主题：考考你的文化素质（高难） -- 水西残梦

你对M(t)的定义是什么？

我对（2）的定义是：长度无限接近0的那段铁链在接触桌面的一刹那速度由v减到0时对桌面的力

这段铁链的质量是M=(m/L)Vdt=(m/L)(gt)dt。接触桌面的一刹那速度减到0时的变速是v=gt。所以d(MV)=(m/L)(gt)^2dt, d(MV)/dt=(m/L)g^2*t^2。这项里的g来自这段铁链的速度，和这段铁链的重力无关。

自然a+a的平方也等于a+a

问题在于这里的“平方”未必是你所理解的平方。初等代数里的平方只是这里的一种特殊情况。所以虽然你把R当成非空集并考虑初等代数里的平方结论能成立，但是这并不意味着在一般情况下能成立。

首先得到的结论是对于任意a，a+a=0。然后才由此推出0 can be written as a+a

您不必气馁，这些都是专业级的问题。

不久以后我会准备一份更全面的、正常难度的题。

当然不是现代意义上的演员。就像我们说孔子是教育家，并不意味着他像现代教育家一样在学校里拿工资吃饭。

在回答第一问时我们能否用(a+a)^2=a+a来进行证明？回答是可以用，但不能直接用。

对于集合中任意两元素a,b(a,b∈R)，a+b不一定属于此集合，举个例子，R＇={1,3,6,7,9}，使a=1，b=1，则a+b不属于R＇，同理，在R中a+a有同样的风险。使我们避开这个风险并进而能使用(a+a)^2来进行证明的是题中另一个条件：R是一个环。环中任意两元素进行“+”、“*”操作是封闭的，也就是说经过“+”、“*”后所得到的值仍在R内（a,b∈R,a+b∈R ∧ a*b∈R）。环的这个性质保证了此题中a+a∈R，我们也就能够往下证明。

如果不给出上述的说明您的答案是不完整的。我最开始提出的答案也是不对的，想得太窄了，能用a+a+a表示的元素个数可以不只为2，“环中所有元素”是正确的。但我现在能想到的元素个数大于2的情况仍要以“2为域”做基础。学的那些数学课放了好几年了，啰嗦这些话很可能有错，欢迎您和河友不吝指出。谢谢您的耐心交流

在环里面，加法是封闭的，所以a+a一定也在环中。

您说的有道理。不过，专业级别的证明一般都会跳过这种比较简单的步骤，呵呵。

再次感谢

时间t时桌面上铁链的总质量。它的动量在时间dt内是d(M(t)*V(t))。你的M从0到t的积分就是M(t)。

如果M(t)=时间t时桌面上铁链的总质量，但是这段铁链的速度是0，所以动量也应该是0。

在dt时间内接触桌面的那段铁链的动量我觉得应该是V(t)dM(t), dM(t)=(m/L)V(t)dt，而不是d(M(t)V(t))。

在学校里面拿工资的是教师

况且孔子一样拿学生报酬的，不是国家发的而已，算是私立。