主题：223-Sarah Hart：数学符号来自哪里？ -- 万年看客

https://www.youtube.com/watch?v=Edewyp87W-Q&t=1608s

1977年，旅行者号太空探测器发射进入了太空。探测器上有一张黄金唱片，包含着大量有关人类文明的信息，例如行星地球的景色，人类的外形，地球的位置，各种各样的文化产品，例如从巴赫到其他作曲家的音乐，人类的声音，以及上百张图片。根据计划，这个探测器将会穿过太阳系，进入更广大的银河系。或许有一天，外星文明会发现这个探测器，他们将会想要要了解创造这些物件的种族是个什么样子。我们想要传达给外星人的重点信息之一就是我们位于哪里，我们看上去什么样，我们的行星什么样。但是究竟应当怎样与外星人交流？他们肯定不知道我们用什么符号，不知道我们的书写体系，不知道“我们距离我们的恒星足有9300万英里”这句话是什么意思——英里是什么？因此我们的第一项任务就是告诉外星人我们如何描述数字。

画面上这张图片是黄金唱片上的第三张图片，提供了大量关于我们的数学体系的信息。可以通过这张图片了解到我们如何描述数字。先看第一行，一个点是1，两个点是2，三个点是3。数字后面的水平线与竖直线是这些数字的二进制形式。我们一般用1和0来表达二进制，我们的计算机使用得就是1和0。但是一边使用1和0一边定义1和0并不合理，所以我们这里改用了横线与竖线。我们的外星朋友能在图片上找到很多有助于理解数字符号的线索。例如5这个符号对应五个点。数到10的时候，出现了最初的进位表述方式：1与0搁在一起就代表一个10。图片右手边描述了12与24的表述方式。再接下来图片解释了我们如何表示指数：100等于10^2，也就是10乘以10。再接下来了示例定义了加法、分数与乘法的表达形式。通过这些基本符号，我们就可以表达我们需要表达的数字。至于量度单位，我们用的则是外星人也肯定理解的自然常数，例如光的波长，例如氢原子的尺寸——我们不会在外星人面前使用英里之类的单位。需要指出的是，我们展现了分数，但是没有展现小数。我怀疑这是因为一个小点儿很容易被视作唱片上的瑕疵或者损坏，所以分数用起来更加安全。

我之所以要给大家展现这张图片，为得是让大家意识到，我们想象中的外星文明肯定也会有自己的数学符号。他们用来计算乘法与加法的符号肯定和我们的不一样，但是基本数学规则肯定一致。无论使用任何语言任何符号，终归要数123456。本次讲座的主题是数学符号的渊源。你或许会问：“这有什么关系？无论用什么符号，数学规律反正都一样。”对于这则质问的回答是：“话是这么说，不过……”数学由有意识的人类进行，他们选择的符号会在很大程度上影响具体进行的数学类别。有些符号选择几乎在无意间妨碍了我们的进步，另一些则允许我们踏上了全新的路途，取得更多进步。接下来我们会看到许多两方面的例子。

不过在正式开始之前，我们要注意到这张图片上除了数字之外还有另一个我们还没有讨论的符号。这个符号对于数学来说看上去如此基本，以至于我们全都视而不见。但是这个符号的发明时间要上溯到都铎王朝时期的英国，发明人于1510年出生在威尔士的滕比，名叫罗伯特.雷科德（Robert Recorde）。正是此人发明了等号。你可能认为等号是数学天然具有的一部分，这么基础的符号不需要人来发明，但其实却是由雷科德于 1557年率先发明的。如今旅行者号已经飞出了太阳系，在这台飞进外太空的小小机器上搭载了一张唱片，上面记录了一个几百年前都铎时期英国发明的符号。我喜欢这个想法。这张图片上的其他数学符号的源头接下来我们都要讨论。另外还有一点：如果你喜欢语言，对语言感兴趣，这些数学符号的语言也可以告诉我们这些符号怎样流经不同的文化来到我们面前。比方说有些符号源自印度，穿过阿拉伯世界来到西方。在这方面我们可以找到各种神奇的故事，就好像进行数学史考古一样，以此来理解理念在世界上如何传播。这是一个非常吸引人的概念。

我们首先来讨论一下数字。自从书写体系最早出现以来，数学书写体系就跟着出现了。画面上这块泥版属于巴比伦中期，距今3000多年。我们可以用刻笔在泥版上写下符号。这块泥版上写得都是数字，分成左右两栏，看上去不太容易看清，所以我重新又描摹了一遍，写的大一点。画面左边的表格是泥版的上半部分，右边是下半部分。先看左边，只要稍微研究一下就能看出，古巴比伦人用倒三角下面加一根竖线表示1，两根这样的小棍是2，三根小棍是3，以此类推。到了7的时候就有点麻烦，必须要数一数有几根棍。8和9依然是堆小棍，然后突然出现了一个怪东西。想想用手指数数，数到10的时候两只手就占满了，所以这个看上去好像双掌张开的符号就是10。然后加一根棍是11，加两根是12，等等。那么第二栏记录了什么？可以看到第二栏第一行是9根小棍，与与第一栏第一行的1 对应。第一栏第二行是2，第二栏第二行则是一个10的符号加8根小棍，代表18。2对应18，3对应27，4对应36——这是一张记录在3000年前泥版上的乘法表。

最底下这一栏可以进一步告诉我们巴比伦人怎样书写数字。第一栏第七是7，但是第二栏第七行却是四根排成一列的小棍——照理说这里的数字肯定不是4，而应该是7乘9等于63。实际上这个符号就是63，因为巴比伦人用的是六十进制。我们用的是十进制，十而百，百而千，千而万。巴比伦人用六十进制，所以第一根小棍是60，后面留一点空间，再用三根小棍写一个3，这就是63。这套书写形式相当高效，但是有点问题，比方说如果你只想写60该怎么办？你不能留下空白，因为空白后边什么都没有。所以如果看见单独一根小棍，必须倚靠语境来推断这是1还是60。这个体系就有这么个问题。但是这套体系确实很有用，也确实被应用了很久。

再来看看其他的早期数字体系，比方说古埃及人怎么做？他们不需要关心空白，因为他们为10的每一次方都设计了一个符号。举个例子，来看看画面上这个数字：一朵莲花代表1000，两盘绳索代表200，三块瓦片代表30，四块砖头代表4，所以这个数字就是1234。有了这么多符号表示十进制的各个数位，自然不必担心空白，不会有任何含混之处。下面两个数字读一读就能看出是什么。先看第一个数字：四根食指代表40000，接下来没有代表千位的符号，但是有九盘绳索与五块砖头，所以这个数字是40905。第二个数字是四盘绳索、九块瓦片与五块砖头，所以是495。这也是一个说得过去的解决方案，但是写大数实在太麻烦了，写着写着就得停下来数符号。

还有很多不同的系统。古代中国的数字系统也是十进制，但是他们解决了符号过多数不过来的问题，因为他们区分开了表示数位的符号与表示数字的符号。如果你想写400，那就先写一个四再写一个百。再来看看古希腊，画面上展现的并非他们的第一套数字系统，但是依然非常高明，也就是用希腊字母来指代数字。这套字母体系用来书写小数字确实很高效。1到9是希腊字母表的前九个字母——这里的字母表其实也是早期形态，比方说在 ε与ζ之间还夹着一个ϛ。α 是1，β是2，γ是3，以此类推。到了10的时候，10、20、30一直到90也各有一个字母来表示，也就是字母表的下一行。再往后又有100、200、300直到900，用字母表的第三行表示。根据这套体系，444就是υμδ。这套体系写小数很方便。但是你要想写1000073怎么写？那就没字母可用了。就算当年的字母表比今天还多几个字母，依然很容易就会用完。

那他们为什么没有意识到数位体系多么方便？希腊人并不愚蠢，他们很擅长数学。我认为问题并不在于他们没想过这一点，而是因为他们并不像今天的我们那样使用书写数字来计算。他们不需要开发这套技术，因为他们计算时用的是计数板。就像日后的罗马人一样，他们有计数板与算盘之类的工具，我们有考古证据表明他们当年如何算数，例如存世至今的萨拉米斯石板就用一道道凹槽来显示数位，从最高位的塔兰特依次往下，依次是迈纳、德拉克马与奥波勒斯，六个奥波勒斯等于一个德拉克马。石板上还显示了分数形态的奥波勒斯。文献当中也记录了计数板的用法：计数板上会摆放许多小石子，代表不同的数值。公元前二世纪的历史学家波力比阿说过：“君王身边的廷臣就像算板沟槽上的算筹。根据清算者的意愿，它们的价值或许超不过一个卡尔盖斯”——卡尔盖斯是奥波勒斯的八分之一——“又或许足有整整一个塔兰特。”——一塔兰特相当于288000卡尔盖斯。所有人都知道他这段描述是什么意思，因为所有人都知道计数板的用法。罗马时期的情况也一样。谁都不会用罗马数字做乘法。他们也会使用计数板与小石子。这些石子算筹的拉丁语名称是calculi，也就是calculate/计算与calculus/微积分的词源。罗马人并不会费心思考MDXCVII乘以XVL应该怎样表达。此外许多拉丁语习语也表明了罗马人怎样使用计数板，比如“Vocare aliquem ad calculos”，既“与某人结清欠账”，字面意为“将某人叫到计数板面前”。就这层意义来说，他们并没有被冗繁的数字所束缚，但是他们确实因此而耗费了更长的时间来发展进一步的计算技术。

这是古人们用过的一部分数字系统。那么我们今天使用的数字从哪里来？它们来自印度。我们无法确定具体日期，因为我们找到了很多难以考证时期的手稿，而且手稿的材质很可能比上面的文字更加古老。但是我们确实认为在印度最早出现了早期的婆罗米文数字系统，首先是从1到9，然后10、20与30等等也有各自的符号。然后后一组符号逐渐被抛弃，仅仅保留了1到9。更重要的是，他们设法解决了巴比伦人面临的问题：在公元后的最初几百年，他们发明了数位符号。一个圆点被用来占据数位。比方说你想写105，想要将其与15区分开，那就必须表明105当中的十位数没有数字。在计数板上只需将十位留空，但是你要写下来的话就必须用占位符号来避免混乱。古印度人用一个圆点来占位，这个点后来变成了0。0一开始只是一个占位符号，本身并不是数字。但是后来0的确逐渐被当成了数字。例如公元730年前后的印度数学家婆罗摩笈多就规定了怎样对待0。根据他的定义，“任何数字减去自身即得到0。”从此开始，0与其他数字得到了一视同仁的对待。我们花了很长时间才走到这里。

既然是印度发明的数字，为什么我们称之为阿拉伯数字？因为这套数字体系并非直接从印度流传到西方。阿拉伯数学家阿尔.花拉子模在公元九世纪将一批梵文数学典籍翻译成为了阿拉伯文，其中就包括婆罗摩笈多的著作。阿尔.花拉子模发现了这些符号以及如何用它们来计算。这些符号的意义不仅在于其本身，还在于它们代表了全新的计算方式，不需要计数板或者算盘。于是这些符号都被纳入了阿拉伯数学。阿尔.花拉子模写了一本书来介绍这些新符号与印度数学。此外他的著作还涉及了怎样解决今天我们所谓的代数问题。这本著作的书名《Hisab aljabr wa'l-muqabalah》当中的aljabr正是algebra/代数一词的词源。Al-Khwarizmi/阿尔.花拉子模本人的名字则成为了algorithm/算法一词的词源。他对于数学的影响很大，对于西方数学的影响尤其大。他将这些印度数字翻译成了阿拉伯文，以此开始——倒未必是他的著作直接流传到了西方——阿拉伯世界与意大利等地的商人与贸易者们在贸易路径上互通有无，后者学到了这套新数字，发现它们非常高效，可以直接用来计算。这是了不起的新兴技术，可以用来替代算盘与计数板。这些技术的传播诚然离不开贸易路径。《Hisab aljabr wa'l-muqabalah》一书被翻译成拉丁语并且在西方出现的时间其实要远远早于印度数字在欧洲流行起来的时间，后者都是托了贸易的福。

传播新数字符号的主要人物之一是比萨的列昂纳多，他今天更加广为人知的称呼是斐波那契。他的父亲是个商人，在经商期间学到了这些新数字符号，学会了如何利用这套符号表达任何数值并且直接开展计算，而不需要使用计数板或者算盘。斐波那契在1202年写了一本《算盘全书》，我引用几句书中原文：“以下是9个印度数字——9、8、7、6、5、4、3、2、1”——这大概是他在阿拉伯语译本当中看到的排列方式，因为阿拉伯文从右往左读，所以这里的排序其实是升序，而他也将这个顺序保留了下来，尽管有些反直觉——“凭借这九个数字以及符号0”——0在这里还没被视为数字，而是与数字并列的另一种符号——“阿拉伯人将这一符号称作Zephyr”——zephyr也是日后cipher/密码一词的词源——“凭借这九个数字以及符号0，也就是阿拉伯人称为Zephyr的符号。我们可以随心所欲地书写任何数字。”

这些神奇的符号让你写下数字之后就可以进行计算，不需要算筹。但是并非所有人都立刻接受了这项新技术，相反很多人都对其加以抵制。新符号花了很长时间才得到普遍接受。如果你觉得原本的符号就挺好，你朋友也觉得原本的符号就挺好，你们相互信任，都习惯于使用原本的符号来清账结账，那么你们俩必然要耗费一段时间才会信任新系统。直到1299年，佛罗伦萨市议会还禁止在金融账目当中使用印度-阿拉伯数字，必须用词语写下账目数值。这一禁令的主要理由在于印度-阿拉伯数字太容易遭到篡改，例如0只需要添一笔就很容易改成6或者9，极大降低了做假账的难度。这就好比今天我们签支票的时候也要写下完整的文字。印度-阿拉伯数字花了点时间才得到接受。许多木版书都介绍了如何运用这些新数字。例如画面上这张版画就是拟人化的算数之神，她的目光充满嫌弃地投向远方，对于身边的计数板不屑一顾，手中拿着一套全新的印度-阿拉伯数字，显然这才是前进的路线——从1到9，然后还有100、200与300等等。尤其值得一提的是0，在长达几世纪的时间里，0受到了很大的怀疑，甚至直到莎士比亚的时代人们对待0的态度依旧充满戒心。在《李尔王》当中，李尔王失势之后被他的弄臣嘲笑：“现在你变成一个孤零零的圆圈圈儿了。”离开其他数字的0什么都不是。如果0与其他数字搭配，那么它还有本事将1变成10，但是0本身不是数字。这个观点存在了很久。甚至直到代数兴起之后，直到人们已经开始进行复杂代数计算，需要求负数的平方根的时候——这个概念已经比0复杂多了——他们依然不喜欢0，甚至不喜欢负数。

我们看到了当今数字符号的由来与得到采用的过程，但是还有很多其他数学符号值得讨论。之前我们谈到了等号，等一下我们还要继续谈谈罗伯特.雷科德。眼下我们先来看看代数。最早的代数就是所谓的修辞代数，一切都要用言语来表达。早在巴比伦时期，人们就开始思考代数问题：“一块地的长度与宽度相加等于这个数字，相减等于那个数字，求长度与宽度。”举一个特别优美的例子。印度的梵文传统惯用诗歌表述代数问题，很多数学家都兼职诗人与天文学家，三者在智识层面均为一体。画面上这首诗出自公元十二世纪的数学家婆什迦罗之手，记载于他的著作《莉拉沃蒂》，他将这本书献给了自己的女儿：

“蜂群纷纷，琼浆采集，

五一之数，团花栖息；

丝琳达花，三中有一；

两群之差，以三倍之，

库塔迦花，纷纷飞去；

尚留孤蜂，独爱茉莉。

蜜蜂数目，谁知端倪？

美丽少女，可解此题？”

这是对于一道代数题的诗意描述，解题答案也是用词语给出的。这的确是代数，但是代数符号还没有出现。从修辞代数到符号代数的演化还有一道中间步骤，即使用若干缩写来方便计算，被称作省略代数（syncopated algebra），并不完全抽象，但是的确正在朝着抽象的方向迈进。这方面的代表人物是公元三世纪的希腊数学家丢番图，他撰写了《代数学》这本重要著作。当初费马正是在一本《代数学》的空白处写下了臭名昭著的名言：“我想到了这条定理的完美证明方法。可惜空白太小写不下。”由此可见《代数学》被使用了好几百年、堪称早期数学的卓越成就。丢番图在书中使用了不少缩写与一两个运算符号——例如减号——但是基本上还是词语为主。这里有个问题：这本书用得是希腊语，而古希腊人表示数字的符号都是希腊字母，所以同时还要用字母来表示变量就非常麻烦。比方说，丢番图想要研究平方与立方，这两个问题都与几何学瓜葛密切，因此一说到平方就会想到正方形的边长，说到立方就会想到立方体的边长，但是这一切依然要倚靠文字来表述。如果你想写下指代立方的缩写或者符号，而立方一词在希腊语中是Kubos，首字母是κ，但是与此同时κ又意味着20，这一来难免造成混乱。又或者我们可以使用Kubos的前两个字母来作为缩写，但是问题依然存在，因为κυ也可以指代20400。这一切都太容易混淆了，同一套字母既代表数字也代表其他意义，以至于数学表达非常不顺。这也就解释了为什么省略代数并没有推广开来。因为同一套符号要的任务过于繁多。当年人们的办法是把υ写在κ的头顶上，以此表示立方。

因为这些问题，使用缩写并不比使用文字描述好到哪里去。用语言描述代数的做法又持续了一千多年。符号代数的开端是文艺复兴时期的意大利。率先推行符号代数的先驱是吉罗拉莫.卡尔达诺，此人于1545年出版了《大术》一书，在其中解释了如何解决一元三次方程。我们在学校里都学过一元二次方程的解法，三次方程解起来要困难一些，但他还是研究了出来。其他数学家研究过三次方程的部分解法，并且经常因为谁最先想出了哪种解法而起争执，但是一般解法的确是卡尔达诺在1545年最早提出的。这无疑是一项了不起的成就，尤其因为我们要意识到他不仅不喜欢0，而且不喜欢负数。我们现在解三次方程的第一部就是将全部算式移到方程左边，让方程右边等于0，但是此时等号还没有得到发明，而且卡尔达诺也不喜欢0与负数。他甚至都不会把方程写下来，只会用词语描述什么什么等于什么什么。根据这种计算方式——再说一遍，以下只是方便大家理解的举例，不是卡尔达诺当年用过的写法——x^2+ax=b与x^2=ax+b并不被视为同一类型的方程，而是被视为两类方程。这还仅仅是二次方程，如果要解三次方程的话，可以想见像这样强行划分的方程类型只会更多。于是解方程所需的语言描述自然就变得愈发冗长起来。尽管如此，他还是将三次方程解了出来，哪怕他不乐意使用0与负数，更不用说-1的平方根之类的虚数。卡尔达诺在解方程时高度依赖几何学，因此想要解决更高次方程——例如四次方程——变得非常困难，因为三次方程总还可以对应三维空间的几何体，但是四次方程却根本没有几何对应物，毕竟四维空间并不存在——现在我们的想法与他那时候不太一样，现在我们怀疑四维空间确实存在，但是更重要的是，如今我们并不坚持四次方程必须与特定几何形态扯上关系。尽管卡尔达诺确实取得了非同寻常的成就，但是他的术语与思考模式已经走到了尽头。

下一阶段，我们有了一两个源自缩写的数学符号。这一阶段的代表人物来自德国，例如十六世纪的米歇尔.施蒂费尔与克里斯托弗.鲁道夫，后者发明了专指未知数的术语Coss。鲁道夫的著作《Die Coss》的字面意思就是寻找未知。这本书在英国的译名则是《Cossic Art》。施蒂费尔则是第一个在印刷品当中使用加减号的人。在此之前，二次方程的的表达方式如下：1Zp.5Rm.6——至少在这一阶段我们有了不会与其他符号混淆的数字符号。具体来说，1个未知数zenzus（Z）加上（p）5个基数或者说未知数的根（R）——这种写法在无意当中已经排除掉了许多可能性，根本不允许我们去思考二次方程或许会有一正一负两个根——再减去（m）6。随着时间推移，《Die Coss》有了不同的版本，同一个算式又有了新的表达方式：1Q+5N-6。这种写法显然更易于现代读者的理解，因为数字与运算符号都很清楚。但是一眼看去我们还是看不出来Q与N有关系，所以这种写法依然不太符合我们的直觉。在进步的下一阶段，算式的写法变成了1AA+5A-6，这样一来算式里终于只剩下了一个同时以平方与一次方存在的未知量，而且也没有排除A可能是负数甚至虚数的可能性。这种写法的可塑性要强得多。

在继续介绍下面的内容之前我要提一句德国在同一时期的其他进展：现代的平方与平方根符号也即将出现。但是表示立方根的符号依然非常糟糕，是一道拐三拐的折线。那么四次方根的符号莫非是拐四拐的折线吗？不，只拐两拐，因为四次方根是平方根的平方根。如果要表示12次方根，那就是平方根的平方根的立方根，那么折线应该拐五拐吗？可是又要怎样与5次方根区别开来？正是这样的符号导致数学无法进步，因为从根上就没法讨论n次方根。而好的符号则可以开辟进步的路径。

我们先来看看指数符号的发展。率先设计指数符号的数学家是拉斐尔.邦贝利，时间是1579年。刚才我们已经看到，在指数符号出现之前，一次方是A，二次方是AA，三次方是AAA。由于人类都喜欢偷懒，很快我们就开始询问能不能直接用数字将A的次方数记录下来，这就是邦贝利的目标。不幸的是，他这套符号掩饰了未知数的存在。他曾用整页的篇幅来介绍这套符号的用法：4uia7fa11。这个算式并不是说4+1=11。数字底下这条弧线代表未知数，所以这个算式其实是 X的4次方乘以X的7次方等于X的11次方——计算同底乘方数相乘的时候要将指数相加。但是这套体系依然不允许你实现日后的许多运算。这当然不是邦贝利的错误，这套体系完成他的目的已经足够用了。但是这套体系的未知数不能用字母表示，那么假如有两个未知数要怎么办？假如你想讨论坐标系的X轴和Y轴，假如你想在坐标系上画一条抛物线，那又该怎么办。这套符号无法实现这些需求。

万幸的是，接下来有了一位笛卡尔，他在1637年出版的《几何学》为我们提供了指数符号。这本书的数学表达方式已经非常现代了，出现了a^2，a^3，“ainsi a l’infini”（以致无穷）。另一个关键点在于笛卡尔摒弃了立方数必须与立方体相关的概念，而是将二元高次方程视为存在于二维空间的弧线，两个变量之间的关系可以画在平面上。这一思路使得人们可以写下Y=X^5，不需要思考五维空间是什么样，并且就像卡尔达诺那样因为五维空间的概念“不自然”就将Y=X^5弃之不顾。笛卡尔对于数学符号体系的另一项贡献在于他确立了从字母表末尾寻找变量符号——xyz——从字母表开头寻找常量符号——abc——的惯例。我们上学的时候写下ax^2+bx+c=0这样的方程，这个惯例就源自笛卡尔。

将曲线视作两个变量之间的关系，这一理念为微积分打下了基础。在这里我暂且不讨论微积分，只是花一分钟来看看当年牛顿与莱布尼茨曾经使用过的微积分符号。我们知道，这两人当年争执得不可开交，都坚称自己率先发明了微积分。在我看来，牛顿的符号体系并不如莱布尼茨的体系合理。假如按照牛顿的写法，就要在变量X头上点点。点一个点意味着进行一次计算，两个点意味着两次。你要想进行八次计算，就得在X头顶上点八个点，接下来你还要数清楚一共点了多少个点，可能会少点一个或者多点一个，非常不方便。而莱布尼茨的体系仿照了分数的写法，非常适宜表达微分与逆运算积分的运算。好比说你要进行八次微分，那就写一个8而不是点八个点，有必要的话你还可以直接写个N来表示进行N次计算。包括我在内的许多人都会认为莱布尼茨的表达方式更高级，尽管牛顿也并非没有用武之地，

由此可见，某些特定符号的发展能允许新思想的出现，就像苗圃一样滋养新的概念。一旦我们有了X的n次方这个概念，自然就会想到以下问题：自古以来n都必须是正整数，例如2或者3，那么n能不能是非整数，比方说1/2？我们知道，X的平方根乘以X的平方根等于X，或者说X的平方根的平方等于X，那么根据指数运算的规则，X的1/2次方就应该是X的平方根。这样一来，我们不仅更加深入地思考了原本的数学概念，还扩展了原有符号的应用范围，并且最终引向了对数的发明。最初的新符号只是为了略微方便计算，后来却开启了全新的思维领域。我引用一句恩斯特.马赫在1895年的言论：“数学学生很难抛弃这种令人不快的感觉，即他本人手中的铅笔写下来的科学超过了人类智力所能理解的极限。”你想出了一套符号与全新的解释，然后这套符号就引领你走向了各种新理论与新问题。这也是数学令人不安的美丽之处之一。

我再多介绍一点关于我们使用的数学符号的轶事，我们使用的语言与符号可以怎样告诉我们某个数学概念的起源。我们知道现代数字起源于印度，而且印度还另一套数学理念的起源，也就是三角学。比方说英语的正弦一词Sine是怎么来的？画面上这位弓箭手会告诉我们答案。印度数学用梵文写成，而正弦是非直角的斜边与对边的比率。我们不妨想象弓箭手将弓拉满时的弓背是一段圆弧，而箭杆与弓弦的夹角θ则是拉满的弓弦与静态笔直弓弦的比率。因此正弦的符号就是梵文中的弓弦一词jiva。这是正弦一词的最早起源。就像数字一样，这个词也流传进入了阿拉伯世界，但是阿拉伯语当中没有现成的正弦一词，因此译者们只能照搬了jiva这个词，于是正弦在阿拉伯语当中就成了jiba。随着时间推移，jiba又演变成了jayb，除了正弦之外还有空腔的意思。再然后阿拉伯文本传到西方被翻译成拉丁语，而空腔在拉丁文当中是sinus，流传到英语里就成了Sine。这个弓弦的比喻穿越了这么多语言才来到我们面前。

我想再讨论一下罗伯特.雷科德，因为他很了不起。他是都铎时期的数学家，生在1510年，他主张清晰解释事物从而方便人们的理解。他用英语而不是拉丁语写了好几本书，其中有一本名叫《砺智石》，既通过做代数来磨砺头脑。他很重视解释事物，好让政治决策者们能够基本理解科学与数学——想必我们都同意这一点至今依然是我们面临的严重挑战。他曾经说过：“多么可悲啊，如果法律的执行者与制定者如此欠缺科学知识——而科学正是法律的关键——假如他们缺乏评价法律的真正知识，那他们怎么能够制定或者维持良善的法律？”他在《砺智石》当中首次用英语解释了很多代数运算规则。他阅读了施蒂费尔与鲁道夫的作品，也阅读了拉丁语、德语、意大利语、希腊语以及阿拉伯语作品，从所有这些语言当中挑选了最合用的数学术语引入英语当中。要是没有合适的现成词汇，他就自己编一个。正是他首创了二项式（binomial）与通约（commensurable）这两个词。

不过另一方面，我也实在忍不住提到几个由他发明但是没能得到广泛接受的词语，比方说负数被他称为可笑数（absurd numbers）——可见长久以来的偏见尚未消失；双重线（gemowe lines）也就是平行线——他选择用一对平行线作为等号，因为没有任何东西比平行线更加相等，所以他才会在《砺智石》当中首次使用这个符号；相似三角形是不像三角形（nouelike triangles），五边形则是五角形（cinkangles）.此外还他还设计了一个非常精彩的数学术语，在《牛津英语词典》当中保持着拥有Z字母数量最多的单词：刚才我们提到过，zenzus是未知数，zenzike即平方，zenzizenzike意味着四次方，zenzizenzizenzike是八次方，至于zenzizenzizenzizenzike自然就是十六次方。我很想在中小学堂上讲解zenzizenzizenzizenzike这个词，想必会让学生们笑场。

这些词语都没有流行开来，但是雷科德的确留下了等号这个最主要的遗产。等号首次出现在以下方程当中：14x+15=71。我要说这是世界上最早的方程。的确，此前的人们已经进行了千百年的代数计算，但是只有等号出现之后方程才能随之出现。他在1557年的《砺智石》当中首次使用了等号，如果你能解决这个方程，你就可以宣称你解决了世界上最古老的方程。我想这个方程大家口算就能算出来。将15移到等号右边，71-15=56，由此可知x=4。

在讲座的最后五分钟，我希望玩一点与数学相关的语言游戏。我想再提几个你们可能感兴趣的符号以及这些符号的演变。我们往往需要花费一点时间才能做出选择，才能确定规范，才能决定究竟应当用什么符号来表示什么概念。以下五个符号都曾经在二十世纪三十年代之前被用来表示同一个特定数集：n，┌，G0，C，。如今我们将这个数集称为Z，也就是全体整数集。Z代表Zahlen，也就是德语的“数字”一词。一群法国数学家在1940年前后首次使用了这个符号。他们决定写一套数学丛书，各人匿名写作，丛书则以尼古拉.布尔巴基这个笔名出版。这套从书很有影响力，他们选择的这个符号就此留存了下来——这仅仅是1940年的事。我们或许会觉得这个符号自古以来就存在，但是其实直到上个世纪才最终确定下来。

最后我想让大家看看这个美丽的公式：e^iπ+1=0。这个公式经常被称作数学领域最美丽的公式，包含了最基本的数字基础0与1，包含了非常重要的数学常数π与自然底数e，还有-1的平方根i，有了i之后任何多项式方程都有解。我们没有理由想象这几个数字怎么就能联系在一起，但是它们的确就这样联系在了一起。那么e、i与π这些符号都来自哪里？瑞士数学家约翰.克里斯托弗.斯图姆于1689年首先使用了字母来代表常数。他使用的字母是e，但是指代的却不是自然底数，而是圆周率。既然最早的π是e，那么最早的e又是什么字母？是b。如果遵循历史先例，这个公式应该写成b^ie+1=0，在现代人眼中实在非常别扭。所以说我们未必总会使用最早出现的数学符号。

这个美丽的公式属于全世界。如果你想按照DNA鉴定的思路来分析这个公式的国籍，那么e与i要归功于欧拉，他最早用这两个字母来表示它们如今的含义；等号是罗伯特.雷科德的发明，他是威尔士人；另一位威尔士人威廉.琼斯在1706年率先使用了π，因为p是英语“周长”一词的第一个字母；加号源自德国，1与0都源于印度。所以我们不妨说这个公式有28%的瑞士血统。28%的威尔士血统，28%的印度血统与14%的德国血统。但是我们并不这么说，因为数学属于全人类，这个公式百分之百地属于数学与全体人类。

说是全人类，但通篇完全没有中国古代数学家的贡献及成就？

非要有等号才有方程？《测圆海镜》，《益古演段》里的“天元术”就不算？中国古代数学家用十九个单字表示未知数的+9至-9次幂,x^9~x^(-9）：仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天、人、地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼。1248年成书的《测圆海镜》里都已经出现了六次方程了。"14x+15=71是世界上最早的方程“？

好一点说是孤陋寡闻，差一点说是种族歧视。

图自李兆良的微博

@宝特勤

不管宝总来不来，我先说几句，过过瘾

演讲虽然讲的是数字符号，世界各国都有。但是没有中国：壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒……这是瞧不起人😄😄

亘古以来，不管用哪种语言，哪种进制，壹加壹等于贰（或者 1+1=2, 或者在二进制中1+1=10）。因为这是现实世界的模样。

但是到了十九世纪，数学家们开始考虑什么是加。他们把“加”定义为满足封闭性（比如整数加整数等于整数），交换律（ a+ b = b +a ），结合律 ( a+b+c = a+(b+c) ), 有相反数（比如 1+（-1）= 0）的运算。

于是，0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=0 这套法则可以叫做“加”（显然这和二进制没有关系）。

我自己的观点，这是数学从描述世界到征服世界的转折点。

群论的奠基者是个法国热血青年，一生有很多建树，二十一岁上死于决斗。决斗前一晚他把自己完成的，半完成的和没完成的工作写下来。写下的一句话是“我没有时间了”。

以上是演义笔法。河里数学大牛轻拍。

@普鲁托

印度有个拉马努金，我的输入法里居然都有，也是年级轻轻就去世了

哈代认识他，然后说：年纪轻轻没做出好成果的数学家是没希望的了

接下来张益唐（输入法里也有他）狠狠给了这句话一个耳光

他最喜欢的一句诗：

庾信平生最萧瑟，暮年诗赋动江关

都是牛人哪！

有幺元 0

有逆元 -1

1+（-1）=0

这种情况下1是1的逆元。

不过，我还想问别的：

您可听说那首梵文诗？或者其实不必是诗，中国古代专业人士说话也常用排列整齐的韵语。

我的梵语确实汗如雨下。婆娘说梵语和阿维斯塔语有共通之处，但我阿维斯塔语更加一窍不通。

https://mp.weixin.qq.com/s/fHJv-5Fi314NTuG-Se8nyg

眉山剑客（陈平博士）按：

李兆良博士的跨学科治史，探索阿拉伯数字的源头是中国的结绳记事，比战国时代的算筹更早。这一发现颠覆了李约瑟问题的爱因斯坦猜测，他们认为经验主义的中国产生不了现代科学。

牛顿力学的基础是欧氏几何，爱因斯坦相对论的基础是非欧几何。欧氏几何的公理化体系就成为现代科学的起点。混沌研究和图灵机，把数字计算作为文明史的起源，探源阿拉伯数字源于中国，就颠覆了西方中心论的科学技术史观。

李兆良博士研究的意义，大于近年中国的夏商周断代工程。如能引发全世界关注，无论最终有无定论，都将改变研究世界文明史的视角，大大提升中华文化的话语权。

中国算符是世界科技之源

李兆良

摘要

世界通用算符源自中国，是所有科技的基础。欧洲人首次接触阿拉伯人，只知道7世纪来自阿拉伯的算符，误称为阿拉伯数字，不知道是中国沿用几千年的算符，应该正名为通用算符，源自中国算符。7世纪以前，阿拉伯与欧洲没有这些算符，无法计算，无法发展科技。算符是计算的基础，科技离不开度量衡计算和源自中国的算符。

算符是计算和科技的基本

所有科技发展离不开算符（数字）和计算方法，算符和计算方法是科技之母，发明算符与计算方法对人类社会进步是最大的基础贡献。

中国俗语说：“一是一，二是二”，意思是照实说，不转弯抹角。汉语用单音节代表每一个算符，汉字就是算符。其他文化的算符由单音节到三音节不定，中国汉语的单音节算符已经决定了汉语汉字计算的优势。清华简算表是战国时代是世界最早的十进制算器，中国单音节简便的算符与十进制是世界科学发展的基础，影响了后来全世界科学发展。

新加坡蓝丽蓉认为现在世界通用的所谓阿拉伯数字计算系统源自战国时代（475-221 BCE）筹算符号 [1]。蓝教授比较的是数学计算系统，不是比较筹算的符号与现代通用算符。本文补充，今天国际通用的所谓“阿拉伯数字符号”（下称“通用算符”）可以追溯到结绳记事。中国创造算符是科学观察的结果，自成一套系统，不是凭空幻想的。

“阿拉伯数字”是误称

各国文化科技都需要计算，每种文化独立创造一套数字系统，同时互相交流学习、改进。Georges Ifrah的专著详细叙述了数字的演变史[2]，中国算符的历史还可以更清楚。我作了一个表，比较主要算符发音和大约发生年代，希腊、巴比伦算符与现代算符毫无相似，可以排除关系。阿拉伯国家今天用的算符，部分与国际算符类似，实际上不同，他们电话的数字有异于现代国际通用的算符123456789，被称为“阿拉伯数字” 是误会。阿拉伯数字的读音复杂，与简单的算符不配套，只是欧洲人首次接触阿拉伯人时获得这些数符，误以为阿拉伯人发明。以下阿拉伯数字改称为“通用算符”。

结绳记事是世界算符之祖

结绳记事的历史久远，在中国已经没有实物作证。表一是根据中国数字科技馆 《科普中国》发布的结绳记事算符[3]。中国古代结绳记事，筹算，甲骨文，民间数码（花码，苏州码），以至今天通用的楷书，传承四千年以上，是一脉相承的算符，现代国际通用算符造型可以看出与中国结绳-甲骨文-金文-篆书-花码的结构有一定发展关系。

结绳的物理条件要求在某些地方支撑，书写文字去掉支撑，可以看到汉字的写法与结绳记事的关系（表 1. 世界算符比较）。

结绳发展为后来的甲骨文，金文，小篆，花码，有简化，连笔的操作。

“一”到“三”，结绳是下方绳子的数目，其理自明。老子《道德经》：“一生二，二生三，三生万物”，结绳的“四”还用四根绳子，以后三以上的数字开始用别的符号。

“四”。花码X把结绳“五”去掉上下两横，象东南西北，春夏秋冬。小篆改为“四”，囗中八，象四分之形。

“五“。结绳的“五”保留在甲骨文，金文、篆书。【汉】许慎《说文解字》：五，阴阳在天地之间交午也。五，从二，从乂。“二”代表天地，“乂”表示互相交错。结绳-甲骨文连笔快写成为花码〥，再变成通用算符5。

结绳的“六”与“八”避免与“二”混淆，多了结系的绳子，甲骨文简省了。

“六”。《說文》：易之數，阴变于六，正于八。六爲阴之变，八为阴之正也。

“七”。《说文》：七，阳之正也。从一，微阴从中斜出也。结绳、甲骨文的“七”在一竖中间加一小横，小篆“七” 加了弯，以别于“十”。七，有切的含义，所以切从七从刀，把一竖分为两部。

“八”。《说文》八，别也，象分别相背之形。结绳包含此义。“四” 里面的八，把四方分开。后来发展为通用算符8，分开两个圆，含有同样意思。

“九“。《說文》：阳之变也。《易·乾·文言》：乾元用九，天下治也。结绳的“九”与甲骨文相似，甲骨文-金文-小篆“九”是手形，上面是爪，下面是手肘，“究”字为手穴中探物的象形。九是数之极，阳之变。

“十”。《说文》：“十，数之具也”。《左传·僖公四年》：“数之小成”。结绳记事用垂直的绳子中间打个大结，结束，成的意思，代表十进制成型。金文传承了结绳样式，一竖中间一个圆点。甲骨文数字“一”是横写，甲骨文数目十为一竖“I” ，甲骨文“十”本来是天干的“甲”，天干第一。小篆为了分别天干的“甲”与数字“十”，在“十”外围加了一个框，后来成为楷书的“甲”。【宋】戴侗《六书故》：“甲象草木戴种而出之形”。

每个算符形成有特别意义，远早于甲骨文，与五千年中华文化的易经-河图洛书-阴阳有密切关连。阴阳学说不是神秘迷信，是中国人观察一年四季动态循环的总结，古人立杆测影，夏至，北半球日影最短，每日日照时间最长，以后日影渐长，日照渐短，是阳之变，至秋分是一年日影最长的一半，秋分的“分”，从八从刀，是“八”的来源。冬至日影最长，以后渐短，日照时间最短，逐渐变长，是阴之变，至春分刚好一半。其他各国算符，只有图象，不知所以然，没有解释，没有科学基础。

结绳-甲骨文-金文-小篆的演化是从结扎绳子过渡到书写的简化变异，3600年前的甲骨文已经具备后来各种变化的基础，战国算表（清华简）墨书的算符与甲骨文-金文完全吻合，小篆-楷书算符已经定格，今人可以通读。所谓苏州码，也不是只在苏州用的，也称为花码，是民间的算符，与算筹历史相当。1950年代，没有收银机和电脑，上海和香港的商场、摊档、饭馆还在使用花码标价，用算盘计算。

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中国阴阳与季节的关系（曹书敏[4]）

中国算符的国际化

中国出土战国算表（清华简），是世界上最早的。司马迁的“运筹帷幄，决胜千里”，用算筹计算兵力，路程，补给等等，说明算筹在汉朝已经普遍使用。汉张骞（西元前？- 114年）出使西域，开始了丝绸之路。可以想象这样一个场景：商人摆摊，在地上划价目，要快速完成交易，杂用花码、甲骨文、金文、小篆各种算符，连笔速写。买家在旁边或对面看，把符号侧写，倒写，演化成今天国际通用算符。欧洲人称印度-阿拉伯数字自7世纪出现，由花剌子模（al-Khwarizmi，约西元780-850年）和肯迪（al-Kindi，西元796-863年）传入欧洲。7世纪正是唐朝丝绸之路活跃时期。7世纪以前，阿拉伯用什么算符呢？没有资料。最大可能是阿拉伯人改写中国的算符，传到欧洲。7世纪，欧洲人还没有直接接触中国人，只知道阿拉伯人有算符，误为阿拉伯人发明。

结绳、甲骨、金文、花码的I一，II二，III三，快写连笔成阿拉伯原型的 ١， ٢ ， ٣， 侧看是1，2，3。四的花码X 快写变成4 ，阿拉伯原算符的456不像通用算符。汉字”五”结绳到甲骨文一样，变异为花码快写〥，再变成通用算符5。6 的来源是结绳六的快写，把底部连起来成圈。结绳与甲骨文的七，演化为阿拉伯的V，倒看是“七”，保守的德国人写7字，中间加一横，是七字的倒写。甲骨文、金文“八”是结绳去掉中间支撑部分，本来八有分开的意思，通用算符8就是分成两个圈，结绳的形状也包含8，阿拉伯算符٨是把汉字的八上部连接。阿拉伯的٩是金文的快写连笔，爪变为拳，省去下弯，通用算符写作9。

阿拉伯，波斯，乌尔都（Urdu）的算符有许多共通处，但不是现代欧美的所谓“阿拉伯数字”（通用算符）。一般认为阿拉伯数目字是西元771年穆斯林王朝建立时，印度天文数学家Brahma Gupta 带来数学书（西元628年）出现算符，年代远远晚于中国的算符。

阿拉伯语言复杂的多音节与简单的算符不相称，没有算符之前，阿拉伯拼音文字如何计算值得深究。例如“二十三”，阿拉伯语发音是thalathah wa ishrun六个音节，跳绳要放慢速度才能数，要纪录复杂的算术，要大量音节。汉语“二十三”可以简化为“廿三”两个音节，速度快两倍到三倍。

中国算符从结绳到后来甲骨文，金文，算筹，珠算，民间码（花码），小篆，楷书，一脉相承。

中国古代算符在美洲

中美洲玛雅人的算符也是十进制，类似中国珠算形式。

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玛雅算符

美国考古学家Dennis Jenkins 2012年在俄勒冈州Paisley Caves山洞里发现人类排泄物化石，是亚洲人最早迁到美洲的遗物，断代为13000年前，同时发现有结的绳段，断代为12000年，虽然残片不多，还是可以辨认样式是有规律的结，类似结绳记事，不是纯粹绑扎物件用。世界上只有中国历史纪录结绳记事，在中国的历史应该更早。

秘鲁的结绳记事（Quipu，Khipu）与汉语客家话“记簿”同音同义，没有关系，不可能如此巧合。华人迁入西半球万年以上，秘鲁自己发展结绳记事，方法稍异，一直用到西班牙人入侵的16世纪。纽约原住民博物馆里保存了秘鲁结绳记事的实物。秘鲁的结绳记事与俄勒冈的绳结有一定关系。

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Dennis Jenkins Pailey Cave （来源Jim Barlow https://www.donsmaps.com/images10/dennisjenkinslab.jpg）

考古详情参看：https://www.youtube.com/watch?v=ZfWuIkmYIQ8

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秘鲁Quipu/Khipu （By Claus Ableiter nur hochgeladen aus enWiki - enWiki, hochgeladen von User Lyndsaruell; siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Inca_Quipu.jpg, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2986739）

美洲原住民来自亚洲已经有许多生物基因，文化基因的证据。美洲原住民的两种算符保留了华人迁徙到西半球大陆的文化基因。从美洲的结绳可以推断中国算符最早历史在一万年以上。

结语：中国算符是世界科学的奠基者

科学的基础是算符和计算方法系统。希腊罗马的科技没有著作原本，当时欧洲还没有纸张和印刷术，莎草手抄本不耐久，很多莎草本文献，包括圣经抄本，证明是伪造的，伪造者正是牛津大学莎草文献馆的馆长监守自盗。2021年，事情揭发对西方考古学和宗教界是巨大打击。文艺复兴后出现的拉丁文版希腊罗马著作，有认为拉丁文著作翻译自阿拉伯文，而后者来自希腊罗马著作。希腊拼音字符与算符是同一套符号，很难区分文字与算符。罗马的五进制算符计算困难。这两种语言文字都很难表达科学理念，如果容易，就不会被通用算符淘汰。笔者曾经讨论希腊罗马数字与不统一的度量衡单位作为科学基础的难度[5]。阿拉伯复杂的数字发音与简单的算符不匹配，如何统一表达计算是一个疑问。7世纪以前，没有算符，阿拉伯如何发展科技？罗马帝国覆灭后1000年，欧洲战乱不止，称为“黑暗时代”，欧洲语言文字至今不统一，文艺复兴以前没有造纸印刷术，如何保存传承文化？这些谜团都不能用现有主流解释说明。

世界通用算符和十进制可以追溯到中国的算筹，花码（苏州码），篆书，金文，甲骨文，以至远古的结绳记事，每个符号的缘起可以解释。中国的算符与十进制奠定了世界科学的基础。通用算符本来源自中国，经过时间的洗练，逐步改进为今日样式，不必介意在中文文献内使用通用算符。

历届数学奥林匹克，优胜者大多是华人华裔，矽谷的研发人才多为华人，不是没有原因的。所谓阿拉伯数字，是通用算符，应该正名为中国算符。

李兆良

黄帝纪元4720年壬寅六月初五（西元2022年7月3日）

[1] Lam Lay Yong, Ang Tian Se. Fleeting Footsteps: Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China. Singapore: World Scientific. 2004.

[2] Ifrah G. From One to Zero – A Universal History of Numbers. New York: Penguin Books. 1985.

[3] 中国数字科技馆. 科普中国. https://www.cdstm.cn/frontier/kpx/201901/t20190124_905762.html

[4] 曹书敏.告成观星台天文测量与探究. 郑州：河南人民出版社. 2017年. 第412页.

[5] 李兆良. 希腊-意大利的数字与长度单位-透视古代欧洲的科学基础. 科学网. https://wap.sciencenet.cn/blog-1674084-1254414.html 【2020-10-15】（2022-7-2）

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我本来以为你写错了，结果你是认真的

所以我说这是从认识世界到改造世界的一大步。