主题：我爱跑步：关于跑姿的一些物理数学模型 -- 庄户人家

夹带私货：

作为一个2007年投河 的河友，我是非常珍惜西西河这个网站的。这么多年以来看到西西河有了许多的变化。其中之一就是清谈之风逐渐旺盛，像以前做木工，做枪械改造之类的实际操作的文章不多见了。有些历史现实的问题是永远说不清楚的，因为人都是有屁股的。河里对TG敬仰的朋友很多，而TG恰恰是以实干而著称的。

我所写的《我爱跑步》系列，一方面确实是我的热情所在，另一方面也希望给河里吹来一些不一样的风。希望河里的大牛们在百忙之余也能抽时间运动一下。身体是革命and/or腐败的本钱嘛，也算是一件实事。

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我老人家自从迷上跑步，琢磨了一些跑姿中常见的问题，搞了一个物理数学模型，觉得能解释一些问题，而且也有可能对训练有所指导。这里给大家看看。

任何模型都是不完善的，包括这个模型。通过近似，这个物理数学模型试图解释一下几个问题。

1． 为什么脚跟着地不好，而前脚掌着地是最好的？

2． 为什么跑步要小步高频？

3． 为什么步频不能无限高?

4． 什么是自然步频？如何实现自然步频？

这个模型有三大结论：

1，赤足跑姿，前脚掌着地，重心落在脚掌上，是最好的跑姿。

2，自然步频或稍高一些可以实现最高的能量效率。低步频不好，太高步频也不行。

3，可以在跑步机上以高坡低速来习惯自己的自然步频。

为什么前脚掌着地是最好的？

咱们瞧瞧下面的示意图，看看脚落地的一瞬间有哪些不同。

脚跟着地必然导致身体的重心在脚落地点的后方。这个姿势就有很多问题。

首先，脚是以后跟着地，所有的冲力都集中在了脚后跟着地的那一点上，因而对关节冲击很大。再者，这个姿势脚着地的瞬间，脚和身体的相对速度是零，但是脚和地面的相对速度就是跑步的速度了，因而这个冲击力是很大的。同时这个落地姿势很自然就使前腿伸直，成为所谓的Knee-lock，这样冲击力没有任何缓冲就作用在膝和髋关节上，容易造成关节损伤。这个冲击力的方向是向后上方的，由于力的分解，就有一部分向后方的阻止力，会使人跑不快，也容易累。

反之，如果注意脚落地时身体的重心在脚上，而不是在脚后，以前的许多问题就迎刃而解了。

这个姿势落地，最好是用前脚掌着地，而且膝关节是弯曲的，因而冲击力得到了缓冲，而且分散在了脚掌上，不是集中在脚后跟。同时，这个姿势脚着地的瞬间，脚和身体的相对速度是跑步的速度，但是脚和地面的相对速度却基本是零，所以理论上可以做到毫无冲击力！

做到重心落在前脚掌上以后，后腿的动作也容易得多了。后腿离开地面以后可以借着惯性继续向后摆，然后借着大腿和腹肌的弹性自然前摆。这样跑步感到很舒展，也省力。

前脚掌着地相对于脚跟着地还有另外一个很大的好处。不过，咱们先看几个图。咱们看看其他动物们是怎样跑的。下面分别是马，猎豹，鸵鸟和狗的图片。大家注意看这些动物的后腿。

咱们看看这些动物的后膼，发现什么共同点没有？

我老人家赫然发现，不管它是肉食还是草食动物，甚至是鸟类，能跑的动物的后腿都有一个＂〉＂型的构造。暂且叫它拐型构造吧。

这个拐型构造是非常适合动物奔跑的。一方面，由于拐型构造在大腿和小腿之间的弯曲，对于动物奔跑起了很大的减震作用，另一方面，大腿的肌肉和跟腱也能够用自身的弹性储存能量，使得动物奔跑时更加省力。

您要想再仔细了解这个拐型构造是怎么一回事，下次吃鸡腿的时候观察一下鸡大腿和小腿连接的地方就好。

在造物的时候，上帝他老人家看到这个拐型构造是好的，就给每一个在地上奔跑的动物装上了一对。所以你看，牛羊驴马骡，虎狮狼豹猫，还有那特别能跑的兔，都有这样拐型构造的后腿。

可是，这个吊爆了的拐型构造，上帝咋就没给人装上捏？不是说上帝爱世人吗？

难道是上帝他老人家造人的时候偷工减料？毕竟他老人家在造人之前又造天又造地还造了万物，到造人的时候有点累了？

应该不会呀。我老人家为此陷入了苦苦的思索。。。

突然有一天，我老人家感觉就像一个有良心的青年历史发明家，俺恍然大悟了！

原来，上帝他老人家不但没有忘掉拐型构造，他还专门给了人类双倍加强改良式的拐型构造。咱们看下面人腿的图。

看到了沒？人在需要奔跑的时候，如果以赤足跑姿，前脚掌着地，重心落在前脚掌上，那么人就有两个拐型构造。一个是脚掌和小腿的踝关节，另一个是小腿和大腿的膝关节。不过，这两个拐型构造是反方向的，一个是〉型，另一个是〈型。而且，人的拐型构造有大腿，小腿和足弓的肌肉和跟腱的弹性作用，比动物的加強多了。再有，人的这个双拐型构造使得人在不需要奔跑的时候可以直立，这就不是其他任何动物可以做到的了。

可是，如果您的跑姿还是脚跟着地，那么这两个拐型构造都不能发挥作用，肌肉跟腱的弹性都不能充分利用，就像下图所显示的一样。

可见，脚跟着地的跑姿辜负了上帝他老人家的一片美意呀！

为什么跑步要小步高频？

首先，跑步与行走不同的一点是，跑步是有留空时间的，也就是说，跑步总是有时间是完全腾空的，而行走时，人总是有一只脚着地的。跑步实质上是一种跳跃运动。留空时间可以让跑者彻底摆脱与地面的摩擦，从而可以让跑者实现比行走者快得多的速度，但同时跳跃运动也要耗费很多的能量。

我们可以把接触地面的时间近似为零，这样跑步运动就是一系列上抛和自由落体的运动。假设一个跑者要以均匀速度S跑完距离D，我们来看一看这个上抛运动要耗费多少能量。相关假设如下。

L＝步长

C＝步频

W＝跑者体重

g＝重力加速度

那么，以下的关系是存在的。

全部距离所用时间T=D/S

步数P=T*C

S=L*C

每一步所用时间，也就是每一步的留空时间 t=1/C

因为每一步都是一个上抛和自由落体的运动，那么每一步跑者的重心就会上抛H=g*(t/2)^2/2

=g/C^2/8

所以，每跑一步，跑者要做工/消耗能量e=H*W = W*g/C^2/8。

以S速度跑完D距离所需要的总能量为E=e*P = T*C* W*g/C^2/4 = T* W*g*/C/8 = D/S* W*g/C/8。

考虑人体把化学能转化成机械能的效率n，这个算式变成E = D/S* W*g/C/8/n。

那个啥，那一位说了，你这个算式有效没有，怎么验证呢？

咱们试一试就知道了。假设一个普通的跑者有以下的参数。

距离D= 1 mile

速度S= 6mph = 10 minute 配速

体重W= 150 lb

步频C= 150 步/分钟

效率 n=50%

应该说，这是一个较为平均的跑者了。根据 网站http://www.self.com/calculatorsprograms/calculators/caloriesburned/running，我们得知这个跑者要消耗119.07 calories。

那么我老人家的算式的结果如何呢？咱们算算看。为了统一度量衡，咱们一律用公制。经过换算，我老人家得到如下的结果。那个网站的答案是119大卡，也就是497，896焦耳。我老人家的计算得出392，332焦耳。

应该说，我老人家的算式抓住了跑步能量消耗的主要方面，解释了80%的问题，是一个有效的算式。其他的20%能源消耗 来源于空气阻力，地面摩擦之类的因素。

这个算式说明，以同样的速度跑同样的距离，所消耗的能量是与跑者的体重成正比，而和步频成反比的。比如说，同样的跑者以同样的速度跑同样的距离，但是提高步频为180步/秒，这个算式显示她所消耗的能量为326，943焦耳，比150步/秒的步频降低很多。同理，如果一个跑者消耗同样的能量，小步高频就可以比大步低频跑得快。这就是为什么长跑要小步高频。

大步低频和小步高频在速度上是一致的，但是在能量消耗上是差别很大的。关键是重心上抛H=g*t^2/8。这里有一个t^2，是非线性的。

这个算式也能解释其他一些有趣的现象。比如说，在马拉松比赛中，一般的跑者都会吃能量胶，以补充能量，防止撞墙，但是精英跑者就不用。为什么呢？当然精英跑者通过训练可以在体内储存更多的糖元，但是，精英跑者同一般跑者比起来，速度S更高，体重W更低，步频C更高，所以精英跑者在跑同样一个马拉松距离时所消耗的能量反而比一般的跑者少。所以，精英跑者的体内糖元就足以支持一个马拉松，也就不需要补充能量胶了。

这个算式 E= D/S* W*g/C/8/n 也是有一定问题的。

第一个问题就是，这个算式说E和S成反比，那岂不是说，如果速度无限大，所消耗的能量就是0了吗？这与常识不符。这个算式只考虑了垂直运动，没有考虑水平运动。水平运动的能量至少有三个部分：a. 动能=W*S^2; b. 空气阻力耗能，于S^2成正比； c. 摩擦力耗能，与S无关。所以，这个算式可以进一步修正为E= D/S* W*g/C/8/n + F（S）。这里F（S）是一个S的单调上升函数，但是在S比较小的时候也相对较小。

为什么步频不能无限高?

那么好了，根据这个算式，一个跑者可不可以无限提高步频，从而使E趋向零呢？这也是做不到的。

假设一个跑者的脚的质量为F，那么，每跑一步，这个跑者需要把她的脚加速到S，再减速为零。这中间所需要的能量为加速F*S＾2，减速F*S＾2。每一步的总能量为2*F*S＾2。跑距离D需要D／S*C步，所以总能量为D／S*C*2*F*S＾2，是与步频成正比的。

高步频的另一个问题是脚的加速度。每一步，跑者要在1／C／2的时间内把脚加速到S，加速度为2CS。作用在脚上的力为2CSF。也就是说跑者在同样速度下，要用更多的力才能提高步频。

您可以自己做一个实验。在跑步机上设定一个速度，然后用尽量高的步频去跑，保证您坚持不了几分钟。原因就是您要用大得多的力量和功率去实现超高步频，尽管您的速度是恒定的。

唉，看你说的，步频低也不行高也不行。这可咋整？！

呵呵，别着急，我们的先人几十万年前就在非洲大草原上解决了这个问题。答案就是自然步频。

什么是自然步频？如何实现自然步频？

注意，就如同上面的图示，由于人体肌肉和跟腱的弹性，人在跑步运动时就成为了一个弹簧系统。一个弹簧系系统就会有它的自然频率，或固有频率。当外力以自然频率作用在这个弹簧系统时，很小的力就可以产生很大的振幅。人体在跑步时形成的弹簧系统的自然频率就是这个人的自然步频。

理想弹簧系统

在自然步频上，腿脚摆动减速所需要的能量很大一部分作为弹性势能储存在了肌肉和跟腱中，在加速时又释放出来。所以，不需要很多能量就可以维持自然步频。一旦偏离自然步频，就会使能量效率大幅下降。

一个理想弹簧系统有这些特点。

外力在自然频率上能产生共振

外力在非自然频率上很难产生大振幅

自然频率与振幅无关

弹簧强度和重物质量决定自然频率

这些特点在跑步中也都存在！

所以，一个跑者没有必要特意追求高步频，按照你的自然步频跑就好了。你的自然步频已经由你的体重和你的肌肉和跟腱强度决定了，短时间内改变不了。经过长期训练，一个跑者可以通过降低体重和加强肌肉和跟腱强度来提高自然步频。

比自然步频高或低的步频很快就降低了振动的效率。低步频毫无优点，但是，根据我老人家的算式，稍高一点的步频还是有一定的优点的。稍高一点的步频可以牺牲一些振动的效率以换取E的下降，从而使总体能耗下降。但是不能比自然步频高太多，不然振动效率会显著下降。

我老人家去年刚开始训练的时候体重165磅，自然步频在182到184之间。芝麻前体重为155磅，自然步频上升到186到188之间。现在，经过近三个月的圈养，我老人家体重又升到了163磅，自然步频又下降到184左右乐。

那位又说了，瞧你说的，好象步频180＋很容易的样子，我的步频为什么就自然不到180，而是徘徊在155左右呢？

呵呵，您是一个三百磅的大胖子吗？如果不是，我老人家几乎可以啃腚您的跑姿不是赤足跑姿，而是一个脚跟着地跑姿。

道理很简单，脚跟着地相当于没有用肌肉／跟腱的弹性，所以也就构不成一个弹簧系统，从而也就沒有什么自然步频了。您只能用自身肌肉的收缩力来带动身体运动，而沒有充分利用弹性储能，所以步频就高不上去。反之，如果您充分利用了大腿，小腿和足弓的弹性，您就会自然而然地达到您的自然步频。赤足跑姿就可以自然地达到这个效果。

我老人家的这一套理论的另一个重要推论就是，自然步频和步幅无关。由于S＝L*C，所以速度也与自然步频无关。在自然步频或稍高一点的步频，提高速度要主要依靠步幅的提高。

作为一个裤子很大的理工男，我老人家知道，不管俺看咱的理论多么的顺眼，如果它和实践不附，俺也得承认它是一个谬论。好吧，实践检验的时刻来到乐！

咱们看几段精英跑者的跑姿视频。

咱先看一段精英跑者10mph的视频。

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我们可以看到，精英跑者的步频达到了惊人的198。我们可以感叹精英跑者的跑姿是多么的潇洒飘逸，看精英跑者跑步就是一种享受！

为什么精英跑者能达到那么高的步频呢7

首先看，精英跑者是完美的赤足跑姿，每一步都是前脚掌着地，重心落在了脚掌上，从而充分利用了大腿，小腿和足弓的弹性。

其次，看精英跑者的身材，那是一部 lean and mean running machine, 没有肥肉，体重轻。同时看人家健美有力的腿，那弹力决不是盖的。

这两条都附和高自然步频的条件。

好了，咱们再看两段精英跑者的视频。一段是8mph，另一段是12mph。

8mph

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12mph

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精英跑者的跑姿在这两段视频里同样潇洒飘逸。为什么人家精英跑者在不同的速度下都能跑得潇洒飘逸捏？

因为精英跑者一直在按他老人家的自然步频或稍高一点跑，能效最高，最附和人体的天然构造。

咱们再看看精英跑者的步频，如下

速度 步频

8 190

10 198

12 198

哈！正如我老人家的理论所预测的，和8mph的速度相比，12mph的速度提高了50％，但是精英跑者的步频并没有显著的提高。同时，注意精英跑者的步频在10mph和12mph是基本一样的。这说明，精英跑者的自然步频在190左右。在高速跑时，精英跑者可以稍微提高步频，通过牺牲步频效率来提高步频，从而实现总能量效率的提高。但是，198似乎是精英跑者牺牲步频效率的上限，再高的步频就会脱离自然步频太远，从而使总体能量效率急剧下降。

Oh，yeah！我老人家的理论经受住了实践的检验！

By the way, 我老人家的理论也显示了体重对于一个长跑者的重要性。降低了体重，不仅E会直接因为算式里的W而降低，而且低的体重也会提高跑者的自然步频，通过提高C而进一步降低E。所以，降低体重对于长跑的益处是高于线性的。这也是为什么顶级精英跑者都是精瘦精瘦的。

那边肯定有人急了，吼道，你少给老子卖狗皮膏药！减肥不是一两天的事，你先说说怎样跑出老子现有的自然步频。就算不能跑得象精英跑者一样潇洒飘逸，整个飘逸潇洒也行啊。听快节奏的音乐行吗？

呵呵，我老人家觉得那不是一个好的办法。首先，听音乐来练步频没有解决跑姿的根本问题。其次，各人的自然步频是不一样的，很难找到几首曲子的节奏就正好是你的自然步频。同时，人在听节奏明显的音乐时，会下意识地隨着节拍顿脚，也就是落地较重，会造成没有必要的疲劳。

理论上讲，只要您赤足跑步，您就在您的自然步频上了。

但是，由于帝国主义的残酷剥削和压榨，广大缩男大妈们每天不得不在电脑屏幕前端坐十几个小时，身体受到了非人的摧残。特别是小腿肌肉，已经承受不了自然赤足跑步的重任，特别容易受到伤害。

怎么办？跑步事业陷入了低潮，缩男大妈在水深火热中挣扎。。。。。

在这个危难时刻，我老人家挥手走过来，给跑友们指出了一条光辉大道！

您可以在跑步机上设定一个较高的坡度，比如8％，然后设定一个较低的速度，让您刚刚跑起来。对于我老人家，这个速度是4mph。在这个速度上，俺就一定要有了跳跃的动作，而不是总有一只脚着地。

如果您是赤足的话，这个状态下，您觉得最自然，舒服的步频就是您的自然步频了。俺家乡话的说法就是，得劲！

这个办法的原理在于，

1，自然步频和步幅／速度无关，所以，我们可以在低速状态下练习自然步频，而暂时不用考虑高速状态下的问题。

2，在低速状态下，对小腿肌肉要求不高，初学者可以马上练习。

3，由于跑步机较高的坡度，跑者不得不前脚掌着地，就是想大步也大步不成。这就可以有效地纠正跑姿，使得大腿，小腿和足弓的弹性都得以运用。赤足效果最佳。

4，跑速虽然低，但是要足够让跑者跑起来，有跳跃动作。跳跃的留空时间可以让人体的弹簧系统充分动作，而不受地面的影响。

5，虽然速度不高，但是高坡度可以有效训练心肺能力。

6， 习惯自己的自然步频后，跑者可以逐渐降低坡度增加速度。

我老人家就是这样发现俺的自然步频滴。记得当时发现4mph和8mph的步频基本一致，感到非常吃惊，不理解为什么速度提高一倍，但步频基本不变。这也让我老人家开动脑筋，想清楚了这个理论。

好了，我老人家现在觉得跑姿步频这个问题已经说透了，总结一下吧。

1，赤足跑姿，前脚掌着地，重心落在脚掌上，是最好的跑姿。

2，自然步频或稍高一些可以实现最高的能量效率。低步频不好，太高步频也不行。

3，可以在跑步机上以高坡低速来习惯自己的自然步频。

我们的先人，在非洲草原上以自然步频长途赤足奔跑，耐力狩猎了几十万年，也不需要懂重力加速度和弹簧系统。而我们却要折腾半天才能回归自然。How ironic!