主题：阿波罗尼奥斯问题-Prob. of Apollonius -- 理性网民
- 复 【4】LLC问题
家园 【4.1】解析几何方法 令给定直线l、m分别经过点(xA, yA)、(xB, yB)且其法线与x轴正向夹角分别为θl、θm，给定圆圆心C的坐标为(xC, yC)，半径为rC。假设所求圆圆心为(x, y)，半径为r。那么LLC问题等价于求解如下非线性方程组。其中xA、yA、xB、yB、xC、yC、θl、θm、rC为已知量，x、y、r为未知量。
方程组（4.1）的第一式要求直线l与所求圆相切。第二式要求直线m与所求圆相切。第三式要求圆C与所求圆相切。由于一个点到一条直线的距离可以是正值也可以是负值，第一式和第二式的右侧可以取正号也可以取负号。类似，两圆可以内切也可以外切，第三式的两个半径可以相加也可以相减。
引入新变量r′ = r ± rC及坐标原点到直线l、m的法线长度pB、pC，方程组（4.1）等价于如下方程组。
方程组（4.2）用于求解某圆，其圆心与LLC问题所求圆相同，但是半径不同。第一式表示该圆与某平行于l的直线相切，该直线与l的距离为rC。第二式表示该圆与某平行于m的直线相切，该直线与m的距离为rC。第三式表示该圆经过圆C圆心。这意味着LLC问题可以通过转换为PLL问题求解。
关键词(Tags): #几何， 家园 如果这三个圆是同心圆 应该就无解了吧。进一步地，如果三个圆中有两个存在包含关系，还一定有解吗？或者这个命题要求三个圆不能存在包含甚至重叠？
家园 解的存在性及个数 -- 有补充 我尽量会在每个问题的分析中讨论解的存在性及个数，但是我感觉完全的讨论可能很难。我记得我高中时枚举过，所有的情况至少两三百。对于CCC问题，两个圆之间的位置关系有内含、内切、相交、外切、相离（还不算共圆心、圆心位于另一个圆上的情况），三个圆之间的相互关系感觉大概有5×5×5=125种。这么多情况，完全的讨论应该做不到，只能说尽力吧。
关键词(Tags): #几何，作者 对本帖的 补充(1)家园 在PCC之前就搞不定了 -- 补充帖 PCC问题分析起来感觉一段话绝对搞不定。而且PPC和LLC里面写的感觉也很多错。我准备以后每个问题都补充发个《存在性及解的个数》。
见前补充 4540734
家园 【3】PLL问题 问题：给定点A和两条直线l、m，找出过A点并与l、m相切的圆（如图）。
解：过l、m的交点做角平分线a。过A点做直线b垂直于a。此时有两种情况：
- 点A不在a上。在b上找到A点关于a的对称点P。所求圆必过A、P两点且与l（或m）相切，可以采用PPL问题的解法。
- 点A在a上。延长b与l、m分别相交于P、Q两点。在b同侧及l、m上分别找到R、S两点使得|PA| = |PR|、|QA| = |QS|。所求圆必过A、R、S三点，可以采用PPP问题的解法。
证明：所求圆与l、m相切，故圆心必在角平分线a上，且该圆关于a对称。当点A不在a上时，所求圆同时过A点及A点关于a的对称点P；当点A在a上时，所求圆与b相切于A点。
分析：当l、m相交时，依赖于A点的位置，可以将PLL问题转化为PPL问题和PPP问题求解。当l、m平行时，做与l、m等距的直线a来代替前述解法中的角平分线，可以采用完全相同的解法，将PLL问题转化为PPL问题和PPP问题求解。通常PLL问题有两个解。当l、m平行，且A不位于l、m之间时，PLL问题无解。
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家园 【3.2】解的存在性和个数 当l、m平行时，且点A在l、m之间，可以做与l、m等距的直线a来代替前述解法中的角平分线，采用完全相同的解法，将PLL问题转化为PPL问题和PPP问题求解。当l、m平行时，且点A在l、m外侧，问题无解。当l、m相交时，且点A不为l、m交点，那么依赖于A点的位置，可以将PLL问题转化为PPL问题和PPP问题求解。当l、m相交时，且点A为l、m交点，问题无解。
解的数目总结如下。
- 当直线l与直线m平行：a）A位于l、m之间：两个解；b）A位于l、m某条直线之上：一个解；c）A位于l、m外侧：无解；
- 当直线l与直线m相交：a）A不为l、m交点：两个解；b）l、m相交于A：无解。
关键词(Tags): #几何， - 复 【3】PLL问题
家园 【3.1】解析几何方法 令给定点A的坐标为(xA, yA)，给定直线l、m分别经过点(xB, yB)、(xC, yC)且其法线与x轴正向夹角分别为θl、θm。假设所求圆圆心为(x, y)，半径为r。那么PLL问题等价于求解如下非线性方程组。其中xA、yA、xB、yB、xC、yC、θl、θm为已知量，x、y、r为未知量。
方程组（3.1）的第一式要求点A在所求圆上。第二式要求直线l与所求圆相切。第三式要求直线m与所求圆相切。同样，由于一个点到一条直线的距离可以是正值也可以是负值，第二式和第三式的右侧可以取正号也可以取负号。
方程组（3.1）的后两式可以看作关于x和y的二元二次方程组。令r可以取正值也可以取负值。方程组（3.1）的后两式等价于如下方程组。
其中的正负号代表两式对应的r值符号不同。pB、pC分别为坐标原点到直线l、m的法线长度。
将r当作已知，行列式det(A)可以用于判断方程是否有解。
当det(A)为零时，直线l、m互相平行，θm = θl或者θm= θl + π。由于l、m不重合，为使方程组有解，相应的r值为
得到r值以后，x和y值可以根据方程组（3.1）的前两式求出。
当det(A)不为零时，x和y可以表示成为r的函数。
其中E点(xE, yE)为直线l与直线m的交点，(kx, ky)为与角平分线a平行的向量。向量(kx, ky)的长度为
其中ϕ = (θm − θl)/2或者(θm − θl − π)/2，等于直线l与直线m之间夹角的一半。将式（3.5）代入方程组（3.1）的第一式，合并同类项后可以得到r需要满足的方程。
化简以后，可以得到式（3.7）的判别式为
其中ψ为线段AE和角平分线a的夹角。直线l与直线m将整个平面分成四个区域。当ψ > ϕ，点A与角平分线a位于不同的区域，此时Δ < 0，r无实数解。当ψ = ϕ，点A位于直线l或直线m上，此时Δ = 0，r有一个实数解。当ψ < ϕ，点A与角平分线位于同一区域，此时Δ > 0，r有两个相异的实数解。得到r值以后，x和y值可以根据方程组（3.5）求出。
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- 点A不在a上。在b上找到A点关于a的对称点P。所求圆必过A、P两点且与l（或m）相切，可以采用PPL问题的解法。
家园 【2】PPL问题 问题：给定两点A、B和一条直线l，找出过A、B两点并与l相切的圆。
解：连接A、B两点得到直线m，延长m与l相交于O点。在l上找到点P使得|OP|2 = |OA|×|OB|，那么所求圆必与l相切于P点。这意味着所求圆经过A、B、P三点，可以采用PPP问题的解法。
证明：假定l与所求圆相切于P点。那么经过O点直线m与此圆相交于A、B两点，同样经过O点直线l与此圆相切于P点。那么|OP|2 = |OA|×|OB|。这样P点的位置可以由A、B、O三点所确定。
分析：当m与l相交于O点，在l上有两点与O点距离满足等式|OP|2 = |OA|×|OB|。这两点对应于问题的两个解。当m与l平行时，切点P在线段AB的中垂线上。此时问题只有一个解。当A、B两点位于直线l异侧时，PPL问题无解。
评论：PPL问题最终转化为PPP问题进行求解。同时，如果选择O点作为反演变换的中心而且采用合适的变换常数，A、B两点在变换前后变换位置，直线l在变换前后保持不变，而所求圆在变换前后不变。
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家园 【2.2】解的存在性和个数 当线段AB所在直线与直线l平行时，切点P在线段AB的中垂线上。此时问题只有一个解。当线段AB所在直线与直线l相交时，根据A、B两点与直线l的相对位置，PPL问题可以有两个解，一个解，或者无解。
解的数目总结如下。
- 当AB与直线l平行：一个解；
- 当AB与直线l相交：a. A、B两点位于直线l同侧：两个解；b. A、B两点中有一点位于直线l上：一个解；c. A、B两点位于直线l异侧，或者A、B同时在直线l上：无解。
关键词(Tags): #几何， - 复 【2】PPL问题
家园 【2.1】解析几何方法 令给定点A、B的坐标分别为(xA, yA)、(xB, yB)，给定直线l经过点(xC, yC)且其法线与x轴正向夹角为θ。假设所求圆圆心为(x, y)，半径为r。那么PPL问题等价于求解如下非线性方程组。其中xA、yA、xB、yB、xC、yC、θ为已知量，x、y、r为未知量。
方程组（2.1）的第一式要求点A在所求圆上。第二式要求点B在所求圆上。第三式要求直线l与所求圆相切。由于一个点到一条直线的距离可以是正值也可以是负值，第三式右侧可以取正号也可以取负号。
为了求解方程组（2.1），用第一式减去第二式。考虑到第三式的正负号问题，令r可以取正值也可以取负值。这样可以得到如下等价方程组
方程组（1.2）的第二式要求所求圆圆心在线段AB的中垂线上。
方程组（1.2）的后两式可将x和y表示成为r的函数。将r当作已知，行列式det(A)可以用于判断方程是否有解。
当det(A)为零时，线段AB与直线l垂直，而线段AB的中垂线与直线l平行。为使方程组有解，方程组后两式的系数必须成比例。相应的r值为
其中D点(xD, yD)为A、B两点的中点，pC为坐标原点到直线l的距离。得到r值以后，x和y值可以根据方程组（2.2）的前两式求出。
当det(A)不为零时，令
x和y可以表示成为r的函数。
其中E点(xE, yE)为线段AB的中垂线与直线l的交点，(kx, ky)为与线段AB垂直的向量。向量(kx, ky)的长度为
其中ϕ为线段AB的中垂线与直线l的夹角。将式（2.6）代入方程组（2.2）的第一式，可以得到r需要满足的方程。
式（2.8）可以变换成如下一元二次方程形式。
当sin(ϕ) = 1时，线段AB与直线l平行，式（2.9）二次项系数为零，r有一个实数解。当sin(ϕ) < 1时，式（2.9）判别式为
根据向量(kx, ky)的几何意义，可以将式（2.10）的最后一项变换为
将式（2.11）代入，式（2.10）等价于
其中ψ为线段AE和线段DE之间的夹角AED。当ψ > ϕ，点A、B位于直线l异侧，此时Δ < 0，r无实数解。当ψ = ϕ，点A、B中某点位于直线l上，此时Δ = 0，r有一个实数解。当ψ < ϕ，点A、B位于直线同侧，此时Δ > 0，r有两个相异的实数解。得到r值以后，x和y值可以根据方程组（2.6）求出。
关键词(Tags): #几何， - 复 【2】PPL问题
家园 AB的中垂线和∠AOP的平分线交点就是所求圆的圆心 这个方法实现更简单
- 复 【2】PPL问题
家园 请教，能不能解释一下 |OP|^2 =|OA| * |OB| 这个关系是怎么得来的？是不是有很简洁的证明？
另外在 A、B 分别在 l 线的两侧时，上面的算术关系依旧可以成立，但是确实没法画出个圆来，这个又是怎么证明来确定无解？
家园 |OP|2 = |OA|×|OB|的证明 如图，已知圆O及圆外一点P。过P点做直线与圆O相交于A、B两点。过P点做直线与圆O相切与C点。我们将证明三角形PAC与三角形PCB相似。因为这两个三角形共有一个顶点P，所以我们只需证明∠PAC = ∠PCB。
连接OA、OB、OC。PC与圆O相切于C点，故OC与PC垂直，∠PCB+∠OCB = 90°（等式1）。又B、C两点在圆O上，三角形OBC为等腰三角形，故∠BOC+∠OCB+∠OBC = 180°（等式2）且∠OCB = ∠OBC（等式3）。综合式2、3可得∠BOC+2∠OCB = 180°（等式4）。综合式1、4可得∠BOC = 2∠PCB。
同理，三角形OAB及三角形OAC都是等腰三角形，故∠OAC = ∠OCA且∠OAB = ∠OBA。利用三角形ABC的内角和为180°，180° = ∠BAC+∠ABC+∠ACB = ∠BAC+∠OBA+∠OBC+∠OCA+∠OCB = ∠BAC+∠OAB+∠OCB+∠OAC+∠OCB = ∠BAC+（∠OAB+∠OAC）+2∠OCB = 2∠BAC+2∠OCB。这等价于∠BAC+∠OCB = 90°（等式5）。注意到图中O点在三角形ABC的内部，但式5的成立并不需要O点在三角形ABC的内部。综合式4、5可得∠BOC = 2∠BAC。
这样我们得到∠BOC = 2∠PCB且∠BOC = 2∠BAC，故∠PCB = ∠BAC。故三角形PAC与三角形PCB相似。故|PA|/|PC| = |PC|/|PB|，故|PC|2 = |PA|×|PC|。
第二个问题我觉得可以这么理解，要是有个圆与所给直线相切，那么这个圆必然在这个直线的某一侧，它不可能过位于直线异侧的两个点。
关键词(Tags): #几何， 通宝推：mezhan,铁手,家园 多谢。看了后，我觉得这个证明可以更简单一些 在上面这个图中，因为 PC是圆切线，并且 ∠BCP 和 ∠CAP 对应同一段弧，所以这两个角度值相同。
加上共同的夹角 ∠BPC，∠CPA。
所以 三角形 ACP 和 CBP 两者相似。
因此三角形的对应边成比例，于是 CP/AP = BP/CP，
也就是说 CP^2 = AP * BP
对应到你前面那个图，就是 OP^2 = OA * OB。
我在慢慢一步一步看你的解。以前学的东西，也慢慢回来一些。动动脑筋，感觉很好。
通宝推：mezhan,