主题：【原创】数学，实在与其他学科 上 -- 大雪满天
一
其实，这天，这人-A-不应该出现在这地方。
这是社会学教授的地盘。
这教授每次上完课还喜欢再作十五分钟的题外发挥。
往常，A只是默默在角落里忍受十五分钟---他不学社会学，但他有个哥们学这个，他每次在别处上完课，都得赶到这里，忍受十五分钟，等哥们解放后一起去吃午饭。
这天，A终于忍不住了--他来的时候，正赶上教授把数学家划入神秘主义者之列。
有学生问为什么，教授说：他们相信一些根本不存在的数。
A激动了(就跟我一样，容易激动)：什么数？
教授答：i,负1的平方根，这是根本不存在的，数学家自己也叫它虚数，但他们又相信虚数以某种神秘的方式存在着。
A怒了：虚数根本没有任何神秘的，同其他任何数一样现实。
教授一见活靶子，立时大喜，脱手就是例不虚发的小李飞刀：
啊哈，我们这里有一位年青的数学家，想要证明虚数的现实性。
很好，请给我拿出i支粉笔来。
A说：我做得到的，如果你能先拿出半支粉笔来。
教授微笑了一下，(估计心里已经有点不详的预感了)：
很好，
然后他把手里的粉笔掰成了两半，递了一半过去。
A接过那一半说：你还没有做到，这是一支粉笔，不是半支。
A举起手里的粉笔，面向观众：
你们说，这是不是一支粉笔--很明显，它不是两支，三支粉笔。
教授笑不出来了，他还想从量的角度分辩，A继续说：
你怎么知道它是一半，而不是0.48或0.52呢？
如果你连一半的意义都不清楚，又怎么能认为你有资格谈论负1的平方根呢？
于是，教授丧失了一切尽在掌握的泰然，嚷道：
把这个混蛋撵出去。
A大笑着走出了教室。
上面讲的，是一个真实的故事。
(关于这个故事的内涵，我们回头还要讨论。)
二
出现在公众文化视野中的J，只是一段风花雪月传奇的点缀，
是一个才女绝代风华的最佳见证。
当然，J在那段传奇中的身影，从任何角度看，都是完美人格的体现。
因传奇而进入公众视野，并不辱没了J的身份。
然而，J有比传奇中配角更重要的身份---他是个哲学家，是上个世纪可以当之无愧称为
哲学家的少有的几个中国人中的一个。
不用说远了，下面这段话就可以看出他的水平：
好久以前，我对于算学家十分景仰，他们可以坐在书房里写公式，不必求呵于自然界，而自然
界却毫无反抗地自动接受算学公式。这在我似乎表示自然界有算学公式那样的秩序。后来研究
逻辑，自己有感觉到逻辑也有那闭门造车出门合辙底情形。近来经奥人维特根斯坦与英人袁梦
西底分析才知道逻辑命题都是穷尽可能的必然命题。这样的命题对于一件一件的事实毫无表示
，而对于所有的可能都分别承认之。对于事实无表示，所以它不能假，对于所有的可能都分别
地承认之，所以它必真。
[SIZE=3]要理解数学，实在和其他学科的关系，没有比这段话更简明扼要的了。[/SIZE]
三
虚数是实在的，同实数一样实在。
但这只是数学的实在。
数学提供实在，提供可以与客观实在构成对应的数学的实在(也提供暂时还不与任何客观实在构成对应的数学的实在。)，
但并不提供两种实在的具体对应方式。
寻求这种对应方式，是物理学，经济学等其他学科的任务。
人们认为虚数神秘，不实在--比实数更不实在，只是一种错觉。
这种错觉产生的根源在于---寻求并确定对应方式的能力的局限性。
1，2，3....这些自然数，和存在序关系第1，第2，第3...的客观实在，如个子高矮，成绩好坏，贡献大小等等之间的对应方式，
是普通人都掌握的。
(其实这也是习得的，小孩子数数的能力并不是天生的。)
0.5, 0.3, 0.22 .... 这些小数，与可以与之构成对应关系的客观实在，如长度，面积，产量
之间的对应方式，也是大家在社会生活中熟悉的。
而 i, 3i, 7+5i .... 可以与什么客观实在构成对应关系，如何确定对应方式，不是每个人都了解的。
数学家和物理学家发现，把一个平面上的所有各点同数
字系统彼此联系起来是非常有用的。如果没有所谓虚数，他
们就无法做到这一点了。
我们还可以介绍一个有趣的例子，
年轻人找到了这座岛，也找到了橡树和松树，但绞架由于风吹日晒雨淋已糟烂成土。年轻人只好失望而归。这是一个令人伤心的故事。但更加令人伤心的是，如果这个小伙子懂点关于虚数的数学，宝藏本来是跑不了的：
把这个岛看成一个复数平面。过两棵树干画一轴线，过两树中点与实轴垂直作虚轴，并以两树距离的一半作长度单位。这样，橡树位于实轴上的-1点上，松树则在＋1点上。我们不知绞架在何处，用大写的希腊字母Γ（这个字母的样子倒像个绞架）表示其假设的位置。这个位置不一定在两根轴上，因此，Γ应该是个复数：Γ=a＋bi，既然绞架在Γ，橡树在-1,两者的距离和方位变为-1-Γ。同理，绞架与松树相距1-Γ。将这两端距离分别顺时针和逆时针旋转90，也就是按复数定义把两个距离分别乘以-i和i。这样便可得出两根桩的位置为：第一根，（-i）[-(1+Γ)]+1=i(Γ+1)+1,
第二根，(+i)(1-Γ)-1=i(1-Γ)-1
宝藏在两根桩的正中，因此，可以求出上述复数之和的一半，即：
1/2[i(Γ+1)+I(1-Γ)-1=1/2[iΓ+i+1+i-iΓ-1]=1/2(2i)=i
奇妙的事发生了，Γ表示的未知绞架的位置已在运算过程中消失了，不管绞架在何处，宝藏都在＋i这个点上。这个失望的小伙子本来只要在图中打×处动一动铁锹，就可以发财了。当然，动铁锹前要先动脑子。
如果小伙子懂复数，如果他能确定藏宝地点这一客观实在与虚数这一数学的实在之间的关系，他就不会空手而归了。
说某种数学实在神秘，虚幻，不实在，往往只是论者拙于把握数学实在与客观实在之间对应关系的表现。社会学教授就是这样，他只懂得简单浅显的数学与客观对应的方式，就只把他找得到对应的数学实在称为实在，而其他数学实在统统称为不实在。
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四
数学营建的是一个观念实在的世界，这个世界里充满的是概念，符号，公式等等。
人类置身的是一个客观实在的世界，这个世界里充满的是自然现象和社会活动。
对于二者的关系，我们可以用一个简单的比喻来把握：
数学就象造房子，客观世界的实在就象人群。
我们想要理解客观实在，就相当于要给在街上游荡的人群找到住所。
这住所可能是现成的，只需要把人群领进去住，也可能压根就没有，还得自己从头造。
牛顿想给天体运动这个实在找个栖身之所，看了看，数学世界里根本没有现成合适的，所以牛顿自己动手，造出了微积分这栋大厦，让他研究的实在住得舒舒服服。
(A好象说过，如果要评第二伟大的物理学家，可能会很有争议。而第一毫无疑问属于牛顿，理由之一，就是他所需要的数学工具他能自己一手打造。)
不是说要把握客观实在，就一定要建造出复杂的，金碧辉煌的大厦。
很多时候，某个一直在无家可归的客观实在，如果真的了解清楚他的结构，也可能发现他只需要一间陋室就可以栖身。
比如说，经济学中很出名的MM第一定理，用到的数学不过分数而已，你要把那叫做数学工具，
数学家都会有受辱的感觉。
有很多时候，也有些豪宅建成了一直没有人入住---没找到适合入住的人。
数学家只管房子建得是否美观，是否稳固，一点都不操心下面的世界有没有人适合住进去。
然而，这世界最美妙的事情之一是，不管数学家如何不食人间烟火，不关心民间疾苦，不管他们造的房子造型多么奇特，最后总能找到合适的住户，总能大庇某个客观实在的寒士。
黎曼几何与广义相对论就是一个典型的例子。
跟我们中国人关系更紧密的例子纤维丛和规范场是：
五
数学是数学，其他学科是其他学科。
数学和XX学是两个学科，这话在一般意义上对的---
数学盖房子，XX学把XX实在引入合适的房子，这是数学和XX学的分工。
但是，一旦客观实在在数学世界找到了栖身之所---即我们为一种客观实在找到了恰当的数学表达方式。
然后通过符合规则的数学变换得到的新的表达方式--就象房子和房客进行彼此呼应的变形，不管怎么变，这房子必仍然适合这房客居住。
这是说，如果最初的数学表达式正确地把握了某个客观实在的XX学意义，那么，经过符合规则的数学变换，这种XX学意义必然是得到保持的。
这种保持可以从宽窄两方面去理解：
从宽的方面来讲，不管变多远，如果这种变换是符合规则的，我们总可以把他变回去。
比如说，如果最初有 A=B*C 成立，它的经济学意义是某个量是另两个变量之积，那么，在等式两边加减乘除任何数字，我们都可以通过逆运算返回原式，从而返回原经济学意义。
从窄的方面理解，不应该泛泛进行数学变换，而只应该进行那种具有经济学意义的数学变换，
继续使用上例，假如A是某个产业的产值，B，C是生产要素的量，那么要保持经济学意义，我们就不能在等式两边同时除以-0.5328之类的泛泛的数字，而如果以D表示所有产业的总产值，
那么，A/D = (B*C)/D 就是合适的，保持了经济学意义的变换。
在TFP的计算中，可以进行对数处理。
但是这种处理，从宽式理解来说，它必然可以逆运算而获得非对数的表达。
而从窄式理解来说，取对数本身是没有经济学意义的---对数的底是e也好，是2也好，是10也好，都没有关系，都与要把握的客观经济实在没有丝毫关系，都可以完美地达到同一目的--把非线性关系转化成易于处理的线性关系。
所以，在已经确认数学表达之后，进行本来没有经济学意义的数学变换，然后声称变换后的公式有经济学意义，而变换前的公式反而没有经济学意义，
并声称，数学和经济学是两个学科。
这种神秘的经济学是不符合事实的。
六
这篇帖子码字也码了这么久，至少希望大家可以看到，我对数学，实在和其他学科之间的关系有过不自今日始的思考，
，也希望大家可以理解，我对神秘经济学的厌弃和发文讨论，纯粹出于对学术的维护。
当然，我也可能错，也很希望看到有朋友指出我学术方面的错，但请不要把讨论引到学术之外，妄自猜度我眼红某某，或是要赶走某某。
如果非要那样的话，我只能再说一次：你们心理不洁。
好了，我的马甲之旅就到此结束--当然，如果有人还有继续对我攻击，我保留申辩的权利。
如果没有枝节旁生，这个马甲和原ID，都将消失。
祝大家泡河时该开心时开心，该认真时也认真。
再见。
附：
A是阿西莫夫。
J是金岳霖。
这样处理只是不想先用名人压人，大家读的时候可以不受名人的名头影响而独立思考，避免大牛效应。
ID消失，大可不必。
学数学的人那种异样的灵动，奇特的逻辑头脑如同在眼前闪过一样真实
恭喜：你意外获得【通宝】一枚
谢谢：作者意外获得【通宝】一枚
鲜花已经成功送出。
此次送花为【有效送花赞扬，涨乐善、声望】
非常优秀的科普。
刚发现自己在新兵营也不能推荐了。
为客观实在寻找恰当的表达方式——数学这种表达方式的“恰当性”会不会是唯一的？
那些参数的取值不是事先确定的，而是通过回归分析来求得。
但如果参数已经确定下来了，就不再需要回归，也就不需要对数。
另外，你可以把我这段话和前面的话给你的朋友看，如果有错，请他指出来，多谢。
MSN上的她说，
常见的三种转换模式
lny 和 x
x 和 lny
lny 和 lnx
这些对数模型是有经济含义的，每个转换都有其相应的解释和应用。
她不愿和我罗嗦了。让我自己去上课。
MMD,回头我问别人去。
但有两点是明确的：
1
数学的优越性很明显，没有其他任何可能的表达
在这方面可以与数学比肩。
2
一旦在数学中获得了表达，就要尊重这种表达。
特别是最近的这次公理化运动的失败。