主题：【文摘】相对论通俗演义 -- 不爱吱声

第三章 等效原理

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勒维耶发现了海王星，在这之后没有人再怀疑牛顿的万有引力。但20世纪初的天文观测发现了水星轨道的异常，后来这为万有引力定律掘墓。这似乎说明，椭圆不能精密描述我们的行星运动。在另外的一个侧面，抛物线出场了。在这里谈及的曲线还全是空间里的曲线，不是时空中的世界线，dirac方程在粒子的世界线上引入了超对称，这样的看法还为时尚早。

伽利略，是那个黑暗时代的先知。他聪颖过人，这一点可以从他的2个思想实验里看出来。这些思想使得牛顿认为自己是站在巨人伽利略的肩膀之上。

第一个思想实验是用来说明自由落体运动的。虽然据说他后来也在比萨斜塔亲自做了这个实验。但他的思想实验，却似乎更加可信，甚至不能辩驳。他说：“不考虑空气阻力，轻的东西将和重的东西同时下落，它们将同时落地。因为假如亚里士多德是对的，重的先落地，而轻的后落地，那么，倘使我在它们两个之间连一个无质量的刚性细绳，可以想见，总质量大于它们两个的单独质量，于是，按照亚里士多德，这个整体将落的更快，但事实上，轻的东西一定会拖重的那个的后腿。于是这就自相矛盾。可见，亚里士多德是错误的，轻的东西和重的一样，必然需要时刻有相同的速度，它们同时落地。”

这个思想实验，使得人们认识了自由落体运动的思想精髓。自由落体成为相对论研究的一个专门武器，爱因斯坦据此思考了等效原理。伽利略逝世的那一年牛顿诞生，而其思想一直到20世纪初，依然为爱因斯坦所沿用，并且在1907年灵光一现，发现了等效原理。这有一点九方皋相马的意味，普通人往往跟伯乐的儿子一样，只知道按图索骥。

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抛物线是圆锥曲线的一种，它的非线性性质在混沌动力学中被经常利用到，然后平地起惊雷，说，周期三导致混沌，出现了周期三，其他什么周期都将出现。可见，从抛物线出发，往往能够深入浅出。在教室里斜抛一个粉笔头，它总是画出优雅的舞线。假如没有空气阻碍，其轨迹是一条抛物线。其运动可以被简单分解，在竖直方向上，它是带初速的自由落体运动，在水平方向是匀速直线运动。

一个最简单的计算可以表明，以相同的初条件斜抛出不同质量的物体，其运动轨迹是抛物线，这些抛物线全部是可以重合起来的，因为它们一模一样。不同的质量，相同的轨道，这说明，运动轨道与质量没有关系，它好象是一个内禀的几何效应。

简单的抛物线，用一种返璞归真的语言告诉爱因斯坦，引力，是一种几何效应。

1907年,有人请爱因斯坦写一个介绍狭义相对论的综述文章,写这样的文章,使得爱因斯坦重新全面地审视了一下自己的理论和周围的世界.狭义相对论是在1905年建立的.当时的爱因斯坦依然在伯尔尼专利局,他突然遇见了一生中最快乐的思想--等效原理,"我正坐在伯尔尼专利局的桌旁,突然出现了一个想法,'如果一个人自由下落,他将感受不到自己的重量。'"

换一句话说，引力质量等于惯性质量。爱因斯坦把这个称为等效原理。

物理学家曾经发现了一些等效原理一样的方法来处理问题，比如电学理论中，最让人瞠目结石的一个关于电路的定律，不是基尔霍夫的。它叫“戴维南定律”，用来处理一个等效电动势。其背后的数学，不是瞬间能想清楚的。但无疑的是，等效的方法，极大简化了模型的复杂性质。在某个程度上，爱因斯坦从等效原理出发，建立了广义相对论。当然，比如synge等人就认为，等效原理虽然让爱因斯坦一生最快乐，在相对论建立过程中体现出一个接生婆的伟大智能，但现在，接生过程已经完成，相对论应该体面地埋葬掉这个接生婆。

synge是一位极早期就用几何语言来表述广义相对论的人，内心有一种不被世人理解的苦闷。他的话虽然有点过河拆桥的意思，但动机也是很不错的。因为，凡是懂得等效原理的人，十之八九会以为，一个自由下落的观察者，他所看到的时空总是平坦的。

但几何学家一定不同意。

同时代的人群之中，爱因斯坦是第一个想到等效原理。这个原理使得人们发现了一些引力场不同与其他场论的地方，造成巨大的困难。比如一个人朝太阳掉下去，按照等效原理，在他看来，他没有感受到任何引力，相当于他没有测量到引力场的能量。这明显不同于电磁场的情况。比如电荷，是一个局部的电荷密度的，引力能量有没有局部的密度？这个问题看上去似乎谁都要扪心自问，但寻找它的答案，相对论学者们一度衣带渐宽，但好象是在looking for the right answer to the wrong question。黑暗由此产生，人郁闷了。

引力能量不能在单独一个点上被谈及,因为时空中的一个点不考虑它的邻域无法谈它是否弯曲。准局域（quasilocal）的定义应运而生。德国的Nester是最初的倡导者和专家,这个人现在台湾的国立中央大学。

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爱因斯坦在1907年还没有写出他著名的爱因斯坦方程。等效原理一直是他思想上最闪光的部分。其思想方法类似于拿圆的内接正多边形来逼近圆的周长。但一个人要真正看清楚背后的东西，需要不止一天的时间，正如很少有人能清楚说明圆周率和自然常数之间的关系。为了数学地理解等效原理，爱因斯坦在这段时间内自觉地转向Riemann几何，那里有一些名词，比如联络，克氏符，曲率张量。等他建立起相对论，微分几何学得到了物理学的推动，开始大步发展，广为人知。Gauss时代的几何，总是把曲线曲面嵌入到外部的高维空间进行研究。但宇宙没有外面，于是，相对论天然的要求一个研究内禀几何性质的Riemann几何学，这样的几何对象，不需要外部空间的存在。

可能后来赶上爱因斯坦的相对论潮流的数学家会认为，爱因斯坦的等效原理就是说，在一个弯曲流形上的每一点，总可以存在一个平坦的切空间。（在爱因斯坦当时那个时代，manifold这样的概念还不存在。）数学家用自己特有的方式理解等效原理，让文人墨客失魂落魄。歌德在这方面深有体会，他讲：数学家犹如法国人，无论你跟他们讲什么，他们把它翻译成自己的语言，于是成了全然不同的东西。

在物理上，爱因斯坦的自由下落的电梯是一个理想的惯性系，但它是局部的，在电梯里，引力消失了。几百年前，伽利略的另外一个思想实验，那里有一个从光滑斜面上滚下来的小球，这个小球被伽利略证明能够滚到无穷远处。他的这个思想实验，可以证明牛顿第一运动定律的正确性质，但留给后代的人一个问题，什么叫惯性，什么叫惯性系？这样的问题难有一针见血的答案让所有的人都欣然接受，充分理解。

第二章 一个美丽的椭圆

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1543年，哥白尼关于日心说的工作之后，丹麦的天文学家第谷不太同意哥白尼的观点。他出生贵族，是一个有钱来做天文观测的人士。他开始夜观天象，并且整理了一套杂乱无章的数据。这套数据，最后保留着给了他的助手，一个叫开普勒的人。开普勒一生生活是相当潦倒的，最后还死在讨债途中。他在出版书的时候，据说，第谷的女婿还给他写了一个序文，这个序文有一个特点，是通篇大骂开普勒剽窃第谷的成就。这样子的书是很奇异的。 但开普勒给出了3个行星运动定理。第一个定理是很重要的，认为行星运动的轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点之上。他实际上没有想到，未来会表明，一个封闭的椭圆是一件过于唯美之事，因为根据爱因斯坦的相对论，轨道会有进动，我们不能得到一个封闭的椭圆。第二个定理异常强大，他几乎用肉眼看出角动量守恒定理，说的是行星矢径在单位面积扫过的面积相同。第三个定理，似乎绝对是上帝的旨意，要从一个数的三次方和另外一个数的平方中看到不变量，靠凡人的眼睛，往往不够，说的是行星运动周期的平方和轨道半径的立方成正比。

这三个定理，迫使牛顿得到万有引力定律。它来自于开普勒对数据的千万次摸排。开普勒的视力不是很好，但他的确具备从复杂数据中提炼出物理规律的神奇能力。这往往是一种从天上看到人间的天赋异禀。

他的第一个定理里，开始出现一个完美的椭圆。

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一般说来，一个椭圆是对称的，这样的对称性背后，包含着守恒的物理量。由对称性导致守恒量，是noether的思想，CN.yang认为，这个原理是最基本的，于是，国内讲力学的书开始了一次改革，改革的结果是从对称性开始讲力学。无论怎么样，对称性是美的化身。描述对称性最好的语言是群论。对称性和受恒量有一一对应的关系，这一点，是深刻的。比如，众所周知的结论是，空间是均匀的，所以动量守恒。

什么是椭圆？在数学上，椭圆的定义是在平面上到两个定点之间的距离之和等于定长的点所组成的集合。这个是很清楚的，一般高中生就要学会怎么样画一个椭圆。这是解析几何里的事情。在Fermat和笛卡儿的解析几何里，我们换了一个看法，那就是把一个曲线与一个代数方程等同起来。一个很直观的推广是是我们能不能把一个n维流形嵌入到高维欧空间，然后再把这个流形表达成为一个或者一组代数方程。这样事情nash是做过了。

解析几何带来的一个全新的数学时代。只有当椭圆被放在坐标系里的时候，我们才可以遇见另外的问题，那就是如何计算椭圆的周长。这个时候，我们遇见的完美的椭圆突然让我们崩溃。因为，圆的周长是很简单的，上过学的人全会算，而椭圆周长，上过学的一般不会算。

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计算椭圆周长的问题也难住了牛顿。虽然用牛顿的万有引力定律，可以得到椭圆轨道。但仔细地研究这个椭圆的来历，有一些需要推敲的地方。在经典的力学里，bertrand定理说，只有当中心势是库仑势或者谐振子势的时候，轨道才是封闭的。这个定理是重要的，因为它否认了其他势场里存在封闭轨道的可能性，哪怕是对库仑势的微笑偏离。所以，当爱因斯坦的广义相对论对万有引力的库仑势做修正的时候，在理论上，这个完美的椭圆崩溃了。

广义相对论把这场崩溃当作一个契机。

离太阳最近的行星是水星，那儿的万有引力场强最大，于是人们试图观测水星近日点是否进动，也就是说，人们开始关心水星的公转轨道是不是一个封闭的椭圆。因为假如不是椭圆，我们就知道，水星与太阳之间的万有引力势场不是严格的库仑势。1919年的时候，爱丁顿利用日全食的机会，他领导下的实验证明了水星近日点进动的规律符合广义相对论的预言，这个实验是著名的，因为他极大地支持了爱因斯坦的理论。读到这里，读者应该明白，相对论虽然比较难以理解，但在这个椭圆封闭性问题上，结论是很清楚了。原来，牛顿的万有引力定律，那样美的一个定律，也是不对的。

当爱丁顿做出这个实验的时候，他的心情很可能比爱因斯坦更加激动。有一个说法是他认为自己和爱因斯坦是当时唯一懂得广义相对论的两个人。而当记者问爱因斯坦说，当您的理论被实验证明是正确的时候，您怎么想？爱因斯坦的回答很有意思：没有什么好奇怪的，我不相信会出现别的结果。

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虽然1919年，牛顿理论已经被证明应该被爱因斯坦的广义相对论所取代，但牛顿依然是绕不过去的存在。拿牛顿万有引力定律和库仑定律来比，虽然有点抬举库仑，但马上会发现牛顿的意义有很多。牛顿的万有引力定律，实际上告诉我们，质量总是正的，也就是总是相互吸引。那么，我们如何来解释目前观测到的宇宙，它居然在膨胀，并且还是加速膨胀。对于宇宙的加速膨胀，这里只是暂时提起。但这个问题，构成了21世纪物理学的最大一个乌云。质量总是正的，可能让人想起著名的正质量猜想。有的人会想起1980年代witten和ST.yau对该猜想的的证明。 当然，如何定理质量，在广义相对论中，也是一个具有不止一个标准答案的问题。在这里，我们几乎可以挥别牛顿了。

有一个叫伏尔泰的法国人，曾经研究了一下牛顿，现在过于牛顿和苹果落地的这些故事，多数也是出自他的手笔。伏尔泰是一个能力很强的文科圣手。

1727年牛顿逝世，伏尔泰参加了葬礼。牛顿84岁离开人世，为他抬棺材的是两位公爵、三位伯爵以及大法官。伏尔泰是这样描述的："他是像一位深受臣民爱戴的国王一样被安葬的。在他之前，没有哪一位科学家享受如此殊荣。在他之后，如此厚葬的也将是屈指可数。"牛顿去世后不久，诗人薄柏总结了世人对牛顿的评价，说：自然规则在黑暗里，上帝说，让牛顿干吧！于是一切大放光明。

牛顿不是完人，他在数学上也遇见一些困难。比如他不能求出全部自然数倒数平方之和，也不能积出椭圆的周长。历史朝后面发展，我们发现，椭圆周长只能用非初等的椭圆函数表达出来。而另人惊奇的是，挪威数学家abel证明了五次方程没有代数解答，但有些五次方程的解，可以通过椭圆函数来表出。这说明了数学的各个侧面具有统一性的一面。而相对论在经历了1970年代之后的多年的沉寂以后，面临着一个引力量子化的命运。在量子引力的理论中，椭圆函数等等，全面都浮现出来。所以，这个完美的椭圆，告诉我们不少秘密，盯着一个椭圆看很久，里面全部是秘密。这符合一个佛教的思想：一花一世界，一沙一天堂。

第一章 早期的英雄时代

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历史是淹没在荒烟蔓草间的，当后人回头看历史的时候，尤其能看到一些神话和英雄史诗，虽然模糊不清，但让你感觉到心潮澎湃。相对论一直是地球上最美丽的学问。这一门学问是爱因斯坦创立的。它最根本的看法，是研究我们的宇宙，因为宇宙只有一个，而我们身处其中，于是，很多人难免担心，我们做为宇宙的一部分，能不能认识宇宙。正如你的一个手掌，能不能认识你这个人。这个问题是玄妙的，中国古代的庄子等人也思考过这样的问题，他们有一个很模糊不清的认识，原因是因为他们没有具备一些数学描述。

庄子说，玄之又玄，众妙之门。

宇宙洪荒，是很玄很妙。问题的关键在于如何认识它，很多人的思想在这里汇集。尤其是苏东破的一句诗，被认为可以体现一种思想情操。

他说：不识庐山真面目，只缘身在此山中。

苏先生是一个很大的才子，他的这个诗本身是具有哲理性的。当我们把他运用到这个宇宙的时候，我们就会反躬自问：是否，我们处在宇宙之中，所以，我们无法认识宇宙的真面目。这个问题本身没有唯一的答案，从爱因斯坦说法上，我们可以看到一个自然科学家的态度。

爱因斯坦说：宇宙最不能理解的地方是，它居然是可以理解的。

可知论和不可知这两种论调是人类个体分野的分水岭。但这样分界是不明显的，很多人从来没有问过自己这个问题。很多时候，这样的分类也是缺乏意义的。但，一个事实永远存在，就是一定有很多人，对未知事物充满好奇之心。

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我们仰望星空，俯仰天地。态度决定一切。在认识宇宙，或者说，认识未知世界的道路上，尸横遍地。数学家们，相对于其他的一批人，以其特有的执著和特立独行，来给这个宇宙造一个描述的工具。并且，这个工具是最基本的。数学比绘画和音乐要更加基本。当我得到这个论调的时候，我可以负责任。绘画和音乐，描述世界，但依赖于眼睛和耳朵。而数学，有一个最基本的依赖，它依赖于大脑。有理由相信的一点，是我们地球文明之外的文明，可以没有眼睛，没有耳朵，但他们不能没有大脑。

毕达哥拉斯是一个杰出的古代数学家，他认为，世界的本质是数。

他的说法听起来好象是有点夸张了，但初衷是善良的，不是说他要故意压迫那些非数学家。2，3，5，7……这些的数字，我们称为素数，它们是基本的。人类要向外太空发射信息，寻找其他的文明，一个方法就是朝天空发射“素数”。因为，宇宙的各个角落，要是也有文明的外星人，他们收到这样的信号，会欢欣鼓舞，因为这无疑给他们一个预示。

预示在这个苍凉的宇宙，他们并不孤独。

数是基本的，但广义相对论却更多地和几何学发生了关系，这一点在后面的篇幅中再逐渐展开。当然，有一位得fields奖的同志曾经说过：“我的切身体会是，几何学家是好人。”我们抛去里面的温情脉脉的情感因素，会觉得很残酷，但修正他的话，我们会发现是这样：“我的切身体会是，数学家是好人。”

是的，数学是仰望宇宙的透镜。

在古代的数学家中，有一个人，他让我们知道，寄生在这世上是那么好，这个人的名字是欧几里得。

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欧几里得写的一本众所周知的书，叫《几何原理》。这至少是2000年前的事情了。但中国人看到这书的时候，是在徐光启或者李善兰时代。也就是说，中间有至少1200年的时间差距。我不想查书用来精确表示这些年代差异，是因为我不是搞历史的，也不想过于在一些琐碎的事情上精密无比。

《几何原理》里有五条公理。虽然一般人说不全，但第五条说所有平行直线永不相交。这一条大家全知道，被叫做第五公设。也就是说，有的人认为，这一条，不能做为一个公理，因为它可能可以被其他公理推出来。

为了给外行的人说清楚一些，我们说，《几何原理》是一个大厦，它有五个地基的巨石。但第五块石头，有的人认为，有问题。

爱因斯坦的相对论，与这个问题休戚相关。当然，我不预备在这里做任何数学的证明，通俗的说，我们引用爱丁顿的话：证明是一个偶像，数学家在这个偶像面前折磨自己。

第五公设折磨了一代又一代的人。现在看来，这个折磨已经结束，但其意义非常深刻。欧几里德的几何学，现在看来，就是关于平坦空间的几何学。而真正广泛的几何学，它不但但要处理平坦空间里的情景。Riemann是研究弯曲空间几何学的大师。他很优秀，1854年，他为了在哥廷根大学获得一个讲师的职位，发表了一个关于几何学的演讲，这是开天辟地的一个壮举。下面的听众很多，但据说，频频点头表示赞同人只有一个人，这个老头，名字叫Gauss。

这个故事发生在Riemann为了得到讲师职位的时候，各位一定很奇怪，为什么一个讲师讲的东西在那大学里别的教授全听不懂。这样的现状是存在的，并且是不能避免的，在一所很好的大学，无论是古代还是近代，你都可能有这样的感受：

博导不如教授，教授不如副教授，副教授不如讲师。

这是正常的好大学必须的。当然为了不引起大家的不满，对于上面的评论，我必须指出，研究生不如讲师。因此，我们知道，在当时，Riemann讲师是最伟大的。

Riemann几何的出现，给爱因斯坦的理论，提供了一个先天的数学工具。历史表面，数学物理在这个时候，达到了一个全新的高度。

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今月也曾照古人。这是李白说的。看到月亮，很多人有一些基本的问题，比如说，1640年左右，也就是中国的吴山桂进入历史的时代。英国的cambridge大学有一个叫牛顿的人，他解决了一个问题，按照现代语言来说，是牛顿发现了万有引力定律，从而解释了为什么月球在天空绕地球天马行空地周期转动。牛顿发现万有引力定理以后，我们才真正看到了物理。而相对论，就是研究万有引力的。

牛顿是怀着格物知理理想的数学物理大家。一般的评价说牛顿和爱因斯坦是人类历史上科学巨匠。但牛顿本身，相比爱因斯坦，具有一种由内而外的霸王气概。他的工作显然是划时代的，其情操，也是划时代的。在历史上，他与莱布尼姿和胡克等人有过交恶。同时代的伟人在他面前，全失去了颜色。我们只能由衷得叹上一句：到底是牛顿。

在人品上，牛顿不算是一个谦恭之人。一个人持才傲物，藐视同伦，普通人是做不到了。牛顿的万有引力定律，但这一项，就足够他鹤立鸡群了。何况牛顿有那么多大的发现。盖棺论定得说，牛顿其人，500年不朽，牛顿其文，1000年不朽。1000年以后，世界末日，什么都朽了。我在这里歌颂牛顿，是为了更好地歌颂爱因斯坦。

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物理学也有最初的童稚时代，比牛顿要早，是哥白尼的出现，后者写了一本书，书名叫《天体运行论》，出版是1543年附近。这本书主要说了一个事情，就是地球是绕着太阳转动的。这个是天文学和物理学上的第一个有实际意义的进展，早于康德-拉普拉斯的星云说时代。拉普拉斯是19世纪的法国人，在拿破仑的宫廷干过事情。拿破仑是一个数学爱好者，他曾经有一个拿破仑定理，是很有点意思的。定理的意思是说，任何一个三角形，各边上各作等边三角形，接下来将这三个三角形的重心联结起来，那么就必定是一个等边三角形。当然拉普拉斯的数学才能，远过于拿破仑。拉普拉斯有一个微分算子，这个微分算子的背后是一片汪洋大海，这个微分算子可以被开方，得到dirac算子，dirac算子背后是一片原始森林。算子和谱的理论，极大地推动了数学的发展。也是从算子的谱开始，我们从连续的数学分析走向离散的特征值问题的研究。而离散的性质，恰恰是量子力学的精髓之一。

回头来看哥白尼的工作。他的工作说明，人类第一个较明智的科学看法，不是研究宇宙如何起源，演化，而在于研究太阳和地球的关系。这是一个很务实的进步。就是在现代，虽然有精确宇宙学这样的学问，研究宇宙如何膨胀，如何加速膨胀，但前路漫漫，让不做理论物理的人怀疑，是否目标过于庞大，你们居然研究整个宇宙，把星系当做尘埃？

相对论学者存在一个情节，那算是一个单纯信仰，他们认为，世界可以被还原为一个单一的原理。而凝聚态物理和统计说明，在不同的尺度，我们有不同的物理。比如人类的存在，人类的情感和思维，不是物理学的单一原理可以解释的。统计性和自组织性的出现，使得在相对论学家的眼睛里，这个世界变的高深莫测了。

无论如何，相对论还是一如既往地奢侈和不切实际，因为，它是预备去理解宇宙。

（6）

20世纪之前的所有年代，相对论还没有诞生，我统称它们为“英雄时代”。在这个漫长的时代里，有无数的数学物理两门学科里的英雄人物，这批人中的杰出代表是牛顿。这个时代是一个古典为主的时代。而广义相对论的出现，是这个古典时代的结束。很多人把广义相对论称为“经典的极致”。在字典里，“经典”应该有两个意思，一个是古代的，古典的；另外一个就是优美的，美到可以写进历史之书。这样的美是很少见的，往往在平面几何里你偶然能感受到这样的震撼心灵的美。

在极早期，托勒密认为太阳绕地球转动。他认为太阳绕地球转动，现在看来，也算是没有错误。为什么？因为，机械运动是相对的。谁动谁不动，在牛顿的眼睛里是“相对的”。所以说，按照牛顿的看法，描述地日运动，托勒密的思想是没有问题的，虽然它可能导致一系列不优美的结论，比如导致木星也绕地球转动，那么我们这个太阳系看上去还真是乱糟糟的，一点也不优美了。但托勒密关于圆的内接四边形的一个定理，被认为是天籁之声。这个定理是美的。这样的美的发现，与同时代的屈原对香草美人的发现来比较，我们看到一点逻辑的辉芒。

dirac和爱因斯坦，以及其他的很多人，全是追求美的天才。相对论，恰恰给我们展现了一个逻辑上的美感。

这个美，引得无数英雄竞折腰。

但在这些折腰的人中，不乏凡人。民间科学家在爱因斯坦的理论上也倾注大量心血。在第一章结束的时候，让人不由得产生一种谨慎地崇敬。是的，我们全是一群在朝圣路上踽踽独行之人。

壮美矣！爱因斯坦！！