主题：【原创】上帝之书 -- 我爱莫扎特

刚刚说了，要真正理解Poincare圆盘模型，需要一点点数学。大家别怕，咬咬牙，一会儿就过去了。

关键在于理解勾股定理。前面咱们已经说了，非欧几何不再成立勾股定理。但我们再深入思考一下，什么是勾股定理呢？勾股定理其实就是计算两个点间距离的公式。不同的距离公式将带来完全不同的几何性质。我们前面产生的几个疑问也都可以通过距离公式一并解答。

设模型的大圆盘为单位开圆盘，即半径为1的不含边界的圆盘，我们令两点间距离是：

这里u=(x1,y1) , v=(x2,y2) 分别是圆盘内两个点，

估计不少朋友会问，你怎么可以随便给个距离啊？在数学上，距离（又称度量）确实是个比生活中宽松得多的概念。一个空间内的距离其实就是点与点之间定义的非负值的函数。确切的说，只要有一个二元函数d(x,y)满足：（x，y是空间内任意两点）

1， d(x,y)>=0 (非负性)

2， d(x,y)=0 当且仅当 x=y (不可区分者的同一性)

3， d(x,y)=d(y,x) (对称性)

4， d(x,y)<=d(x,z)+d(y,z) （三角不等式）

我们就说d是一个距离。

可以验证，刚刚给出的公式是一个距离。

上面的距离公式有个很有趣的性质：当两个点越靠近圆心时，它们间的距离越小。而靠近圆盘边界的时候，两点间距离越来越大，趋向无穷。

有了距离，咱们来研究直线。模型大家都看到了，直线不再是直的。怎么回事呢？

我倒要反问一句，什么叫直的。小朋友可能会回答：拿直尺量的就是直的。可我们稍微长大一些就知道，如果拿放大镜来看，直尺远远不算直。一个好一点的回答是，光走的路线是直的。但是，自从人们听说广义相对论之后，都知道光也常常走“弯”路。不过光毕竟是光，它不管怎么走，总是走最短的路。所以在数学上，这里所讨论的“直线”其实指的就是走最短距离的那条线。这条线的学名称为测地线。

好，明白了什么是直线（测地线），又知道如何算距离，数学家只要动动笔就能把它们算出来，最后发现圆盘模型中的测地线恰恰就是那些与边界圆周垂直的圆弧。

再看问题3。现在的测地线是不是无限长呢？是的，因为长度（距离）的定义和在欧式空间不同了。会积分的同志可以试着沿着测地线做距离的积分，很容易发现模型中的测地线的确是无限长的。

问题4，角度与面积。大家还记不记得欧式几何里有个余弦定理？

此处

余弦定理其实也是勾股定理的推广。我们原封不动的把它搬到圆盘模型中，立刻可以从距离计算出相应的角度。

有了距离和角度，面积也就随之而来。

最后再回顾一下Escher的两张图，正如上面所述，越靠边界的地方，距离越大。所以边上看上去很小的图形其实与圆盘里面的图形一样大。

总之，有了距离，就有了一切。

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