主题：【讨论】趣味数学题 -- 任爱杰

原来如此。哈哈哈哈哈哈哈。

我还在想单双眼皮的基因是不是在Y染色体上呢。

我认栽 :P

这个问题和三门问题不同。生男生女各50%概率这个假设是一个先验的知识，不能事后反推。局部孤立事件不会影响这个先验知识，所以第二个孩子是男孩的概率仍为50%。

和三门问题相比，第一个是男孩不是主持人刻意开门，因此不会影响后续动作的概率。

楼主的前提是已知有两个孩子。这个就是所谓全集。两个孩子的所有可能性是四种。当观察到一个男孩后，全集中女女的概率已知为零。那么其他三种的可能性变成三分之一。

你的例子如果已知5200次就是六合彩的全集，那么你的结论是自然的。很显然六合彩的全集是每年不同的。

我想说的是在已有一个男孩的情况下，生第二个孩子仍为男孩的概率为50%。现在的问题是已知有两个孩子，见到第一个孩子是男孩，问第二个孩子仍是男孩的概率为多少？这个已知有两个孩子的条件很重要。如果假设有无穷多孩子，那么见到第一个孩子是男孩，对第二个孩子是否为男孩的概率没有影响，问题回归到我开头说的情况。现在已知有且只有两个孩子，那么样本空间收缩到4种可能：男男，男女，女男，女女。假设这四种是等可能情况，假设见到第一个是男孩（这里不是说老大是男孩），那么见到的第二个孩子仍是男孩的概率为三分之一。如果说见到的老大是男孩，那么见到老二仍是男孩的概率为二分之一。二者的差别就在于是否限定见到的第一个孩子为老大。

你就明白为什么观察会改变概率了。

两个孩子的全集是四种，那么等概率认为每种可能性为四分之一。

等你看到一个男孩时，女女的概率*被观察证明*是0。

那么其他三种的可能性变成三分之一。其中只有一种是男男。

当你听到婴儿哭声时，新的观察指出长子是男，那么这个观察指出女男的概率为零。

这样，每次观察所得到的信息都改变了全集中每种可能的概率。

应该记住，所有和全集有关的信息会改变其元素的概率，即修正了等概率假定。

遇到男男中的男孩，是一种情况，并非因为有两个就是两种，这种条件概率从某种意义上是需要“反”算的，你前面的算法是“正”算，算的是以先验知识（生男生女一半一半）为前提遇到男孩的概率，而不是以遇到男孩为前提的后验概率

确实是。

另外如果开掉的废票都是”前面五千“的话，那就跟我们这里说的”老大是男的“一样了，还是二分之一（或者彩票该多少就是多少）。如果开票的顺序随机的话，那剩下的票中奖的几率就是要高一点。

设每张票中奖几率万分之一，买五千张。买到至少一张中奖票的几率为1-0.9999^5000=0.3935 (约等于1-1/sqrt(e) )。在这五千张票中开了4999张，假设都是废票，那么剩下那一张中奖的几率就是0.3935。其实你可以算一算，5千中开4999张票都是废票的几率（0.6066），接近1/sqrt(e)。前面这两个几率相加不是1。但如果是5千票开出来5千张废票的话，那么两个几率相加就是1，意思是这些票中奖或者不中奖的几率是1，这个毫无疑问。

设每张票中奖几率五千分之一，还买五千张。买到至少一张中奖票的几率为1-0.9998^5000=0.6322 (约等于1-1/e)。在这五千张票中开了4999张，假设都是废票，那么剩下那一张中奖的几率就是0.6322。5千中开4999张票都是废票的几率是0.9998^4999=0.3679，接近1/e。

设每张票中奖几率n分之一，买mn张，其中m和n都是整数。买到至少一张中奖票的几率为1-（1-1/n)^mn。当n很大时约等于1-e^-m。在这mn张票中开mn-1张，假设都是废票，那么剩下那一张中奖的几率就接近1-e^-m。mn张票中开mn-1张票都是废票的几率接近e^-m。

所以如果票数足够多的话，大概率会不到最后一张就抽中了。不过要是真的前面全挂了那最后一张中奖的几率就是要大很多。

但是再买下一张的话，几率还是万（n）分之一。

你自己也说了，只有确知5千张彩票中有中奖的才有意义。问题是，并没有这个保证啊。同样的，第一个是啥性别，对于下一个孩子是啥性别是没有影响的。也就是说，下一个孩子的奖池是无限大的。

顺便说一句，我举的例子中，每张彩票都是出自不同的奖池。这和生孩子情况是一样的。所以不能套用你说的公式。每次抽奖的几率是独立的。

简化的模式就是，已知总共要掷十次硬币，已掷九次面朝上，问第十次投掷字朝上的几率是多少？答案很简单，仍然是二分之一。

如果”已知1，生男生女各50%的概率“成立，则不论其中一个是不是男孩，另外一个是男孩的概率都是50%，也就是说已知2是不需要的。根本不需要推导。

反过来如果只有已知2，也可以推出已知1：

如果不考虑次序，则事件空间是由如下事件组成的：

1. 一男一女

2. 两男

3. 两女

所以已知其中一个是男孩的话另一个是女孩的概率是50%。这个实际上是条件概率。

如果考虑到次序，则需要按照原帖类似的方法去推导。

而是计算“我遇到男女”的概率问题，有点绕，但确实不一样，需要先划定自己所处的概率空间，然后再算。

至于那个3/7，隐含了单双眼皮一半一半的假设，在这个前提下，男女单双全部组合一共16种，概率均等，男双组合三种，包含至少一个男双的组合7种，用同样的方法得到3/7

发了这个帖子后，原帖作者来了，还引来不少做题家朋友一起烧脑，真是太爽了。

鉴于不少人的回帖中各类错误概念甚多，故不一一作答，这里只补充几个等效的命题供做题家们思考。

1. 一对夫妻生了一个孩子，老婆怀着第二个。两人讨论第二个孩子的性别。老公认为第一个是男孩，所以第二个是女孩的几率上升到三分之二？请问对吗？以此类推，老婆怀了第十胎，前面九个都是男孩，那么第十个生女儿的几率多大？

2.投掷硬币，已知共要投掷两次。已知投掷一次是面朝上，问另一次投掷面朝上的几率是多少？是三分之一吗？同理，共要投掷十次，已投九次都是面朝上，问第十次投掷时面朝上的几率是多少？

3. 买六合彩，共买了一万期，每期买一张彩票，9999期都输了，问第一万期的中奖几率是否上升到铁定中奖？

原作者和其他几位理解错误的地方是把一系列的独立事件当作一个整体来处理。自然就会得出荒谬的结论。上面三个例子中，每一个事件（event）都是独立的，是不受同一系列中其他事件影响的。

系列可以是一个整体，也可以是独立事件组成的集合。独立事件的集合可以在整体上对外表现出统计上的概率。例如投掷一百万次硬币，面和字朝上的分布约为各百分之五十。但是具体到每一个独立事件，就不能根据集合中其他独立事件来推定该独立事件的实际效果。

用一个不太恰当的比喻，宏观状态下的物体运动有规律是可测的，但组成物体的微观粒子的个体运动状态是测不准的。而连接这两者的桥梁是统计。

掷出了，结果就不能改变。扔100次硬币的结果，只能是2^100种组合中的一种。

关键是，有人告诉你，这100次硬币已经掷出，所以你就已经确定一点：结果不会再变。如果此人告诉你，第一次的结果面朝上，你就可以很肯定，余下有2^99种组合。 假如此人告诉你前99次的结果，你也可以很肯定最后一次，肯定是两种可能之一。

超新星那个例子的问题在于，没有人（包括外星人）能确切地告诉你，这个超新星是真的爆发了，跟扔硬币不一样，扔硬币那个人可以从南极打个卫星电话给你，如果你不相信，他还可以拍个视频，做到有图有真相。

这个是已知和未知的区别了。

一男一女的概率是其他事件的两倍。