五千年(敝帚自珍)

主题:【讨论】【分享】动脑筋消遣 -- 侯登科

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家园 【原创】那个不等式的证明

要证明 Pa = Pw23 Pw12 + (1-Pw23)Pw13 > Pb = 1-Pw21 = 1-P2/(P1 + P2 - P1 P2)。

对于固定的P1和P2,我们研究P3的取值范围∈(P2,1],看看P3的取值对于不等式的左边有什么影响?

首先注意到Pa是两项的加权平均——是Pw12与Pw13这两项的加权平均,权重因子分别为Pw23与(1-Pw23)。

当P3增大,Pw23就减小(直观而言,2对3的决斗胜率,随着3的准头的增加而减小),Pw13也减小。

若Pw23减小,那就是说在Pa中,Pw12所占的权重(Pw23)会减小;而Pw13所占的权重(1-Pw23)会增大。

由于P3>P2,所以Pw13<Pw12(直观而言,都是在1首发的情况下,1对3的决斗胜率,比1对2的决斗胜率小)。

所以最终的结果是:Pa在减小(因为两项的平均值中,小的那项变小,而且其所占的份额还变大,于是把总的均值愈加拉小了)。

所以左端的下限在P3=1时达到,为:

Pa1 = P2 Pw12 + (1-P2)P1。(当P3=1时,Pw23=P2;Pw13=P1。)

下面要证的是:Pa1 > Pb。

喝口水先……

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