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主题:【原创】概率论中几个著名的悖论 -- earthcolor

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家园 【原创】概率论中几个著名的悖论

【讨论】“纯随机”和“偶然”:关于概率的讨论 中,列出一些与概率相关的资料。在这里,列出一些概率论中几个著名的悖论。这些悖论,对概率论的哲学思考起了很大的作用。

1)彼得堡悖论。前面已经提到了,这里重复一下。假设玩这样一个游戏,你抛硬币,在第一次时出现正面,你赢2块钱。在第二次时出现正面,你赢2*2块钱。以此类推,在第n次时出现正面,你赢2的n次方的钱。问题是:你愿意付多少钱参加这个游戏?

根据概率论中期望的定义,在这个游戏中,你赢钱的期望值是无限大。在一个公平的游戏中,应该是你会赢的钱等于你所付的钱。但在实际中,没有人愿意付无限多的钱来玩这个游戏。这时你愿意付的钱和赢钱的期望不一致,导致很多人对概率论中的理性人的假设进行怀疑,使得很多研究者不相信概率论,不愿意进行相关的研究。

2)弦长度的悖论。在圆中人以画一条弦,问这条弦的长度大于圆的内接等边三角形的边长的概率。有三种解法:a)弦的中点落在半径为r/2(r为原圆的半径)的小圆时,弦的长度大于圆的内接等边三角形的边长,所以概率为1/4;b)弦的一个端点固定,另一个端点在圆上运动。以第一个端点开始将圆周三等分,如果另一个端点落在正对第一个端点的弧上,弦的长度大于圆的内接等边三角形的边长,所以概率为1/3;c)给定一个弦,有一个垂直于这个弦的半径。当弦的中点处在离圆心近的1/2时,弦的长度大于圆的内接等边三角形的边长,所以概率为1/2。

3)如何确定基本不可分割事件

同时抛两枚硬币,会有几种结果出现?a)3种:两个正面,两个反面,和一正一反;b)4种:两个正面,两个反面,A为正B为反,A为反B为正。哪一个正确?没有定论。在这里,基本不可分割事件取决于两枚硬币是不是可以互相区别的?如果两枚硬币不可以互相区别,a)更有道理;如果两枚硬币可以互相区别,b)更有道理。

在物理学中,Boltzmann统计理论支持b),Bose-Einstein统计理论支持a).

关键词(Tags): #概率#悖论#彼得堡悖论#弦长度悖论元宝推荐:爱莲,

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