主题：【讨论】趣味数学题 -- 任爱杰

男男，男女，女男，女女 这四种组合出现的概率都是1/4。但是看到一个男孩的条件下，这四种组合的条件概率分别是0，1/4，1/4， 1/2，而不是你认为的0，1/3，1/3，1/3。其实两个孩子就是独立事件，第二个孩子是男骇得概率就是1/2。其它路径只有中间不出错，算到最后都是1/2。

假想你是人口统计员，不考虑性别选择和出生差异和存活率等等，是不是会发现“至少有一个男孩”的比例是全部75%，双男孩占全部的25%，25%/75%=1/3

不妨这么想，恰恰因为我们预设了男女比例是50%vs50%，所以在确认至少有一个男孩的情况下，另外一个是女孩的比例应该变大，最后才能把总性别比例平衡回来。

反过来想，假设你推论的1/4、1/4、1/2正确，试试计算最后的性别比例还是1:1吗。

如果计划生育这么搞：只要没生出男孩就允许一直生，直到生出男孩为止。人口的性别比例会是多少？

至少有一个男孩的2孩家庭，两个都是男孩的几率是1/3。

数值看到邻居带男孩子出门，这类家庭属于“至少有一个男孩的2孩家庭“，但只是“至少有一个男孩的2孩家庭“的子集。邻居带一个女生出门，也有50%的概率家里有一个男生。带男孩出门有50%的几率还有一个男孩（男男，男女），带女生出门的家庭有50%的几率家里有一个男孩（女男，女女），这样刚好对上“至少有一个男孩的2孩家庭，两个都是男孩的几率是1/3。

唐家山同学提了个更简明的模式

原题是说你碰到邻居带了个男孩出来，邻居共有两个小孩，另一个没看见的小孩的性别未知。

那么很显然，组合只可能是 男男，或是 男女。不存在女女，或女男的情况（因为你没看到女孩，只看到一个男孩）。那么另一个孩子是男孩的几率不就是二分之一吗？

搞定收工。

原题是

这里，出现了顺序。即你接触到的样本第一个必然是男孩。由于共有两个小孩，所以排列只可能是：

不存在你看到的孩子是女孩的情况。所以排除 女男和女女的组合。这样上表中的没见到的男孩几率就是二分之一啊。或者说都是男孩的几率是二分之一。

而你说的这个题目其实就是我另一个帖子里说的“老王共有两个孩子，其中一个是男孩，都是男孩的概率是多少？”这里你其实没有看到孩子的顺序问题。所以排列组合可以是 男男，男女，女男，没有女女。所以男男的概率是三分之一。

楼下讨论越来越偏，甚至连“爱女狂魔”，“王熙凤”什么的都考虑进来了。殊不知概率和统计这两种学科就是为了消除这种种因素的影响，从而得到事物更本质的规律而创立的。

当在概率里说“抛一枚硬币出现正面的概率是50%”，那按频率主义的观点，这枚硬币已经经过无数次试验（是的，无数次，即使实际上不可能）；按古典主义观点，这个值是先验的，不证自明的，不需要任何试验去证明的（虽然可能有经验做依据）；按公理化的观点，这就是个数字，只存在于思维（实验）里，也不需要实际做基础，理论上只要是0到1的数字都可以。

本楼里所有的贴子（包括我自己的），对这个问题实际上都是采用的古典主义观点，也即构造了一个由若干基本事件组成的概率空间，然后对每个事件使用了“等可能”假设，也就是每个基本事件不加证明地认为是等概率的。

以这个比较简单的为例，概率空间为：

1. 长男次男

2. 长男次女

3. 长女次男

4. 长女次女

先假设#1-#4是等概率的，因此见到一个男孩后排除#4，其他3个里因为已经有一个男孩在外面，所以家里还有一个男孩的只有#1，所以其概率是1/3。

然而古典主义是有缺陷的，“等可能”假设在逻辑上有循环论证的嫌疑，在这里如果#1-#4是等概率的，那么已经使用了“人类生男孩的概率是50%”这个假设，“家里的孩子是男孩的概率"已经是50%，不需要再推理论证了，而且无论怎么推理证明，也不会比这个更好。

实际上在这个假设下，即使在外面见到的是女孩，也可以推出”家里的孩子是男孩“的概率是50%，甚至根本不需要知道外面孩子的性别，构造出这个概率空间并且默认等可能的时候，一旦有一个孩子在外面，”家里的孩子是男孩“的概率就已经是50%了。

所以这里的问题是推理的目的搞错了，不应该选“家里的孩子是男孩的概率”作为推理目标，换一个可能更有意义。

还有要提到的是，人类生男孩和生女孩这两个事件不是独立事件，而是互斥事件，因为一件事情发生的时候另一个事件一定不发生。两个孩子各自的性别则是独立事件。

楼主上来就说得很清楚，两个孩子的性别判断是独立的，没有相关性，明明白白1/2。除非观察导入额外的相关性譬如宠女狂魔啥的。

也不存在所谓古典主义缺陷，循环论证等等。这个问题假设男/女是符号，和0/1没有什么区别，必须是50%的等概率分布。如果不是50%的等概率分布，那么男/女必可做符号之外的区分。

没得倒1/2的几位，有个别是没理解独立事件，有几位是在验证复杂路径的过程中在某些节点犯了些逻辑错误。这其实是讨论中有切实意义的地方，理解一种思路可能错在什么地方，比坚持一种思路哪哪都对，是更有效地沟通方式。

题外话，这么一个干净的问题，大伙都讨论的热火朝天，现实中的复杂问题，沟通成本会有多高？

不知道现在的教材有没有这方面的训练

先假设#1-#4是等概率的话，答案应该不是50%，应该是2/3吧？

后来数学越来越抽象，抽象到反直觉。这个时候我都听专业人士的，让专家和专家较真，最后我听他们的就是了

至少在直观和普通的场景下是这样的，所以说包含了前者。换个比率，比如生男孩70%女孩30%，那这4个不可能是等概率的。