主题：【讨论】趣味数学题 -- 任爱杰
家园 这个是偷换概念。 实质问题：另一个孩子是男是女，本身是两个选项。
偷换后的问题：两个孩子，是男是女。
问题变了，逻辑推演就变了。然后张冠李戴，指鹿为马，就得出1/3,3/7这样的数据。这不是数学问题，这是哲学问题。
通宝推：任爱杰,- 复 这个是偷换概念。
家园 的确是利用了话术 看楼上的原题
比如新来了一家邻居,我知道该邻居家有两个孩子,但不知道任何关于这两个孩子的其他情况.有一天我出门正看见新邻居带着一个6,7岁的小男孩回家.我们一打招呼,邻居介绍说,这孩子是他的儿子.
我心里默默推算,嗯,邻居家另一个孩子也是男孩的概率为三分之一(对,这不是笔误,三分之一,不是二分之一)
这里的话术是让你认为邻居只选同一个孩子出行。但如果邻居有两个男孩，可以随意选择任何一个同行呢？那么排列组合就成了
B1B2
B2B1
B1G2
B2G1
于是另一个孩子是男孩的概率是二分之一。
如果要严格表达，下面的形式是无争议的：
老王共有两个孩子，都是男孩的概率是多少？答案是四分之一。
老王共有两个孩子，其中一个是男孩，都是男孩的概率是多少？答案是三分之一。
原题的问法其实是故意误导读者。计算就取决于读者对题目的解读了。
家园 看楼下的回复 陈王的回答更精炼
- 复 看楼下的回复
家园 核心问题在于，“第一个”不同于“有一个” 下面的帖子看过了，回答50%的原因在于自觉不自觉地把“第一个”等同于“有一个”了。
陈王的问题在于，这种条件概率问题，当然是要把已知包含在内的，是后验问题，否则不就是把条件排除了，变成先验问题了，两码事啊。
概率问题，可不等于只包含未知因素的问题。
家园 这和表述观测顺序无关 “第一个”还是“有一个”只是描述观测顺序。如果把下面的文字改成
“那么按照这个理论，有一个孩子是男的，其他孩子是男的几率就下跌到三分之一，以此类推，岂不是男孩生得越多，下一胎男孩几率越小？” 意思还是一样的。
关键问题是，“不论是生孩子、掷硬币还是开六合彩，下一次出来的结果都是随机的，是观测者无法控制的。”
原文中两个孩子，一个孩子的性别已知。这是做了一次观测，或者说掷一次硬币的结果已经出来了。但另一个孩子的情况仍然是未知，还没有做观测，等于硬币还没有掷出。借用“薛定谔的猫”佯谬，孩子还处于男女叠加的混屯状态。这时候，当然几率是二分之一。
家园 这个不对 但另一个孩子的情况仍然是未知，还没有做观测，等于硬币还没有掷出。没做观测，不等于没掷出。第二个孩子其实是等同于已知硬币已掷出，但尚未观测。
- 复 这个不对
家园 没有观测等于没有掷出 没做观测，不等于没掷出。第二个孩子其实是等同于已知硬币已掷出，但尚未观测。有人在南极投掷了一百次硬币，当我不知道这个投掷以及结果的时候，这个投掷对我来说是未知的，相当于没有掷出。同样的，十万光年外的超新星是否爆发，在这个事件没有进入光锥之前，对我来说无意义，属于未知事件。
家园 非也非也 没有观测等于没有掷出掷出了，结果就不能改变。扔100次硬币的结果，只能是2^100种组合中的一种。
关键是，有人告诉你，这100次硬币已经掷出，所以你就已经确定一点：结果不会再变。如果此人告诉你，第一次的结果面朝上，你就可以很肯定，余下有2^99种组合。 假如此人告诉你前99次的结果，你也可以很肯定最后一次，肯定是两种可能之一。
超新星那个例子的问题在于，没有人（包括外星人）能确切地告诉你，这个超新星是真的爆发了，跟扔硬币不一样，扔硬币那个人可以从南极打个卫星电话给你，如果你不相信，他还可以拍个视频，做到有图有真相。
这个是已知和未知的区别了。
家园 已经掷出了 已经掷出了-*已知*第二个孩子已经出生了。
如果第二个孩子还未出生，那么概率的确是二分之一。这种情况下*已知*的是 所看到的小孩是长子。
所以已知条件是不一样的。
- 复 已经掷出了
家园 那么设想一下这个情况 有人买了五十年的六合彩（一星期2次，一年104次，五十年5200次）。由于某种原因，他直到五十年后才有机会对奖。这时候他以前买的所有奖券都已经开奖并能查到结果。但对于他来说，所有开奖结果仍然是未知。所以当他开到5199次都没中奖，下一次中奖的概率就大到基本上铁定中奖了？
更进一步推论，由于现在可以查到过去五十年所有六合彩的开奖结果，所以某人可以假装买了五十年的所有六合彩，并说自己都输了，然后去买下一期的六合彩。于是这位下一次中奖的概率就大到基本上铁定中奖了？
通宝推：孟词宗,家园 如果已知那么多彩票里至少有一个有奖的话 确实是。
另外如果开掉的废票都是”前面五千“的话，那就跟我们这里说的”老大是男的“一样了，还是二分之一（或者彩票该多少就是多少）。如果开票的顺序随机的话，那剩下的票中奖的几率就是要高一点。
设每张票中奖几率万分之一，买五千张。买到至少一张中奖票的几率为1-0.9999^5000=0.3935 (约等于1-1/sqrt(e) )。在这五千张票中开了4999张，假设都是废票，那么剩下那一张中奖的几率就是0.3935。其实你可以算一算，5千中开4999张票都是废票的几率（0.6066），接近1/sqrt(e)。前面这两个几率相加不是1。但如果是5千票开出来5千张废票的话，那么两个几率相加就是1，意思是这些票中奖或者不中奖的几率是1，这个毫无疑问。
设每张票中奖几率五千分之一，还买五千张。买到至少一张中奖票的几率为1-0.9998^5000=0.6322 (约等于1-1/e)。在这五千张票中开了4999张，假设都是废票，那么剩下那一张中奖的几率就是0.6322。5千中开4999张票都是废票的几率是0.9998^4999=0.3679，接近1/e。
设每张票中奖几率n分之一，买mn张，其中m和n都是整数。买到至少一张中奖票的几率为1-（1-1/n)^mn。当n很大时约等于1-e^-m。在这mn张票中开mn-1张，假设都是废票，那么剩下那一张中奖的几率就接近1-e^-m。mn张票中开mn-1张票都是废票的几率接近e^-m。
所以如果票数足够多的话，大概率会不到最后一张就抽中了。不过要是真的前面全挂了那最后一张中奖的几率就是要大很多。
但是再买下一张的话，几率还是万（n）分之一。
家园 生孩子的奖池是无限大的 你自己也说了，只有确知5千张彩票中有中奖的才有意义。问题是，并没有这个保证啊。同样的，第一个是啥性别，对于下一个孩子是啥性别是没有影响的。也就是说，下一个孩子的奖池是无限大的。
顺便说一句，我举的例子中，每张彩票都是出自不同的奖池。这和生孩子情况是一样的。所以不能套用你说的公式。每次抽奖的几率是独立的。
简化的模式就是，已知总共要掷十次硬币，已掷九次面朝上，问第十次投掷字朝上的几率是多少？答案很简单，仍然是二分之一。
家园 你说的简化模式确实是1/2的几率 但是这个模式不能套在我们的情况上。
十次硬币，已知有9次向上（不一定是“前”9次），那么剩下的一次（不知道是哪一次）的几率是向上1/11，向下10/11。因为剩下的可能性是“都向上”1种，和“一个向下其余9个向上”10种，共11种。这11种情况是等可能的。
如果像你说的那样，“前9次”都向上，那第十次肯定是一半一半。因为这时排除了“向下的那个在前9次出现”这9种可能。这个是帮助你理解的关键。这也是为什么原帖中，弄清了看到的男孩是老大之后另一个孩子是男孩的几率变成了1/2。
家园 错误类比 楼主的前提是已知有两个孩子。这个就是所谓全集。两个孩子的所有可能性是四种。当观察到一个男孩后，全集中女女的概率已知为零。那么其他三种的可能性变成三分之一。
你的例子如果已知5200次就是六合彩的全集，那么你的结论是自然的。很显然六合彩的全集是每年不同的。