主题：【讨论】趣味数学题 -- 任爱杰

假设赵钱孙李四家各有两个小孩，分别是：

赵家：男1男2 （1、2代表老大老二，下同）

钱家：男1女2

孙家：女1男2

李家：女1女2

第一种情况：你在这八个小孩种随机选出一个，结果是男孩，那么他有一个兄弟的概率是多大呢？答案应该是二分之一。

第二种情况：你在这四家中随机选出一家，然后得知这家有一个男孩，那么他有一个兄弟的概率是多大呢？答案应该是三分之一。

@岑子

的办法编程，太复杂了，xls吧

AB随机数，CD是AB的四舍五入取整，1是男生0是女生（为什么）

FG是CD的数值拷贝，不然老变太快

H是FG的和，1表示1男1女，2说明俩儿子

200行数据，1是90行，2是60行

我差点就认为60/90 我赢了，

再一想是 60/150你赢了

另：100行，1是46 2 是21

这是俄罗斯轮盘。

还有一种是大桌面上布了很多数字、单双，赌客把筹码放上去押数字或单双。

赌场为了“帮助”赌客，还会在场边设个数据板，为大家提供历史数据：前几轮出的数字是多少、单双的走势，以供赌客“分析”。

有的赌客分析到：连续出了三次“单”了，下次出“单”的几率应该不大（因为上帝对“单”/“双”是公平的？），下次押双。

有的赌客分析到：连续出了三次“单”了，说明出“单”的概率大，下次押单。

==========世界杯抽签=============

假设碗里面有8个球，分别代表1、2、3、4、5、6、7、8实力同档的球队，将抽出两个分到A组。目前抽到某一个队到A组的概率为1/8。

第一次抽到4分到A组，问第二次抽时这8个队抽到A组的概率是多少？

1、2、3、5、6、7、8抽到的概率1/7，4抽到的概率是0。

可以看出，经过第一抽后，第二抽各队的概率已经变了。这是最简单的条件概率形式，事件A在B条件下发生的概率。B可以已发生，也可以没发生。

当条件概率P（A/B）= P（A）时，A、B是独立事件。就是说B条件与A事件的概率无关。

在赌场里面，第一次掷骰子与第二次掷骰子是否相关？

在抽签里面，第一次抽与第二次是否相关？

这个判断是解决问题的关键。

========直觉与错觉===========

我记得去年讨论疫情的时候好像是高三河友（这家伙最近好像没来了）提到过一个反直觉的想象：即使检测试剂准确率高达99%，一个测出核酸阳性的人，真正得新冠的概率只有50%。

这就是一个条件概率的问题，通过贝叶斯公式可以解释这个反直觉现象。

当“我”见到邻居的一个孩子时，“我”并不知道他有几个孩子。于是分析如下：

有/没有另一孩子的概率均为1/2。

再往下，如果有，另一个孩子是男/女的概率为1/2。

所以，笼统地说，另一个孩子是男孩的概率是1/2X1/2=1/4

随后，他听到哭泣声了，那么有一个孩子的概率为1，则另一个孩子的概率是1X1/2=1/2

这也是条件概率的应用——条件为哭泣声

但是这个模式不能套在我们的情况上。

十次硬币，已知有9次向上（不一定是“前”9次），那么剩下的一次（不知道是哪一次）的几率是向上1/11，向下10/11。因为剩下的可能性是“都向上”1种，和“一个向下其余9个向上”10种，共11种。这11种情况是等可能的。

如果像你说的那样，“前9次”都向上，那第十次肯定是一半一半。因为这时排除了“向下的那个在前9次出现”这9种可能。这个是帮助你理解的关键。这也是为什么原帖中，弄清了看到的男孩是老大之后另一个孩子是男孩的几率变成了1/2。

“前面几次”有什么结果和“存在几次”什么结果是两码事！

胡一刀给了数值模拟的结果，是0.4约等于0.333 。当然，涨落比较大，应该加大总模拟次数。

分析过程看我刚刚给你的回复。

根据夫妻心性强弱对照可以大致推断孩子性别。

咋咋呼呼与外向性格不等于心性强势。温柔贤淑不吭声的不等于心性弱势。

只剩两种，男女和男男。

一、要根据人种、地区、年龄，来判断性别概率

二、根据交谈内容来判断对方是否对性别有要求

三、之后讨论意外，比如染色体异常和认同障碍

四、确认以上情况的分布，得出最后可能的概率

再加上这里

五、（一的扩充）已知上个孩子的性别，下个孩子性别的概率。

但是回到问题这里，显然预设了前提，没必要考虑这么多……

（一、二的前提包括了环境对生殖细胞的影响，不管是生理还是心理。）

或者说“次序不可辨识”。虽然有点违反常识，但并不是完全没有道理。比如在玻色-爱因斯坦统计里，位处同一态的玻色子就是没有分别的。当然这个也只是类比。

然而根据小概率原理，如果你在一次试验里观察到9次都朝上，那这枚硬币很有可能并不是均匀的，也就是抛出正面的概率大于抛出背面的概率，因此第10次抛出正面的概率大于抛出背面的概率（其实其他9次也是）。

楼下老兄提到的几种等价命题并不等价，为了清晰起见，请让我先把原命题在重复一下：已知某同事有两个小孩，男女未知，你偶然碰到他带着一个小男孩，试问他另外一个小孩也是男孩的概率多大？

这里最绕人的地方在于，“碰到一个男孩”和“再生一个男孩”不同，前者和两个已经生好的孩子都有关系，并不是一个重新生一个的独立事件。这里语义上的误导之处在于，两个孩子都已经生好了，所谓“另一个小孩”，并不是再生一个，而是再碰到一个的意思。两个孩子都已经是既定事实了，遇到其中一个是男孩也是既成事实，问的其实是“你”再遇到男孩的概率多少，而不是“他”再生男孩的问题。此处迷惑人的是生男生女都一样的心理定势，诱导人把“遇“的问题看成“生”的问题，于是直接认定了1/2的答案。

因此，一种等价的描述方案是：盲盒中的黑白球。假设有100个白球和100个黑球，随机封装到100个盲盒里，每盒两个。不失一般性，不妨认为随机到了最均匀的结果，我们得到25个装了两个黑球的盒子，25个两亮白球，50个一黑一白。问题变成：拿一个盒子并且取出一个球，发现是黑的，问剩下的那个球也是黑的概率多少？

孩子的情况和盲盒相同，男女是既定的，正如盒子里的黑白球也是既定的，你拿的是盒子，看见的是黑球。这种情况不同于把所有黑白球放在一个大袋子里抽取，也不是先拿一个球再拿另一个。再强调一下，黑白球是已经装定了的，正如男女已经是生好了的。你想知道的是，在已经见到一个黑球的情况下，又在同一个盒子里看见第二个的概率。这就是所谓条件概率问题，条件就是见到一个黑球（男孩），以此为前提的概率问题，不是抛两个硬币或者生两个孩子的问题。

甚至可以再说极端一点，索性拿掉黑球白球（生男生女）的随机性，就直接告诉你，100个盲盒是安排好的，25个两黑，25个两白，50个一黑一白，没有任何随机因素。同事的孩子也是同理。假想你有100个同事，每人两个孩子，当你遇到他的时候，孩子已经确定了，和盲盒的情况相同，25个同事两男、25个两女、50个一男一女，这是既定事实，所谓生男生女的概率到此为止已经结束了，和你遇到男女完全是两个问题。生孩子的概率，是所谓先验概率，生完就结束了，男女就确定了，这个概率和接下来的事情无关了，可以抛之脑后了。100个同事的男孩女孩，那怕就是个个都是自己选性别的，你遇到男孩的概率也只和这个现状有关，即25%两男、50%男女、25%两女这么一种状态，和它是怎么生成的无关，生男生女的概率就不用再考虑了，这个所谓概率实在是误导人的。

好了，现在100个盲盒（同事），你在其中一个里发现了黑球（男孩），这个前提条件究竟是什么意思呢？它意味着你拿到的盒子（碰到的同事）是75个中的一个，而不是全部100种可能，你的样本空间容量从100变成了75，两个白球（两个女孩）的情况被从样本空间中排除了。概率问题的核心是样本空间，所谓概率，就是特定情况在全体样本中所占的比例。“看到黑球（男孩）”的作用是改变样本空间，从而也影响了你下一次事件的概率，所谓你看到下一个球，等价于你在这75个盒子里再次做出选择，25个两黑和50个黑白，并且预先拿掉其中的一个黑球，于是再次发现黑球的概率自然就是1/3了。

最后再强调一次，整件事情可以认为和生男生女的概率无关，只和男女的实际比例状况有关。生男生女的概率，如果说有意义的话，在于形成了男女均衡的状态，三种情况25%-50%-25%，这成为接下来遇男遇女（没有生男生女了）的概率计算的出发点，遇到的男女并非当场生下的，而是事先生好的，所以生男生女的概率到处可以功成身退了。接下来的问题是，本来你不知道自己会遇到这三种里的哪一个，“首见男孩”的概率当然是1/2。但“首见男孩”作为既成事实把情况缩到两种，“又见男孩”的概率需要在这个新条件形成的新的样本空间中重新计算。这大约就是所有争论和歧义的根源所在了。

如果把另外一半“首见女孩”的概率也算一算，也许这个1/3看起来也就不那么令人难于接受了。 “首见女孩”的发生概率无疑是1/2，类似的推理可知，在这个前提下，“又见男孩”的概率是2/3。两者合成，1/2×1/3 + 1/2×2/3，“又见男孩”的总概率仍然是1/2，并没有什么违反常规的地方，不是么。

好奇

楼下老兄提到的几种等价命题并不等价，为了清晰起见，请让我先把原命题在重复一下：已知某同事有两个小孩，男女未知，你偶然碰到他带着一个小男孩，试问他另外一个小孩也是男孩的概率多大？

这里最绕人的地方在于，“碰到一个男孩”和“再生一个男孩”不同，前者和两个已经生好的孩子都有关系，并不是一个重新生一个的独立事件。这里语义上的误导之处在于，两个孩子都已经生好了，所谓“另一个小孩”，并不是再生一个，而是再碰到一个的意思。两个孩子都已经是既定事实了，遇到其中一个是男孩也是既成事实，问的其实是“你”再遇到男孩的概率多少，而不是“他”再生男孩的问题。此处迷惑人的是生男生女都一样的心理定势，诱导人把“遇“的问题看成“生”的问题，于是直接认定了1/2的答案。

因此，一种等价的描述方案是：盲盒中的黑白球。假设有100个白球和100个黑球，随机封装到100个盲盒里，每盒两个。不失一般性，不妨认为随机到了最均匀的结果，我们得到25个装了两个黑球的盒子，25个两亮白球，50个一黑一白。问题变成：拿一个盒子并且取出一个球，发现是黑的，问剩下的那个球也是黑的概率多少？

孩子的情况和盲盒相同，男女是既定的，正如盒子里的黑白球也是既定的，你拿的是盒子，看见的是黑球。这种情况不同于把所有黑白球放在一个大袋子里抽取，也不是先拿一个球再拿另一个。再强调一下，黑白球是已经装定了的，正如男女已经是生好了的。你想知道的是，在已经见到一个黑球的情况下，又在同一个盒子里看见第二个的概率。这就是所谓条件概率问题，条件就是见到一个黑球（男孩），以此为前提的概率问题，不是抛两个硬币或者生两个孩子的问题。

甚至可以再说极端一点，索性拿掉黑球白球（生男生女）的随机性，就直接告诉你，100个盲盒是安排好的，25个两黑，25个两白，50个一黑一白，没有任何随机因素。同事的孩子也是同理。假想你有100个同事，每人两个孩子，当你遇到他的时候，孩子已经确定了，和盲盒的情况相同，25个同事两男、25个两女、50个一男一女，这是既定事实，所谓生男生女的概率到此为止已经结束了，和你遇到男女完全是两个问题。生孩子的概率，是所谓先验概率，生完就结束了，男女就确定了，这个概率和接下来的事情无关了，可以抛之脑后了。100个同事的男孩女孩，那怕就是个个都是自己选性别的，你遇到男孩的概率也只和这个现状有关，即25%两男、50%男女、25%两女这么一种状态，和它是怎么生成的无关，生男生女的概率就不用再考虑了，这个所谓概率实在是误导人的。

好了，现在100个盲盒（同事），你在其中一个里发现了黑球（男孩），这个前提条件究竟是什么意思呢？它意味着你拿到的盒子（碰到的同事）是75个中的一个，而不是全部100种可能，你的样本空间容量从100变成了75，两个白球（两个女孩）的情况被从样本空间中排除了。概率问题的核心是样本空间，所谓概率，就是特定情况在全体样本中所占的比例。“看到黑球（男孩）”的作用是改变样本空间，从而也影响了你下一次事件的概率，所谓你看到下一个球，等价于你在这75个盒子里再次做出选择，25个两黑和50个黑白，并且预先拿掉其中的一个黑球，于是再次发现黑球的概率自然就是1/3了。

最后再强调一次，整件事情可以认为和生男生女的概率无关，只和男女的实际比例状况有关。生男生女的概率，如果说有意义的话，在于形成了男女均衡的状态，三种情况25%-50%-25%，这成为接下来遇男遇女（没有生男生女了）的概率计算的出发点，遇到的男女并非当场生下的，而是事先生好的，所以生男生女的概率到处可以功成身退了。接下来的问题是，本来你不知道自己会遇到这三种里的哪一个，“首见男孩”的概率当然是1/2。但“首见男孩”作为既成事实把情况缩到两种，“又见男孩”的概率需要在这个新条件形成的新的样本空间中重新计算。这大约就是所有争论和歧义的根源所在了。

如果把另外一半“首见女孩”的概率也算一算，也许这个1/3看起来也就不那么令人难于接受了。 “首见女孩”的发生概率无疑是1/2，类似的推理可知，在这个前提下，“又见男孩”的概率是2/3。两者合成，1/2×1/3 + 1/2×2/3，“又见男孩”的总概率仍然是1/2，并没有什么违反常规的地方，不是么。