五千年(敝帚自珍)

主题:【讨论】【分享】动脑筋消遣 -- 侯登科

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  • 家园 【讨论】【分享】动脑筋消遣

    实在无聊,又不会写文章,分享两个问题。虽然没有创意,但好歹也是主题贴,谁想送花,赶紧,先谢谢您先,过两天改了版,不知道咱小虾有没有得混啦。

    (1)三个盒子其中两个装着石块,一个装有金条。你初选一个先不打开。然后主持人打开另外两个的其中之一,是石块。问:你坚持自己的初选,还是改选择另外那个盒子?

    (2)三位枪手决斗,枪法命中率分别是1/3,2/3,3/3。由弱到强轮流开枪。问:如果你是那位1/3你应该朝谁开枪?(注:可以朝天放枪。假设另外两位枪手都会作出最佳决定。)


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    • 家园 完整来说应该分3种不同情况讨论

      I:确定主持人知道秘密,每次总打开空盒。

      II:确定主持人并不知道秘密,只是碰巧打开空盒(换言之,有时会打开金盒)。

      III:不确定主持人是否知道秘密,所以无法确定他是有意打开空盒,还是碰巧打开空盒。

      建议一个“笨”的方法---模拟。

      情况I最好做,自己用三张扑克牌,每次洗牌后选定一张,直接翻开就知道输赢了。

      情况II稍麻烦也可以做,想快点就写个小程序。

      情况III有点麻烦。


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    • 家园 【原创】预先决定的选择

      第一题在网上有许多讨论,正确的观点是在主持人翻出空盒子后改变原先的选择,中奖的概率将是2/3,不改变选择的话中奖概率就是1/3。不过许多讨论结果经常将人搞得更迷糊。我们迷惑的是不管我第二次到底改不改选择我都是从三个中挑一个,而且即使我第二次改变选择也不过是二选一,那么和不选有什么区别。为何命运在这次选择中发生了巨大的变化?

      突然想起《Matrix II》(黑客帝国)中Neo和祭师之间的那次对话,感觉就像为这题而设的

      Neo:Do you already know if I will take it

      祭师:Wouldn’t be much of an oracle if I didn’t

      Neo:But if you already know, how can I make a choice?

      祭师:Because you didn’t come here to make the choice. You’ve already made it. You’re here to try to understand why you made it.

      祭师一如既往地没有正面回答问题,这里我来尝试一下解释命运是怎么改变的。

      首先,这里有两次选择,第一次是随机选择,真正决定命运的就是这次,虽然祭师知道你会做什么选择,但是命运并不在她手里,她只是预先看到了一些事情而已。当然了,如果你认为我们不过都是Matrix里面的程序的话,当我没说。第二次选择其实不是选择,而是一次决策,在精确的计算下所谓的选择是确定的——这就是题目迷惑人的地方,第二次选择其实和概率无关!是预先安排好的——You’ve already made it. You’re here to try to understand why you made it.

      决策的依据是主持人翻开的盒子,如果是空的,那么你就必须改变原先的选择!否则……等会再谈这种情况。

      我们用最笨的办法先列出我们的所有选择情况。先给盒子编号A,B,C。其中A中有我们要的东西。那么如果我们选择改变的策略那么两次选择的盒子有AB,AC,BA,BC,CA,CB六种可能,其中BA和CA的决策将是我们想要的结果,而其他四种决策都是失败的。从概率上看的确是1/3。但是命运在主持人翻出一个空盒子的时候被改变了。由于这个空盒子,BC和CB这两条支流悄悄地在我们命运的河中消失,于是我们只剩下AB,AC,BA和CA四条支流。虽然有4条支流,但只有3个入口,这就是你的第一次选择。命运给我们开了个玩笑,第一次选对的话反而一无所得,好在这个概率只有1/3。只要主持人翻出空盒子,我们就知道命运发生了改变,因此改变是我们唯一的选择。

      不过主持人如果翻出一个有金条的盒子,那就接受命运吧。实际上如果主持人知情的话,他/她总可以翻出一个空盒子,从而将两条可能失败的分支帮你去掉。这种情况我觉得应该算一种合谋作弊,和概率没什么关系。

      (我的答案和主持人知不知情无关,关键是主持人翻出的是不是空盒子)

      通宝推:侯登科,
      • 家园 我怎么还是觉得选与不选没有区别

        我还是觉得在主持人开了一个无效的盒子后,保留原来选择的盒子,还是选择另外一个盒子,得宝的概率应该是一样的,就是50%。

        在你列出的六种可能中,我觉得你还漏列了 AA,BB,CC 这三种情况。也就是在第一次选择之后,继续保持第一次选择结果的情况。这样的话,总共是9种可能的组合而不是6种。在主持人翻掉一个空盒子后,BC和CB如你所说消失了,同时,BB或CC中的一个也消失了(主持人选了B则BB消失,选了C则CC也消失,但是只会是其中一个消失)。这样,最后剩下 AB,AC,BA,CA,AA和BB或CC的一个。经过两轮选择,BA,AA,CA这三种情况可能得到A,则得到A的可能性就是3/6。

        关键是这一句:“第一次选对的话反而一无所得,好在这个概率只有1/3。”这句话在第一次选对,然后继续保持的情况下不成立。

        • 家园 谢老大捧场:)

          供参考 侯登科:完整来说应该分3种不同情况讨论

        • 家园 关键在主持人是否是有意为之的

          解释A:

          一个前提是,不论主持人如何动作,主观意愿怎样,都不会改变你手里盒子的得宝率(!),它永远是1/3。如果主持人是随机打开盒子的,主持人打开宝盒的概率为3/2乘1/2等于1/3,打开空盒的概率也是1/3。在后一种情况下,你手里的盒子和剩下的盒子得宝率相等,1/3 vs 1/3,重新计算为各1/2。问题在于,如果主持人是知道内幕的,并且有意去掉空盒子,不存在主持人打开宝盒的情况,所以剩下的盒子的得宝率为2/3。

          解释B:

          如果你第一次选对,概率为1/3,主持人有意从两个空盒中去掉一个,剩下的一定是空的。如果你第一次选错了,概率是2/3,奖品必在剩下的两个之中,主持人去掉空盒,剩下的一定是宝盒,它实际上汇集了两个盒子的中奖率。所以,手里的盒子的中奖率一定是1/3,剩下的一定是2/3。

        • 家园 化为纯概率题的说法

          当主持人翻出一个空盒子的时候,改变初衷的命中概率(针对第一次选择)是多少,不改变初衷的概率由是多少?

          这是一个条件概率的计算,由于条件概率所以可能的事件发生了变化。

        • 家园 我也把事情搞复杂了

          我说过第二次的选择(选择改不改变初衷,不是选择盒子)是一种对策,不是随机事件。所以两种对策的情况必须分开考虑。这样不改变初衷的情况是AA,BB,CC,而改变初衷的情况是4种(由于主持人的缘故少了两种)。这两种对策由于第二次选择是确定的,因此概率从第一次选择开始算分别是1/3和2/3。所以我说第一次选择决定命运,第二次选择你应该一早就made it了(命中注定的)。

          有意思的是如果你第二次选择也是随机的时候Oracle和你将看到不同的世界。注意第二次选择随机的意思是你有一半机会选择改变初衷,也有一半机会不改变初衷,表现出来的现象确是换不换盒子。这样Oracle看到的或者是1/3,或者是2/3的概率。而对你而言是1/2!

          我之所以想起黑客帝国就是因为这个,预言师可以看到一切,但我还是可以选择!

          • 家园 绕来绕去,换个思路试试

            即首次选择无效,那么管你什么概率,先知啥的统统GET OUT。

            第一次选择对结果其实完全无影响力,所以直接剔除,那么就很容易理解这一过程了。

        • 家园 其实从概率来说只需知道一件事

          那就是不换你选中的概率总是3分之1.

          • 家园 问题是,在主持人翻开一个空盒子后,概率就应该是2分之1了

            如果只是从三个盒子里选一个,概率当然是3分之1。但是在主持人翻掉了一个空盒子后,要不就是你手里的盒子里有东西,要不就是另外一个盒子有东西,结果就是2选1了啊。

    • 家园 这第一题河里几年前就讨论过,

      结论是:如果主持人知道内情,那么换就是2/3中奖。

        如果主持人不知道内情,那么换不换都是1/2中奖。

        俺再补充一点看法,象这种单次的情况下,机遇就上升为主要因素,看你rp怎么样了。就象买彩票,卖得多了总会有人中大奖,但作为中大奖的那个个人,就完全是碰运气了,概率毫无作用。

        第二题,应该朝天放枪,或者对任一人但故意不打中。

        很简单,如果你万一打中了,第二枪必定是对着你自己。不打中,第二枪即使想打人也会对着最强的一个。

        三个人都选最佳决定,就会变成三个人轮流对天开枪。

    • 家园 第一个问题用假设检验,第二个是经典的博弈问题直接知道答案

      1.第一个问题用假设检验来做

      (1)如果主持人是随机打开盒子。首先假设我拿到的盒子里面是金条,那么主持人打开的盒子里是石块的概率为100%。其次假设我拿到的盒子里面是石块,那么主持人打开的盒子里面是石块的概率为50%。所以接受第一个假设。即我手中的盒子是金条

      (2)如果主持人是有意打开一个装有石头的盒子,那么我手中盒子是金条的概率为50%

      (3)综上,我不会换盒子。

      2第二个问题是经典的博弈问题,三枪手博弈(可以维基之),我本身就知道答案,如果没有对天开枪的话,最弱和次弱的人都会优先向最强的人开枪,最强的人死亡的概率最大。如果可以对天开枪,那么最弱者应该对天开枪。

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