主题：在一个园上任点三点,求为锐角三角形的概率 -- 大明湖
（1）当B点落在（0,0.5L）之间时，若C点也落在（0,0.5L）之间，这时是钝角三角形；若C点落在（0.5L，L）之间，这时是锐角三角形
若C点落在（0.5L，L）之间，这时不一定是锐角三角形
这个是CatOH提出的解法：
画一个单位圆，因为均匀分布，取第一点为（1，0）总是可以的，y轴与x轴垂直，取在第二点与第一点构成的劣弧a那一边（如果第一点第二点正好构成直径，那么y的上下方向就任意取，而且这种情况的概率为0，其实可以忽略），那么第二点对应的圆心角设为theta，可知theta<=pi。而且第二点的theta均匀分布。
过第一点与第二点作两条直径将单位圆分为四分，只有当第三点落在前面提到的劣弧a对面等长的劣弧b上时，三点才可能构成锐角三角形，这个概率是theta/(2pi)。
因为第二点theta均匀分布，所以构成锐角三角形的概率是:
{0-pi的积分[theta/(2pi) * d(theta)]}/pi
=1/4
这个是不爱吱声给出的另外的解法
于是，这个问题原来是可以脱离圆来考虑的。因此，还有一个求解方法是：仅仅利用三角内角之间的关系来求解，而不需要圆的存在。
设任意三角形三个内角角度为x,y,180-x-y,对于任意三角形，我们有：
0<x<180; 0<y<180; 0<x+y<180 （1）
对于锐角三角形，我们有：
0<x<90; 0<y<90; 90<x+y<180 （2）
用解析几何的方式，我们可以将x,y看成是两个坐标，第一个不等式组在x,y坐标空间上围出一个等腰直角三角形区域，两个直角边长为180；同理第二个不等式组在x,y坐标空间上也围出一个小一点的等腰直角三角形区域，两个直角边长为90。如果我们假设x,y的值在坐标空间是均匀分布的话，你会发现，第二个不等式组围出一个小三角形的面积正好是第一个不等式组围出一个大三角形的面积的1/4。
目前来看，这个题目有确定的答案是1/4。大家看看还能不能找到其他解法。
1、圆上点的分布是随机均匀的，不等于角的分布是随机均匀的。
2、平面的形状对点的分布是有影响的，例如，在平面上的正方形区域中任意三点组成△和在长方形区域中任意三点组成△，锐角△和钝角△的概率是不一样的。显然，形状扁的长方形中钝角△的概率要大些。
任意三角形都有唯一外接圆。
这是我可以将园内接三角形扩展到任意三角形的基础。
而这个对于正方形或者长方形并不成立。算正方形或者长方形内接三角形锐角概率因此不可以任意外推。
我并不是说您的证明出错了，只不过这两者前提可不是一回事。不是一个概念。
第二，您提到把这个题外延，那么，在无限的区间说概率实在有点玄，所以我举出2个面不同的例子说明，外延的证明可能有问题。
说到底，您的证明是建立在角是随机均匀分布的前提下。而不是点的随机均匀分布
我的证明里面，角的概率实际上是转化成面内点的概率的，并假定面内点是均匀分布的，这与园周上点均匀分布假定在数学上没有本质区别。
角的随机分布实际上就是面内点的随机分布，你不妨再仔细想一想解析几何。
你的疑惑可能是对计算几何概率时候均匀分布假定可以不唯一的疑惑，这也是为什么有些人不承认几何概率的原因。
而且，您证明的命题是：
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这个是不爱吱声给出的另外的解法
实际上，任何一个三角形都有一个外接圆；圆上任三点都可以组成三角形。那就意味着，原题目可以修改为在平面内任何画一个三角形，其中画出锐角三角形的概率是多少？
于是，这个问题原来是可以脱离圆来考虑的。因此，还有一个求解方法是：仅仅利用三角内角之间的关系来求解，而不需要圆的存在。
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我在前贴中所说的正方形区域，和长方形区域都是面的概念，这题的源头－“圆周”是线上的概念
只要点均匀分布假定合理就行，“线上均匀分布”与“面上均匀分布”并无不同。
平面内角的分布与平面内点的分布也是等价的。
我证明出来，平面内划任意三角形中锐角概率是1/4，自然证明出来任意园周上画任意三角形中锐角概率是1/4。因为任意园周上所画任意三角形与平面内所划任意三角形一一对应。
只要点均匀分布假定合理就行，“线上均匀分布”与“面上均匀分布”并无不同。
平面内角的分布与平面内点的分布也是等价的。
－－－－－－－－－－－－－为何？
我证明出来，平面内划任意三角形中锐角概率是1/4，自然证明出来任意园周上画任意三角形中锐角概率是1/4。因为任意园周上所画任意三角形与平面内所划任意三角形一一对应。
－－－－－－－－－－－－－在特定平面上的概率就不一定
当然，就圆周的这一题来说，可能结果是1/4，但是延伸到平面的话，您的证明不太严密。
这是几何概率不够严谨的地方，贝特兰的概率悖论可以说明此问题。因此有些数学家反对几何概率的存在。
因此说来，在欧式几何范围内，我没有发现我的证明中不严密的地方。
几何概率的定义：
向一个有限区域Ω中任意投掷一质点，假定随机点落入该区域的任一小区域A的可能性与小区域A的测度（可以是长度、面积或体积等）成正比，而与A的位置与形状无关，称这种随机实验为几何概型。
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可见，提到几何概率，要在有限区域内。
事实上，只要您计算正方形和长宽比为1：3的长方形中的随机三点组成△的概率就不一样。
我的点均匀分布假设是作用在两直角边为pi/2（or pi)的等腰三角形这个有限区域。
角在平面的分布状态映射成等腰三角形这个有限区间的点的分布状态。
有限区域指的是均匀分布假设作用的区域，不是问题提出的区域。
然后俺忽然想到了这道题。
什么是锐角3角型，那就是3点不在同1半圆内，而钝角是在同1半圆内。几何证明从略。
而第1点的选取可以随意。然后俺们以这点的直径把圆1切2。所以该命题可以转化成剩下的2个点落在不同半圆里概率。
所以，俺认为，答案应该是1/2。
即使如你所述，另两点不在同一个半园之内，仍然可能是钝角。