主题：在一个园上任点三点,求为锐角三角形的概率 -- 大明湖
看各位讨论的热闹，俺也来参合一把。俺从最基本的开始，不涉及那么多的高深理论――其实是俺不懂，嘿嘿
首先明确两个基本命题：
（一）、在已知圆上任取一点的概率是100%
（二）、在已知圆圆上取一定点的概率是0
一个已知圆上遍布无数点，无论何种情况下都可以取得任意一点，就像一个六面都只有一个红点的色子，抛出去得到红点的概率是100%，所以（一）成立；当这个色子不是只有六个面，而是一个含有无数面的多面体时，想要得到一个指定面上的红点概率自然为零，也就是在圆上取得一个定点的概率为0（在圆周上无数的点中找到一个指定的定点是不可能完成的任务）。
上面两个命题如果成立，下面的问题就好解决了，如果不成立，那么下面的讨论自然也不成立 ：（
1、设三角形的三个点为ABC，任取一点A，概率100%。过A点的直径另一端点是a，a点唯一
2、在圆上取另一点B，点B和点A（或a）重合的概率为0――见前提（二），则第二点B的取得概率也是100%。过点B的直径另一端点是b，b点唯一
3、构成锐角三角形ABC的充分必要条件是点C必须落在短弧ab上，落在长弧ab上则构成了钝角三角形（C点与A、B、a、b点重合或ABC三点重合的概率为零，不予考虑）。
4、则锐角三角形的概率即为弧ab/周长，若设弧AB的圆心角为α，则概率则为α/2π。
5、α的取值范围是（0，π)利用积分，可以最后求出概率。
6、反之可以求出钝角三角形的概率，不过α的取值范围是（π，2π）
7、最后可以推出一个关于直角三角形的结论：已知圆上任取三点成为直角三角形的概率为零，因为第二点B的取得概率（点B与点a重合）为零。
大家别逼着我要结论，嘿嘿……我的微积分都还给老师了，我只是给出一点提示，直观上看，锐角三角形的概率要小于钝角三角形的概率，但是两者之和一定为1。（答案是π/4？）
不会吧。
钝角3角型一定能用一个半圆框起来。
俺自己想错了。受教。
在区域[0，2pi]间均匀分布，三个角中任一个是钝角的概率都是1/4。1-3/4=1/4，得证。画个图就清楚了。
1/4 is the right answer
是通过计算圆弧长与圆周长的比得出的，圆周长=2π；alpha为A，B两点间的的弦与经过A点的直径（过圆心的弦，不知该怎么称呼）之间的夹角；那么C点位于长弧段时，为锐角三角形，长弧段长为：π+2*alpha。那么概率为（π+2*alpha）/2π。以alpha在0到π/2中作积分，得出结果1/2+π/8。
我的数学学得不好，各位见笑了。
圆上第一点是任意的，圆心为原点，第一点方向为X轴，
圆上第二点的角度为A,
A在[0,180]和[180,360]的概率各1/2
A[0,180]时，第3点能构成锐角三角形时角度需在[A,360],概率＝1/2*((360-A)/360)
[180,360]时，第3点能构成锐角三角形时角度需在[0,A],概率＝1/2*(A/360)
两者相加＝1/2
你的解答中：
圆周长=2π；alpha为A，B两点间的的弦与经过A点的直径（过圆心的弦，不知该怎么称呼）之间的夹角；那么C点位于长弧段时，为锐角三角形
但是C点位于长弧段时，不一定为锐角三角形
圆上第一点是任意的，圆心为原点，第一点方向为X轴，
圆上第二点的角度为A,
A在[0,180]和[180,360]的概率各1/2
A[0,180]时，第3点能构成锐角三角形时角度需在[A,360],概率＝1/2*((360-A)/360)
第三点在[A,360]时，构成三角形不一定是锐角
[180,360]时，第3点能构成锐角三角形时角度需在[0,A],概率＝1/2*(A/360)
同样，第三点在[0，A]时，构成三角形不一定是锐角
第3点的范围各在[A,180+A/2][A/2,A]
所以概率为(180-A/2)/360/2+A/360/2=1/4
看到大家对此题如此感兴趣，这里将两个我认为比较严谨的技法用图解的方式，给以说明。此题解法不为一，大家继续。
1。这个是CatOH提出的积分求解法。
http://www.talkcc.com/uploadfile/0,0508/795_05112105.png
2。这个是不爱吱声提出的解析几何求解法
http://www.talkcc.com/uploadfile/0,0508/795_05113657.png
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【原创】受您的启发，我的答案是：1/2+π/8
是通过计算圆弧长与圆周长的比得出的，圆周长=2π；alpha为A，B两点间的的弦与经过A点的直径（过圆心的弦，不知该怎么称呼）之间的夹角；那么C点位于长弧段时，为锐角三角形，长弧段长为：π+2*alpha。那么概率为（π+2*alpha）/2π。以alpha在0到π/2中作积分，得出结果1/2+π/8。
我的数学学得不好，各位见笑了。
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设A，B两点的圆周对称点为A'，B'，那么C点位于AB'及A'B之间的短弧段时为钝角三角形，B'A'之间的短弧段长度为：π-2*alpha。那么概率为（π-2*alpha）/2π。以alpha在0到π/2中作积分，得出结果1/2-π/8。
C点位于绿色圆周时是锐角三角形。
你的算法对了，根据你的算法，结果正好是1/4。
【原创】受您的启发，我的答案是：1/2+π/8
是通过计算圆弧长与圆周长的比得出的，圆周长=2π；alpha为A，B两点间的的弦与经过A点的直径（过圆心的弦，不知该怎么称呼）之间的夹角；那么C点位于长弧段时，为锐角三角形，长弧段长为：π+2*alpha。那么概率为（π+2*alpha）/2π。以alpha在0到π/2中作积分，得出结果1/2+π/8。
我的数学学得不好，各位见笑了。
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设A，B两点的圆周对称点为A'，B'，那么C点位于AB'及A'B之间的短弧段时为钝角三角形，B'A'之间的短弧段长度为：π-2*alpha。那么概率为（π-2*alpha）/2π。以alpha在-π/2到π/2中作积分，得出结果π/4。
C点位于绿色圆周时是锐角三角形。
黄色部分面积为积分结果：π/4。
但这个结果明显是错的，因为图上就可看出不应该大于1/2
请不老哥为我改错。谢谢。