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主题:【原创】老马丁胡侃统计之二: 生活中的几个概率统计问题 -- 老马丁

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家园 再谈第二题

第二题已经有很多人讨论过。各人理解不同,思路也不同。在这里,我谈一谈另一个思路,供大家参考。这个帖子的内容,不是讨论第二题的解法,而是第二题里的一些条件。如果大家有不同意见,欢迎讨论。

首先,我们要澄清一些观点,讨论一下这里的概率概念。更多关于概率的讨论,参见earthcolor:【原创】概率论的哲学解释

第一, 在这个题中,我们讨论的概率不是在一个特定单次游戏中猜对有钻石箱子的概率(单次事件的概率),而是多次重复玩这个游戏猜对有钻石箱子的概率(重复事件的概率)。

第二, 在这个题中,我们讨论的概率不随某个人的信心程度而改变。

第三, 在这个题中,不是某一个箱子的特性。任意换一个箱子,我们讨论的概率不会改变。离开了这个题中的其他条件,谈某个箱子的概率没有意义。(如果抛一个均匀的硬币,出现1/2正面是这个硬币本身的特性。)

好了,现在说这个题中的条件:

第一, 有只有三个箱子。(有人会说,废话。可是,在有些问题中,没有这么简单。参见earthcolor:【原创】概率论中几个著名的悖论的悖论三)

第二, 在三个箱子中,肯定有一个有钻石,而且钻石在任何一个箱子中的概率是一样的。(不能只简单的讲是随机的。很多时候,随机的是指平均概率分布。准确地讲,随机的可以指符合任何概率分布)

第三, 参赛者先选了一个箱子

第四, 在参赛者选了箱子之后,主持人在另外两个箱子中打开一个肯定没有钻石的箱子,不是主持人任意打开一个箱子后发现里面没有钻石。

以上的这几个条件,是可以重复的。在大家以前的讨论,强调最多的是第四个条件。如果我们有做模拟实验,任何一个条件都不能忽略。如果任何一个条件改变,这个题里的结果就会改变。如果做计算机模拟实验,会发现结果是:在换箱子后,选中有钻石的箱子的概率是2/3。

在我们知道了这个题目中的各个条件以后,我们可以改变相关的条件,得到新的问题。如果我们用概率图形模型来表达,我们可以得到更一般的问题表达。

第一次做这道题的时候,用了比较笨的方法:先列出三个箱子中各有钻石的可能,再列出参赛者的三种选择,最后列出主持人的选择。27种情况,可以看到最后的结果。当时做完,也没有多想。感觉结果就该那样。

后来,我想用贝叶斯网络、决策树、Influence diagram来表达这个问题,首先遇到了变量选择的问题。开始时,考虑了5个变量:1)三个箱子中有钻石的概率;2)参赛者的初次选择;3)主持人的选择;4)参赛者换不换的选择;5)最后的结果。后来发现,在Influence diagram中,用三个变量是一个经典的表达:1)参赛者第一次选中钻石概率;2)参赛者换不换的决定;3)结果。在这个过程中,我发现,变量的选择对建模很重要。这个发现以前也发现过,不过这次的感觉不一样。

这个时候,在和一个朋友讨论中,朋友提出问题:为什么概率不是1/2?为什么概率会改变?这个朋友先读过概率哲学讨论的书,对哲学思考方面更感兴趣。朋友认为,在主持人打开一个箱子后,在其他箱子之间并没有物质转移,这里的概率应该是人的信心程度。我的看法和他不同,认为是可重复条件下的倾向(propensity)论。符合earthcolor:【原创】概率论的哲学解释中倾向(propensity)论的条件。

冷眼旁观的帖子:冷眼旁观:沮丧的很里,提到了概率为什么会改变的问题。我想,如果按概率为什么会改变的思路考虑,会和我和我的朋友一样,讨论题目中的条件。这样,我们会考虑概率是什么。不知道,大家如何看待这个问题,至少对于,一点点的讨论,可以让我发现更多的以前没有考虑过的问题。

这是我的大概思路。欢迎大家讨论。

补充:刚才考古,发现这个问题以前有人贴过。

天下第一银杏树:【文摘】一道有趣的概率题

其中下面两个帖子的内容很有意思:

CatOH:换一种说法就可以凭直觉想清楚了

林小筑:嘿嘿,不急,还没完,继续深挖

衲子:my annotated MATLAB code. How about ur manual list?

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