量没差多少。
大家都啧啧赞叹。
然后，又找来七百个人，他们跟养牛完全无关，有教师，有清洁工、律师、医生、渔夫、园丁、政客等。让他们分别猜牛的重量。每人都说出一个数字，简直是天上一脚地下一脚，完全不靠谱。但是把这七百个人猜出的数字加在一起，除以七百，得出的平均数，却比那个养牛专家更加接近实际重量。
去找500个人做100次，也许就会找到这个世界上最优的方案
家园 这个类似一堆程序之间进行博弈实验 不过意外因素还是太多了。
比如让五个人处在海盗的环境里，让他们完全自然的作出判断，而不知道自己在参与实验。挺难的，做成功了估计是斯坦福监狱实验那种程度。
家园 去分金子的先后顺序怎么定下来的？12345？ 这对结果影响很大。甚至决定了结果。
家园 海盗1把所有的金子照单全收了，原因是2、3、4不想死。 100,0,0,0,0和
98,1,0,1,0等没有本质区别
家园 这是一个经典的数学问题 我自己也说不明白,只知道关键是要倒推.
家园 把现实生活的假设带入数学问题，那问题永远无解 数学里面2〉1，生活里面2只老鼠被一只猫吃掉。
这个问题里面的假设是
1。海盗喜欢金币但更重视生命，其他的感情不存在，没有妒嫉，信任等等感情。
2。所有的海盗都能够理性的判断，也就是说，每个人在方案出现后的反应其他所有人都能够事先知道。
问题必须在假设下才有解，如果把现实引入来，就会产生无数个解。
家园 此题目应该有第三个前提——杀人灭口 也就是海盗要在前两个前提成立后，尽可能杀掉更多的人。这样才好做。
另外，合作这种在这类题目中根本不可能被考虑到的。因为合作后再毁约呢？合作过程中毁约呢？等等，没法计算的。
家园 问题解答 按照最好的推算来看,海盗一应该提议由海盗1 2 3均分99金最后1金随便给4或5.
因为如果5个海盗都足够聪明的话他们应该认识到海盗4与5的利益最大化的可能是杀掉1 2 3后平分100金.如果2 3不与一配合那么在后面的投票中2与3要么拿不到钱,要么丢掉性命.所以1 2 3与4 5形成了两个对立的利益团体.