五千年(敝帚自珍)

主题:阿波罗尼奥斯问题-Prob. of Apollonius -- 理性网民

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    • 家园 【4.1】解析几何方法

      令给定直线l、m分别经过点(xA, yA)、(xB, yB)且其法线与x轴正向夹角分别为θl、θm,给定圆圆心C的坐标为(xC, yC),半径为rC。假设所求圆圆心为(x, y),半径为r。那么LLC问题等价于求解如下非线性方程组。其中xA、yA、xB、yB、xC、yC、θl、θm、rC为已知量,x、y、r为未知量。

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      方程组(4.1)的第一式要求直线l与所求圆相切。第二式要求直线m与所求圆相切。第三式要求圆C与所求圆相切。由于一个点到一条直线的距离可以是正值也可以是负值,第一式和第二式的右侧可以取正号也可以取负号。类似,两圆可以内切也可以外切,第三式的两个半径可以相加也可以相减。

      引入新变量r′ = r ± rC及坐标原点到直线l、m的法线长度pB、pC,方程组(4.1)等价于如下方程组。

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      方程组(4.2)用于求解某圆,其圆心与LLC问题所求圆相同,但是半径不同。第一式表示该圆与某平行于l的直线相切,该直线与l的距离为rC。第二式表示该圆与某平行于m的直线相切,该直线与m的距离为rC。第三式表示该圆经过圆C圆心。这意味着LLC问题可以通过转换为PLL问题求解。

      关键词(Tags): #几何
    • 家园 如果这三个圆是同心圆

      应该就无解了吧。进一步地,如果三个圆中有两个存在包含关系,还一定有解吗?或者这个命题要求三个圆不能存在包含甚至重叠?

      • 家园 解的存在性及个数 -- 有补充

        我尽量会在每个问题的分析中讨论解的存在性及个数,但是我感觉完全的讨论可能很难。我记得我高中时枚举过,所有的情况至少两三百。对于CCC问题,两个圆之间的位置关系有内含、内切、相交、外切、相离(还不算共圆心、圆心位于另一个圆上的情况),三个圆之间的相互关系感觉大概有5×5×5=125种。这么多情况,完全的讨论应该做不到,只能说尽力吧。

        关键词(Tags): #几何
        作者 对本帖的 补充(1)
        家园 在PCC之前就搞不定了 -- 补充帖

        PCC问题分析起来感觉一段话绝对搞不定。而且PPC和LLC里面写的感觉也很多错。我准备以后每个问题都补充发个《存在性及解的个数》。

      • 见前补充 4540734
  • 家园 【3】PLL问题

    问题:给定点A和两条直线l、m,找出过A点并与l、m相切的圆(如图)。

    :过l、m的交点做角平分线a。过A点做直线b垂直于a。此时有两种情况:

    1. 点A不在a上。在b上找到A点关于a的对称点P。所求圆必过A、P两点且与l(或m)相切,可以采用PPL问题的解法。
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    2. 点A在a上。延长b与l、m分别相交于P、Q两点。在b同侧及l、m上分别找到R、S两点使得|PA| = |PR|、|QA| = |QS|。所求圆必过A、R、S三点,可以采用PPP问题的解法。
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    证明:所求圆与l、m相切,故圆心必在角平分线a上,且该圆关于a对称。当点A不在a上时,所求圆同时过A点及A点关于a的对称点P;当点A在a上时,所求圆与b相切于A点。

    分析:当l、m相交时,依赖于A点的位置,可以将PLL问题转化为PPL问题和PPP问题求解。当l、m平行时,做与l、m等距的直线a来代替前述解法中的角平分线,可以采用完全相同的解法,将PLL问题转化为PPL问题和PPP问题求解。通常PLL问题有两个解。当l、m平行,且A不位于l、m之间时,PLL问题无解。

    关键词(Tags): #几何
    • 家园 【3.2】解的存在性和个数

      当l、m平行时,且点A在l、m之间,可以做与l、m等距的直线a来代替前述解法中的角平分线,采用完全相同的解法,将PLL问题转化为PPL问题和PPP问题求解。当l、m平行时,且点A在l、m外侧,问题无解。当l、m相交时,且点A不为l、m交点,那么依赖于A点的位置,可以将PLL问题转化为PPL问题和PPP问题求解。当l、m相交时,且点A为l、m交点,问题无解。

      解的数目总结如下。

      1. 当直线l与直线m平行:a)A位于l、m之间:两个解;b)A位于l、m某条直线之上:一个解;c)A位于l、m外侧:无解;
      2. 当直线l与直线m相交:a)A不为l、m交点:两个解;b)l、m相交于A:无解。

      关键词(Tags): #几何
    • 家园 【3.1】解析几何方法

      令给定点A的坐标为(xA, yA),给定直线l、m分别经过点(xB, yB)、(xC, yC)且其法线与x轴正向夹角分别为θl、θm。假设所求圆圆心为(x, y),半径为r。那么PLL问题等价于求解如下非线性方程组。其中xA、yA、xB、yB、xC、yC、θl、θm为已知量,x、y、r为未知量。

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      方程组(3.1)的第一式要求点A在所求圆上。第二式要求直线l与所求圆相切。第三式要求直线m与所求圆相切。同样,由于一个点到一条直线的距离可以是正值也可以是负值,第二式和第三式的右侧可以取正号也可以取负号。

      方程组(3.1)的后两式可以看作关于x和y的二元二次方程组。令r可以取正值也可以取负值。方程组(3.1)的后两式等价于如下方程组。

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      其中的正负号代表两式对应的r值符号不同。pB、pC分别为坐标原点到直线l、m的法线长度。

      将r当作已知,行列式det(A)可以用于判断方程是否有解。

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      当det(A)为零时,直线l、m互相平行,θm = θl或者θm= θl + π。由于l、m不重合,为使方程组有解,相应的r值为

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      得到r值以后,x和y值可以根据方程组(3.1)的前两式求出。

      当det(A)不为零时,x和y可以表示成为r的函数。

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      其中E点(xE, yE)为直线l与直线m的交点,(kx, ky)为与角平分线a平行的向量。向量(kx, ky)的长度为

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      其中ϕ = (θm − θl)/2或者(θm − θl − π)/2,等于直线l与直线m之间夹角的一半。将式(3.5)代入方程组(3.1)的第一式,合并同类项后可以得到r需要满足的方程。

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      化简以后,可以得到式(3.7)的判别式为

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      其中ψ为线段AE和角平分线a的夹角。直线l与直线m将整个平面分成四个区域。当ψ > ϕ,点A与角平分线a位于不同的区域,此时Δ < 0,r无实数解。当ψ = ϕ,点A位于直线l或直线m上,此时Δ = 0,r有一个实数解。当ψ < ϕ,点A与角平分线位于同一区域,此时Δ > 0,r有两个相异的实数解。得到r值以后,x和y值可以根据方程组(3.5)求出。

      关键词(Tags): #几何
  • 家园 【2】PPL问题

    问题:给定两点A、B和一条直线l,找出过A、B两点并与l相切的圆。

    :连接A、B两点得到直线m,延长m与l相交于O点。在l上找到点P使得|OP|2 = |OA|×|OB|,那么所求圆必与l相切于P点。这意味着所求圆经过A、B、P三点,可以采用PPP问题的解法。

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    证明:假定l与所求圆相切于P点。那么经过O点直线m与此圆相交于A、B两点,同样经过O点直线l与此圆相切于P点。那么|OP|2 = |OA|×|OB|。这样P点的位置可以由A、B、O三点所确定。

    分析:当m与l相交于O点,在l上有两点与O点距离满足等式|OP|2 = |OA|×|OB|。这两点对应于问题的两个解。当m与l平行时,切点P在线段AB的中垂线上。此时问题只有一个解。当A、B两点位于直线l异侧时,PPL问题无解。

    评论:PPL问题最终转化为PPP问题进行求解。同时,如果选择O点作为反演变换的中心而且采用合适的变换常数,A、B两点在变换前后变换位置,直线l在变换前后保持不变,而所求圆在变换前后不变。

    关键词(Tags): #几何通宝推:ton,
    • 家园 【2.2】解的存在性和个数

      当线段AB所在直线与直线l平行时,切点P在线段AB的中垂线上。此时问题只有一个解。当线段AB所在直线与直线l相交时,根据A、B两点与直线l的相对位置,PPL问题可以有两个解,一个解,或者无解。

      解的数目总结如下。

      1. 当AB与直线l平行:一个解;
      2. 当AB与直线l相交:a. A、B两点位于直线l同侧:两个解;b. A、B两点中有一点位于直线l上:一个解;c. A、B两点位于直线l异侧,或者A、B同时在直线l上:无解。

      关键词(Tags): #几何
    • 家园 【2.1】解析几何方法

      令给定点A、B的坐标分别为(xA, yA)、(xB, yB),给定直线l经过点(xC, yC)且其法线与x轴正向夹角为θ。假设所求圆圆心为(x, y),半径为r。那么PPL问题等价于求解如下非线性方程组。其中xA、yA、xB、yB、xC、yC、θ为已知量,x、y、r为未知量。

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      方程组(2.1)的第一式要求点A在所求圆上。第二式要求点B在所求圆上。第三式要求直线l与所求圆相切。由于一个点到一条直线的距离可以是正值也可以是负值,第三式右侧可以取正号也可以取负号。

      为了求解方程组(2.1),用第一式减去第二式。考虑到第三式的正负号问题,令r可以取正值也可以取负值。这样可以得到如下等价方程组

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      方程组(1.2)的第二式要求所求圆圆心在线段AB的中垂线上。

      方程组(1.2)的后两式可将x和y表示成为r的函数。将r当作已知,行列式det(A)可以用于判断方程是否有解。

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      当det(A)为零时,线段AB与直线l垂直,而线段AB的中垂线与直线l平行。为使方程组有解,方程组后两式的系数必须成比例。相应的r值为

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      其中D点(xD, yD)为A、B两点的中点,pC为坐标原点到直线l的距离。得到r值以后,x和y值可以根据方程组(2.2)的前两式求出。

      当det(A)不为零时,令

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      x和y可以表示成为r的函数。

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      其中E点(xE, yE)为线段AB的中垂线与直线l的交点,(kx, ky)为与线段AB垂直的向量。向量(kx, ky)的长度为

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      其中ϕ为线段AB的中垂线与直线l的夹角。将式(2.6)代入方程组(2.2)的第一式,可以得到r需要满足的方程。

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      式(2.8)可以变换成如下一元二次方程形式。

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      当sin(ϕ) = 1时,线段AB与直线l平行,式(2.9)二次项系数为零,r有一个实数解。当sin(ϕ) < 1时,式(2.9)判别式为

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      根据向量(kx, ky)的几何意义,可以将式(2.10)的最后一项变换为

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      将式(2.11)代入,式(2.10)等价于

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      其中ψ为线段AE和线段DE之间的夹角AED。当ψ > ϕ,点A、B位于直线l异侧,此时Δ < 0,r无实数解。当ψ = ϕ,点A、B中某点位于直线l上,此时Δ = 0,r有一个实数解。当ψ < ϕ,点A、B位于直线同侧,此时Δ > 0,r有两个相异的实数解。得到r值以后,x和y值可以根据方程组(2.6)求出。

      关键词(Tags): #几何
    • 家园 AB的中垂线和∠AOP的平分线交点就是所求圆的圆心

      这个方法实现更简单

    • 家园 请教,能不能解释一下

      |OP|^2 =|OA| * |OB| 这个关系是怎么得来的?是不是有很简洁的证明?

      另外在 A、B 分别在 l 线的两侧时,上面的算术关系依旧可以成立,但是确实没法画出个圆来,这个又是怎么证明来确定无解?

      • 家园 |OP|2 = |OA|×|OB|的证明

        如图,已知圆O及圆外一点P。过P点做直线与圆O相交于A、B两点。过P点做直线与圆O相切与C点。我们将证明三角形PAC与三角形PCB相似。因为这两个三角形共有一个顶点P,所以我们只需证明∠PAC = ∠PCB。

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        连接OA、OB、OC。PC与圆O相切于C点,故OC与PC垂直,∠PCB+∠OCB = 90°(等式1)。又B、C两点在圆O上,三角形OBC为等腰三角形,故∠BOC+∠OCB+∠OBC = 180°(等式2)且∠OCB = ∠OBC(等式3)。综合式2、3可得∠BOC+2∠OCB = 180°(等式4)。综合式1、4可得∠BOC = 2∠PCB。

        同理,三角形OAB及三角形OAC都是等腰三角形,故∠OAC = ∠OCA且∠OAB = ∠OBA。利用三角形ABC的内角和为180°,180° = ∠BAC+∠ABC+∠ACB = ∠BAC+∠OBA+∠OBC+∠OCA+∠OCB = ∠BAC+∠OAB+∠OCB+∠OAC+∠OCB = ∠BAC+(∠OAB+∠OAC)+2∠OCB = 2∠BAC+2∠OCB。这等价于∠BAC+∠OCB = 90°(等式5)。注意到图中O点在三角形ABC的内部,但式5的成立并不需要O点在三角形ABC的内部。综合式4、5可得∠BOC = 2∠BAC。

        这样我们得到∠BOC = 2∠PCB且∠BOC = 2∠BAC,故∠PCB = ∠BAC。故三角形PAC与三角形PCB相似。故|PA|/|PC| = |PC|/|PB|,故|PC|2 = |PA|×|PC|。

        第二个问题我觉得可以这么理解,要是有个圆与所给直线相切,那么这个圆必然在这个直线的某一侧,它不可能过位于直线异侧的两个点。

        关键词(Tags): #几何通宝推:mezhan,铁手,
        • 家园 多谢。看了后,我觉得这个证明可以更简单一些

          在上面这个图中,因为 PC是圆切线,并且 ∠BCP 和 ∠CAP 对应同一段弧,所以这两个角度值相同。

          加上共同的夹角 ∠BPC,∠CPA。

          所以 三角形 ACP 和 CBP 两者相似。

          因此三角形的对应边成比例,于是 CP/AP = BP/CP,

          也就是说 CP^2 = AP * BP

          对应到你前面那个图,就是 OP^2 = OA * OB。

          我在慢慢一步一步看你的解。以前学的东西,也慢慢回来一些。动动脑筋,感觉很好。

          通宝推:mezhan,
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