主题：说说我对“文革期间”高等教育的看法(1) -- 达雅
家园 矩阵可以看作是两个空间的映射 一个矩阵M把原空间A映射到象空间B。显然，B空间维度<=A空间维度。剔除掉空间压缩的部分（例如全为零的行/列），那么维度必然相同。
家园 这理解不对 行空间与列空间同维 不是因为二者都等于 象空间的维数。
如果将向量表为列向量， 则象空间的维数等于列空间的维数。
如果将向量表为行向量， 则象空间的维数等于行空间的维数。
但是以上两段话不意味着行空间与列空间同维。因为在给定矩阵后，如用两个不同的对矩阵的解释（矩阵乘列向量 或者 行向量乘矩阵）则我们有不同的两个映射 从而有两个不同的象空间。
家园 非常谢谢热心回答。有帮助。 家园 行空间与列空间同维的直接解释 矩阵A代表一个 在两个线性空间W和V之间的 线性映射A。
矩阵A的列空间的维数是线性映射A的象空间的维数。
线性空间W和V 都有对偶空间（由线性空间上的线性函数构成）。
矩阵A诱导出 V的对偶空间 到 W的对偶空间 的线性映射B。B对应矩阵A的转置。所以B的列空间的维数（即B的象空间的维数）等于A的行空间的维数。
最后 有限维时 对偶空间的对偶空间是原先的线性空间。所以A的列空间维数 和B的列空间的维数 的关系 在交换AB后依然是对的。这意味着这两维数相等：即A的列空间和A的行空间同维。
这是标准的（最自然的）无需任何计算的证明。
之前另一个人的解释是错的。
家园 感谢仁兄花时间答疑。 个人以为，可梦之网友说的还是有些道理的，可能为了给我一个尽量浅显的解示，导致行文在行家眼里不太细腻。
行列同维的一个证明路数是，矩阵A 把列空间线性映射到行空间，所以 A列维 =< A行维 （这应该是可梦之网友帖中头两句话的意思）。用你的记号，用B 表示A 的转置。同理，B列维 =< B行维。因为A，B互为转置，B列=A行，B行=A列，所以A行维 =< A列维。 结合第一个不等式， A列维 = A行维。
我之所以发贴提问，是因为对这个证明路数感觉不舒服，比如‘同理’这个词（很可能是我自己脑子有问题）。
你贴中不同的地方是引入了对偶空间的概念，也许正是我需要的。不过我对对偶空间还未透彻掌握，需要时间领会。可能以后还要讨教。再谢。
家园 还是不对 矩阵A 把列空间线性映射到行空间，所以 A列维 =< A行维列空间是A的各个列向量张成的，行空间是A的各个行向量张成的。A怎么会是把列空间线性映射到行空间？
A把一组标准的基映为A的列向量（如果A在线性空间上的作用是从左边去乘一个列向量的话），所以列空间是A的象空间（image）.
对偶空间的论据是，如果A的列维大于B的列维，由于对偶的对偶是本身，B之于A和A之于B 是一样的。所以同样的道理意味着B的列维大于A的列维--矛盾出现。
- 复 线性代数
家园 我上大四的一门课，老师用的直接是米国某名校的本科教材， （我这个是加拿大一个排名还行的学校）情况就是没有老师的解说，这本教程（我）根本就看不懂。而且很厚，我们只能抽几章来讲。大四的课，而且是比较深，新的知识，结果学完后我基本现在回想不起来啥东西了。
家园 个人感觉数学得用才能明白 学了抽象代数返回来看线性代数就特清楚、可爱。
家园 你连工农兵学员的来历都不知道，再谈也没有意义 家园 呵呵，个例罢了 工农兵大学生学习时候的笑话我还能整一大箩呢。都是些个例，没啥意思。
研究问题，要看的全面。要有数据支持。
家园 【讨论】 我80年代碰到过“补课”的工农兵学员，连分数都不会算！
家园 觉得你不像是学理科的啊 用一个孤例来证明文革期间的工农兵学员水平高？
你至少把文革期间用的教材之类的相关材料列出来，让大家看看吧
通篇都是语焉不详
都是自以为是
仅以你自己而言，倒真是能证明你的观点：你们那一代学生质量不高，可是你肯定又不服气了