主题：【原创】勾股定理（十二） --- 王者归来（续） -- 我爱莫扎特
家园 【讨论】皇帝和皇后谁当家？ 楼主的这系列几何科普我读了多遍，受益菲浅。这一篇结尾说到了杨、陈两位老爷子的典故，不才在物理门里讨口饭吃，忍不住凑上两句。
按我理解，数学／几何从几个简单的基本公理假设出发严格推演出复杂定理体系。而物理的基础也同样是一些基本物理定律，像Maxwell方程，牛顿三定律什么的。由于物理定律需要用数学的语言来表述。那么一个物理理论的基础定律必须有相映的数学公理相匹配。 比如说，牛顿定律对应的是欧氏几何，规范场理论对应的是纤维丛、联络之类的事情。
有一个古老的传说，在科学帝国中，皇后叫“数”，皇帝叫“物”。皇帝和皇后平日里闲来无事在一起敦伦。他们敦伦的过程是这样的：“物”一时性起整出一个“假设”作为种子放到“数”的体内，（此处删除五千字）。经过十月怀胎，“假设”在“数”的体内茁壮成长，终于瓜熟蒂落，生出个皇子。狠心的“物”将皇子送去进行一种叫做“实验”的历练。若皇子没有经过考验，就将母子二人一起杀掉。上一任皇后人称“欧氏”，皇子名为“牛顿”。现在皇帝新宠叫“微芬姬”，皇子有“量子”、“规范场”等多人。
这个故事告诉我们，数学是人类理解、描述物理世界的语言，当二者的基础一致的时候，所有数学结果反映的都应该是自然世界中的物理现实，反之则可断定其基本假设是非自然的。数学源于物理，也将终于物理。数学是依附在物理之上的，当物理错误的时候，其上的数学也就失去了意义。当然，不排除皇后红杏出墙，跑到别人家里开枝散叶，那是另一回事情。皇帝有一个，皇后到不妨常换常新。数学工具对物理的发展意义重大。娶妻求娴熟，玩儿物理，数学工具的选用直接决定境界的高低。
数学是严格符合逻辑的，只有错误的物理，没有错误的数学。而真正的物理发现通常是跳跃而没有逻辑的，不可能从欧氏几何体系中推导出相对论。所以，杨老爷子说“数学家是凭空想象出来的”，这纯属诬蔑诽谤、倒打一耙！正真空手套白狼、无中生有正是他们这些玩儿物理的人！
家园 【讨论】群P时代 不好意思，回帖晚了，这一阵上网很受限制。
你这个比喻很有意思，不过可能有些过时。数学和物理大概是有过一段儿的，那是100年200年前的事儿了。今天么，让我怎么开口呢，是群P时代。
数学的情人很多。物理是老相好，不用说。其他的数都数不过来。就拿这些年经常被媒体曝光的来说，有计算机，统计（这哥俩而本来是数学的分支，总算独立了），经济（一小半儿的诺奖让数学家给拿了），金融（最近不少人嚷嚷着要让数学家为金融危机负责），生物（有没有听说过托姆Thom的突变论？），甚至化学（计算化学前几年拿过诺奖）。国防部的老爷们也常常来约，火箭卫星导弹啦，飞机雷达密码啥的，好像都沾边儿。天天来找他们也嫌麻烦，有的就干脆自己养一些，比如NASA。近来环境问题比较热闹，也有不少数学家做这个的，前一阵还看到某数学杂志出了个环境专刊，有些文章挺有意思。
当然，物理与众不同。不是数学问题有物理背景，甚至物理思想对数学也有影响，这方面的例子以前可能多一些，近百年越来越少，我知道的一个例子是Atiyah做指标定理时曾经听过一个基本粒子的讨论班，对他有些启发。不过，和其他情人相比，物理和数学单独相处的时间越来越少了。
就连数学家族内部也颇为混乱。代数，几何，数论，拓扑啥的，大家或许还耳熟。可后来逐渐有了代数几何，代数数论，代数拓扑，数的几何，更有算数代数几何。念着都拗口啊。
没办法，群P是个时代病。
这还不是关键，最重要的是，数学早已有了自己的独立王国。其实从阿基米德就有这样的倾向，真正成为“纯”数学家的，大概要算欧拉和高斯。而庞加莱之后，没有人敢说自己数学物理皆通了。数学似乎和不少学科都有一腿，其实八成的数学家干的活儿根本和应用搭不上边。
数学从其他学科寻找问题，汲取养料，但很快就和原来的问题走远了。好像是歌德（也可能是别人，总之是个德国人）说过：“数学家就像法国人，总是把别人的话翻译成自己的语言，然后就没人明白他们在说什么了。。。”还有一个比喻：数学家如同一个军队要进攻一座沙漠中的巨大堡垒，当他们发现强攻不下时，他们会选择绕道而行。可是沿途的美景让他们中的许多人流连忘返，停下脚步开垦荒地，建立庄园。等到多年之后堡垒终于被攻下时，四周早已由沙漠变成一片绿洲。
很多时候，物理（或其他学科）提出的大问题只是那座堡垒，指引着方向，而数学的收获常常远过于此。
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家园 花谢楼主好贴 这个精彩的系列，实在是让人期待。
最近看到楼主的文章，恰好买了一本《数学，新的黄金时代》，很有意思。从小到大，学校里学的都是现成的知识，对于这些知识的来历知之甚少。如果在课本里能增加一些数学史或者数学科普的内容，大概会有很多学生会提高兴趣，更重要是会了解数学并不是凭空而来的。
另外求教楼主，“直线”是在数学上是如何定义的？狗狗一下，只说在欧氏几何中直线是直观引入，没有定义。那么直线是否可以定义为“两点间最短距离的无限延伸”呢？
- 复 【讨论】群P时代
家园 【讨论】原来“皇后”早有外心，怪不得共同语言越来越少了 ：“数学家就像法国人，总是把别人的话翻译成自己的语言，然后就没人明白他们在说什么了。。。”对于玩儿物理的人来说，数学很多时候过于“絮叨”了，经常会把简单的事情搞复杂。所以，市面上很多名为《物理学家用的XXXX》的科普读物，这里XXXX代表微分几何、群论等等。即使这样，很多物理学者还是对这些“鬼画符”一样的数学工具充满了恐惧。所以时至今日在某些物理门派里面，偏微分方程是他们用到地最复杂的数学工具。事实上“偏微分方程”足以描述大多数物理问题。也许这就是物理、数学一对老情人渐行渐远的根本原因。
数学的裙下的新“面首”，计算机、统计、金融，密码，甚至包括火箭、卫星、飞机之类的工程问题，都是“人造”科学—— 我不确定这么说是否准确。这些科学的基础是源于人类社会中衍生出的“数字”，而不是自然。而人类思维的要比自然界“繁杂”（complication）得多。 “数学”研究的是“数”的结构，所以她变得越来越“繁杂”也是意料之中的事情。
物理门中之人大多坚信：自然是简洁的、不随描述方式改变而改变的。真正能够与物理情投意合的是“几何”。几何中对于空间的描述，本身就是人类对自然的理解，完全可以将其称之为“物理”。几何和数学应该是两件事情，是吧？
我多年来一直有个困扰：近现代物理的大多数进展是对于自然基本运行原理的研究，例如基本粒子、统一场、弦论之类的；对于由大量基本粒子构成的“复杂”（complex）系统，大多数时候是力不从心地，例如，湍流，还有熬死无数物理学家的可控核聚变。问题是，人类有没有可能找到一种能够有效描述“复杂”现象的数学工具；或者说以人类大脑的复杂程度，有没有可能理解自然界的“复杂”现象。莫大是数学达人，不知对此有何看法。
另，word文档可以直接存为pdf的。——我也看不到公式的说。
家园 数学和物理确实不太一样 即使是同样的问题，两者关心的重点也差异很大。
几何还是数学的一部分吧，还没听说要闹“几独”，我们坚决反对这一行为！
不过丘成桐倒是觉得物理应该是几何的一部分。要这样算，物理比数学差两辈呢。。。
“人造科学”的提法有道理，但不完全。比如统计学，能处理很多自然界的问题。数字也不是人造的，而是自然的一部分。（参见陈省身的那段话），没有人类社会，一棵树还是一棵树。
至于复杂系统，我不知道确切的含义是什么。可以肯定的是，人类的科技进步可以处理越来越复杂的事物。比如欧氏几何研究的是最简单的平面，而微分几何就研究复杂的多的曲面。
再比如气体是由大量气体分子组成，当然是很复杂的系统，但我们并不需要知道每个分子在干什么，而更关心整体表现。在这个层面上，统计物理和统计学可以解决大量问题。
此外，计算机的大规模应用可以帮助人们处理更复杂的计算。比如天气预报之类。
家园 呵呵，太形象了！！！
家园 上花支持 家园 这篇很深 都在讲微风流形了
家园 I can not agree any more 向量丛的概念可进一步抽象为更一般的“纤维丛”（fiber bundle）。纤维丛是二十世纪几何学的中心，与物理中的规范场论（gauge theory）有深刻紧密的联系。二十世纪七十年代，华人科学家中成就最高的两位大师，陈省身和杨振宁曾经在这个领域展开合作。陈省身是纤维丛的奠基人之一，而杨振宁则是规范场论的先驱。杨振宁对陈省身说：“非交换的规范场与纤维丛这个美妙的理论在概念上的一致，对我来说是一大奇迹。特别是数学家在发现它时没有参考物理世界。你们数学家是凭空想象出来的。”陈省身却立刻加以否认：“不，不，这些概念不是凭空想象出来的，它们是自然的，也是真实的！”陈先生的这个回答其实也是我这个系列想要表达的。数学虽然常常以抽象的面目示人，但它的核心思想却简洁而自然。数学的力量来自对大自然细致的观察和深刻的理解。数学尽管有自身的逻辑与工具，却仍是对客观世界的真实反映。所以数学理论经常领先于物理学并不令人奇怪，因为数学和物理原本就是对客观世界的不同刻画而已。本文已经提供了若干这样的例子，后文中我们还将看到更多有趣的例子。