主题：【讨论】趣味数学题 -- 任爱杰

好奇

楼下老兄提到的几种等价命题并不等价，为了清晰起见，请让我先把原命题在重复一下：已知某同事有两个小孩，男女未知，你偶然碰到他带着一个小男孩，试问他另外一个小孩也是男孩的概率多大？

这里最绕人的地方在于，“碰到一个男孩”和“再生一个男孩”不同，前者和两个已经生好的孩子都有关系，并不是一个重新生一个的独立事件。这里语义上的误导之处在于，两个孩子都已经生好了，所谓“另一个小孩”，并不是再生一个，而是再碰到一个的意思。两个孩子都已经是既定事实了，遇到其中一个是男孩也是既成事实，问的其实是“你”再遇到男孩的概率多少，而不是“他”再生男孩的问题。此处迷惑人的是生男生女都一样的心理定势，诱导人把“遇“的问题看成“生”的问题，于是直接认定了1/2的答案。

因此，一种等价的描述方案是：盲盒中的黑白球。假设有100个白球和100个黑球，随机封装到100个盲盒里，每盒两个。不失一般性，不妨认为随机到了最均匀的结果，我们得到25个装了两个黑球的盒子，25个两亮白球，50个一黑一白。问题变成：拿一个盒子并且取出一个球，发现是黑的，问剩下的那个球也是黑的概率多少？

孩子的情况和盲盒相同，男女是既定的，正如盒子里的黑白球也是既定的，你拿的是盒子，看见的是黑球。这种情况不同于把所有黑白球放在一个大袋子里抽取，也不是先拿一个球再拿另一个。再强调一下，黑白球是已经装定了的，正如男女已经是生好了的。你想知道的是，在已经见到一个黑球的情况下，又在同一个盒子里看见第二个的概率。这就是所谓条件概率问题，条件就是见到一个黑球（男孩），以此为前提的概率问题，不是抛两个硬币或者生两个孩子的问题。

甚至可以再说极端一点，索性拿掉黑球白球（生男生女）的随机性，就直接告诉你，100个盲盒是安排好的，25个两黑，25个两白，50个一黑一白，没有任何随机因素。同事的孩子也是同理。假想你有100个同事，每人两个孩子，当你遇到他的时候，孩子已经确定了，和盲盒的情况相同，25个同事两男、25个两女、50个一男一女，这是既定事实，所谓生男生女的概率到此为止已经结束了，和你遇到男女完全是两个问题。生孩子的概率，是所谓先验概率，生完就结束了，男女就确定了，这个概率和接下来的事情无关了，可以抛之脑后了。100个同事的男孩女孩，那怕就是个个都是自己选性别的，你遇到男孩的概率也只和这个现状有关，即25%两男、50%男女、25%两女这么一种状态，和它是怎么生成的无关，生男生女的概率就不用再考虑了，这个所谓概率实在是误导人的。

好了，现在100个盲盒（同事），你在其中一个里发现了黑球（男孩），这个前提条件究竟是什么意思呢？它意味着你拿到的盒子（碰到的同事）是75个中的一个，而不是全部100种可能，你的样本空间容量从100变成了75，两个白球（两个女孩）的情况被从样本空间中排除了。概率问题的核心是样本空间，所谓概率，就是特定情况在全体样本中所占的比例。“看到黑球（男孩）”的作用是改变样本空间，从而也影响了你下一次事件的概率，所谓你看到下一个球，等价于你在这75个盒子里再次做出选择，25个两黑和50个黑白，并且预先拿掉其中的一个黑球，于是再次发现黑球的概率自然就是1/3了。

最后再强调一次，整件事情可以认为和生男生女的概率无关，只和男女的实际比例状况有关。生男生女的概率，如果说有意义的话，在于形成了男女均衡的状态，三种情况25%-50%-25%，这成为接下来遇男遇女（没有生男生女了）的概率计算的出发点，遇到的男女并非当场生下的，而是事先生好的，所以生男生女的概率到处可以功成身退了。接下来的问题是，本来你不知道自己会遇到这三种里的哪一个，“首见男孩”的概率当然是1/2。但“首见男孩”作为既成事实把情况缩到两种，“又见男孩”的概率需要在这个新条件形成的新的样本空间中重新计算。这大约就是所有争论和歧义的根源所在了。

如果把另外一半“首见女孩”的概率也算一算，也许这个1/3看起来也就不那么令人难于接受了。 “首见女孩”的发生概率无疑是1/2，类似的推理可知，在这个前提下，“又见男孩”的概率是2/3。两者合成，1/2×1/3 + 1/2×2/3，“又见男孩”的总概率仍然是1/2，并没有什么违反常规的地方，不是么。